tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
当前位置:首页 >> 数学 >>

北师大版高中数学高三数学第1轮复习§1.1.1《集合与常用逻辑用语》(第1课时)_图文

X

1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概 念. 2.了解空集和全集的意义,了解属于、包含、 相等关系的意义. 3.掌握有关的术语和符号,并会用它们正确 表示一些简单的集合.

若集合A中含有n(n≥1)个元素,则其子集、真子集、非空真 子集的个数分别为多少? 提示:若集合A中含有n(n≥1)个元素,则其有2n个子集,2n -1个真子集,2n-2个非空真子集.

元素的 性质
元 素 与 集 合

集合中的元素具有 确定性 、互异性 、无序性 .

元素与几 何的关系

包括 属于 和 不属于 两种,分别用符号
常用的表示方法 列举法 描述法 、 、



表示

表示方法
常见数 集符号

Venn图法 .

数集自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 N*或N+ Z N Q R 符号

思考感悟集合{?}是空集吗??、{0}、{?} 之间有何关系? 提示:不是.?是不含任何元素的集合,{?} 表示含有一个元素?的集合,{0}表示含有一 个元素0的集合,因此有??{0}.若把?当作 元素,则有?∈{?},若把?当作集合,则有? ?{?}.

2.集合的基本关系 关系 相等 定义 集合A与集合B中的所有元素都 相同 记法 A=B A?B或B?A

子集 A中 任一元素 均为B中的元素 A中任一元素均为B中的元素,

真子集 B中至少有一个元素 不是 A中
的元素

A B或B A

2.集合间的基本关系
表示 关系 文字语言 符号语言 A=B ____或____ A?B B?A

集合A与集合B中的所有元素都 相等 相同 A中任意一个元素均为B中的元 子集 素 A中任意一个元素均为B中的元 真子集 素,且B中至少有一个元素不是 A中的元素 空集是任何集合的子集,是任何 空集 非空 ______集合的真子集

_____或 ______
??A, ??B(B≠?)

3.集合的基本运算
集合的并集
符号 表示 图形 表示 A∪B

集合的交集

A∩B _____

集合的补集 若全集为U,则集 合A的补集为?UA

{x|____________ x∈A,或x∈B 意义 _}
A?A∪B ? B____A∪B A∪B=B ? ?A____B

{x|x∈A, 且x∈B} A∩B____ ? A A∩B?B A∩B=A ? ?A____B

?UA={x|x∈U, ________} 且x?A
?U(A∩B)= (?UA)∪(?UB) ?U(A∪B)= (?UA)∩(?UB)

性质

3.集合的基本运算

集合的并集
符号 表示 图形 表示 意义 {x|x∈A或

集合的交集

集合的补集
若全集为U,则集 合A的补集为 ?UA

A∪B

A∩B

{x|x∈A,且 x∈B}

{x|x∈U,且 x?A}

x∈B}

学好集合的几点妙招 (1)读懂集合语言,弄清集合中元素代表的对象,如集 合M={y|y=x2-1,x∈R},N={x|y= }, P={(x,y)|y=x2-1}中的代表元素各不相同; (2)化简是解决集合问题的常用策略,常用方法有具体 化(如列举法)、特殊化(如特例法)、化简归纳等; (3)解决集合问题应注意集合元素的三性,不能遗忘空 集这个特殊情形,以免造成漏解; (4)(4)数形结合是解决集合问题的有效手段,常借助数 轴表示不等式的解集,用韦恩图表示集合的相互关系, 所有这些考生均应熟练掌握并灵活运用.

3.解答集合题目,认清集合元素的属性(是点集、 数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个 先决条件. 4.韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、 补运算的常用方法,其中运用数轴图示法要特别 注意端点是实心还是空心. 5.要注意A?B、A∩B=A、A∪B=B、 ?UA??UB、A∩(?UB)=?这五个关系式的等价性.

5.解答集合题目,认清集合元素的属性(是点集、 数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个 先决条件. 6.韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、 补运算的常用方法,其中运用数轴图示法要特别 注意端点是实心还是空心. 5.要注意A?B、A∩B=A、A∪B=B、 ?UA??UB、A∩(?UB)=?这五个关系式的等价性.

