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江苏省无锡市2015届上学期高三期末考试数学试卷

江苏省无锡市 2015 届上学期高三期末考试 数学试卷 一、填空题 1.已知复数 z 满足 (1 - i ) z = 1 + i ,则 z 的模为 2.已知集合 A = . {x | x = 2k - 1, k Z}, B = {x | - 1 # x 3} ,则 A I B = . 3. 已 知 角 a 的 终 边 经 过 点 P (x, - 6) , 且 t an a = - 3 ,则 x 的值 5 为 . 4.根据如图所示的流程图,则输出的结果为 . 5.将 2 本不同的数学书和本语文书在书架上随机排成一行,则 2 本数学书 相邻的概率为 . 6.若一组样本数据 8, x, 10, 11, 9 的平均数为 10 ,则该组样本数据的方差 为 . 7.已知焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 y = 的离心率为 . 1 x ,则该双曲线 3 8. 三 棱 锥 P - ABC 中 , D , E 分 别 为 PB , PC 的 中 点 , 记 三 棱 锥 D - ABE 的 体 积 为 V1 , P - ABC 的 体 积 为 V2 , 则 V1 = V2 9.将函数 y = . 3 cos x + sin x (x . ? ) 的图像向左平移个 m (m > 0) 单位长度后,所得的图像关于 y 轴对 称,则 m 的最小值是 10.已知菱形 ABCD 的边长为 2 , ? BAD 若 AE ? BF uuu r uuu r uuu r uuu r 120o ,点 E , F 分别在边 BC , DC 上,BE = l BC , CF = l CD . . uuu r uuu r - 1,则 l = 11.已知正实数 a, b 满足 9a 2 + b2 = 1,则 ab 的最大值为 3a + b . 12. 已 知 数 列 {an } 的 首 项 a1 = 1 , 前 n 项 和 为 Sn , 且 满 足 2an + 1 + Sn = 2 n ( ?*) ,则满足 1001 S2n 11 < < 的 n 的最大值为 1000 Sn 10 2 2 . 13. 已 知 点 A (0, 2) 位 圆 M : x + y - 2ax - 2ay = 0 (a > 0) 外 一 点 , 圆 M 上 存 在 点 T 使 得 ? MAT 45o ,则实数 a 的取值范围是 . 3 ?1 ? a ? 1 1 2 x , 0 #x 2 4 , 若关于 x 的方程 x 骣 1÷ 3 ? ÷ - ,x > 2 ? ?2÷ 桫 4 . ì ? ? ? ? 14.已知函数 y = f (x ) 是定义域为 ? 的偶函数,当 x ? 0 时, f (x ) = ? í ? ? ? ? ? ? 2 7a 轾 f x + af ( x ) + = 0, a ( ) 犏 臌 16 ? 有且仅有 8 个不同实数根,则实数 a 的取值范围是 二、解答题 15.(本小题满分 14 分) 已知向量 a = ( sin x, ) , b = ( cos x, - 1) . r 3 r 4 p ) 的值; 4 r r r 轾p (2)设函数 f (x ) = 2( a + b) b ,当 x ? 犏 0, 时,求 f (x ) 的值域. 犏 臌2 (1)当 时,求 t an( x 16. (本小题满分 14 分) 如图, 过四棱柱 ABCD - A1B 1C 1D1 形木块上底面内的一点 P 和下底面的 对角线 BD 将木块锯开,得到截面 BDEF . (1)请在木块的上表面作出过 P 的锯线 EF ,并说明理由; (2) 若该四棱柱的底面为菱形,四边形时矩形 BB 1D1D ,试证明:平面 BDEF ^ 平面 AC 1CA1 . 17. (本小题满分 14 分) 某公司生产的某批产品的销售量 P 万件(生产量与销售量相等)与促销费用 x 万元满足 P = x+ 2 (其中 4 0 #x a, a 为正常数).已知生产该批产品还要投入成本 6( P + 1 ) 万元(不包含促销费用) ,产品的销售价 P 格定为 (4 + 20 ) 元/件. P (1)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数; (2)当促销费用投入多少万元时,该公司的利润最大? 18. (本小题满分 16 分) 已知椭圆 C : x2 y2 + = 1的上顶点为 A ,直线 l : y = kx + m 4 2 交椭圆于 P , Q 两点,设直线 AP , AQ 的斜率分别为 k1, k2 . (1)若 m = 0 时,求 k1 ×k2 的值; (2)若 k1 ? k2 - 1 时,证明直线 l : y = kx + m 过定点. 19. (本小题满分 16 分) 在数列 {an }、 {bn } 中,已知 a1 = 0 , a2 = 1, b1 = 1 , b2 = 1 ,数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,数列 {bn } 的 2 前 n 项和为 Tn ,且满足 Sn + Sn + 1 = n 2 , 2Tn + 2 = 3Tn + 1 - Tn ,其中 n 为正整数. (1)求数列 {an }、 {bn } 的通项公式; (2) 问是否存在正整数 m , n ,使 Tn + 1 - m > 1 + bm + 2 成立?若存在,求出所有符合条件的有序实数对 Tn - m (m, n ) ,若不存在,请说明理由. 20. (本小题满分 16 分) 设函数 f (x ) = x ln x - ax + b 在点 x 0, f (x 0 ) 处的切线方程为 y = - x + b . 2 2 ( ) (1)求实数 a 及 x 0 的值; (2)求证:对任意实数 ,函数 f (x ) 有且仅有两个零点. 21、A(10 分)选修 4-1 几何

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