解决集合概念相关问题常用到集合元素的互异性,一可以作为解题的依据和 突破口解决问题,二可以利用元素的互异性检验所求结果是否正确

例1.含有三个实数的集合,既可以表示为{a, , 1},也可以表示为{a2,a+b,0}, 则a2 010+b2 010=________. 思维点拨:利用集合相等求a,b. 解析:由已知得 =0及a?0,所以b=0,于是 a 2=1,即a=1或a=-1.又根据集合中元素的互异性 a=1应舍去,因而a=-1,故a2 010+b2 010=(-1)2 010=1.

答案:1

例2:已知集合A= x | x -x-2 ? 0}, {
2

B= x | x +4 x+p ? 0},且A ? B=A, {
2

求实数p的取值范围.

解析:由A ? B=A,得B ? A.
2

?1? 当B=?时,则不等式x +4 x+p ? 0无解,
即?=16-4 p ? 0,得p ? 4.

2 ? 当B ? ?时,有p ? 4,方程x 2 +4 x+p=0的两个根 ? 记为x1=- 2- 4-p,x2=- 2+ 4-p . 所以B=(-2- 4-p,-2+ 4+p ). 又A=(-?,-1) ? (2,+?), 要使B ? A成立,只需- 2+ 4-p ? -1,得3 ? p ? 4. 结合p ? 4,所以3 ? p ? 4.综合 ?1?? 2 ?, 得实数p的取值范围为[3,+?).

反思小结:以不等式为原形的集合问题是常见的一 种题型.在集合的关系中,如果一个不确定的集合 是另一个集合的子集,从逻辑的角度出发,应首先 考虑空集.本题当B=?时,实际上是不等式x2+4x +p≥0对x∈R恒成立,故Δ=16-4p≤0,得p≥4. 当B≠?时,则是不等式x2+4x+p<0有解,转化为求 方程x2 +4x+p=0有两个不等实数根.在用B?A这 个条件时,要注意到x1<0,故不必考虑B是(2,+∞) 的子集,只需考虑B是(-∞,-1)的子集即可.

本题整个解答过程也是一种逻辑的分析过程,一是 忽视B=?,容易漏掉p ? 4;二是B=?与B ? ?实际 上是一种分类,最后的解集应求两类的并集,即

?3, 4 ? ? [4,+?);三是容易犯x1=-2-
得p ? -12的错误.

4 ? p ? 2,

集合{?}是空集吗?它与集合{0}有什么区别? 提示:集合{?}不是空集.空集是不含任何元素的集合,而集 合{?}中有一个元素?,集合{?}与集合{0}的区别是它们的元 素不同,其中{?}的元素为?,{0}的元素为0.

集合间的基本关系

例3:已知集合M={x|x>1},N={x|ax>1}.若N?M,求 实数a的取值范围.

解析:集合N 表示不等式ax ? 1的解集. 由于a ? R,所以集合N 是不确定的集合. 又N ? M ,所以首先应考虑N=?的情况, 然后讨论N ? ?时,a的取值范围.

?1?当N=?时,易知a=0; ? 2 ?当N ? ?时,
1 1 ①若a ? 0,则N={x | x ? }.由N ? M ,有 ? 1, a a 解得0 ? a ? 1; 1 ②若a ? 0,则N={x | x ? },此时不可能有N ? M 成立. a 综上,实数a的取值范围为? 0,1?.

反思小结:对于以含参数不等式的解为元素的集合, 也是不确定的集合,需要对参数进行分类处理.分 类讨论的一般程序为:①依题目信息确定分类标准; ②在这个标准下合理分类;③逐类讨论;④综合求 解.在这类集合问题中,如果不确定的集合是某集 合的子集,应当先考虑空集的情况,如果不确定的 集合包含一个非空集合,显然不需要考虑空集.本 题中,若把N?M换成N?M,则考虑空集就没有必 要了.

集合的基本运算

例4:若B ? ? x | x 2 ? 3x ? 2 ? 0?,是否存在实数a, 使A ? x | x 2 ? ? a ? a 2 ? x ? a 3 ? 0 且A ? B ? A?请说 明你的理由.

?

?

?1? 若a ? a ,即a ? 0或a ? 1,此时A ? ?x | ? x ? a ?
2

解析:B ? ? x |1 ? x ? 2?,A ? x | ? x ? a ? ? x ? a 2 ? ? 0 .
2

?

?

? 0 ? ?,

?

满足A ? B ? A,所以a ? 0或a ? 1.

2 ? 若a 2 ? a,即a ? 1或a ? 0,则A ? ? x | a ? x ? a 2 ?. ? ?a ? 1 要使A ? B ? A,即A ? B,则 ? 2 ? 1 ? a ? 2. ?a ? 2 所以1 ? a ? 2.

? 3? 若a 2 ? a,即0 ? a ? 1,则A ? ? x | a 2 ? x ? a?.
?a ? 2 要使A ? B ? A,即A ? B,则 ? 2 ? 1 ? a ? 2, ?a ? 1 所以a ??. 综上所述,当1 ? a ? 2或a ? 0时,满足A ? B ? A.

反思小结:求含有参数的不等式的解集时,要注意 分类讨论:有些问题要转化为讨论方程的根的个数 问题,有些问题要转化为讨论方根的根的大小问 题.

例题5:已知集合A ? {x | ?2 ? x ? 5}, B ? {x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1}.

?1? 若B ? A,求实数m的取值范围; ? 2 ?当x ? R时,没有元素x使x ? A与x ? B同时成立,
求实数m的取值范围.

解析: ?当m ? 1 ? 2m ? 1,即m ? 2时,B ? ?,满足B ? A; ?1

? 2 ?当m ? 1 ? 2m ? 1即m ? 2时,要使B ? A成立,
?m ? 1 ? ?2 需? ,可得2 ? m ? 3. ? 2m ? 1 ? 5 综上,当m ? 3时,有B ? A.

? 2 ?因为x ? R,且A ? {x | ?2 ? x ? 5},B ? {x | m ? 1 ?
x ? 2m ? 1},又没有元素x使x ? A与x ? B同时成立, ? m ? 1 ? 2m ? 1 ②若B ? ?,则要满足条件 ? ?m ? 1 ? 5 ? m ? 1 ? 2m ? 1 或? ,解得m ? 4. ? 2 m ? 1 ? ?2 综上,得实数m的取值范围是(??, ? (4, ?). 2) ?

则①若B ? ?,即m ? 1 ? 2m ? 1,得m ? 2,满足条件;

利用补集思想解题

例6. (2011·郑州模拟)已知集合A={x|x2-4mx+2m+6=0},
B={x|x<0},若A∩B≠?,求实数m的取值范围.

[解]设全集U ? {m | ? ? ? ?4m ? ? 4 ? 2m ? 6 ?≥0}
2

3? ? ? ?m | m≤ ? 1, 或m≥ ? 2? ? 若方程x 2 ? 4mx ? 2m ? 6 ? 0的两根x1 , x 2均为非负根, 则 ?m ? U , ? ? x1 ? x2 ? 4m≥0, ? x x ? 2m ? 6≥0, ? 1 2 3 得m≥ , 2 3? ? ? ? m | m≥ ? 2? ? 关于U的补集为?m | m≤ ? 1? , ? 实数m的取值范围为?m | m≤ ? 1? .

[解题提示] 本题运用的是“正难则反”的解题策略,正是运

忽视空集 例7 设A={x|2≤x≤6},B={x|2a≤x≤a+3},若B?A,则实数a的取值 范围是( A.[1,3] ) B.(3,+∞) C.[1,+∞) D.(1,3)

?2a≥2 [错解]? B ? A,? ? , ?a ? 3≤6 解得1≤a≤3, 故选A.
[剖析] 空集是任何集合的子集,忽视这一点,会导致漏解,产
生错误结论.对于形如{x|a<x<b}一类的集合,当a≥b时,它表示 空集,解题中要引起注意.

?2a≤a ? 3 ? [正解]①当B ? ?时, 则有 ?2a≥2 , ?a ? 3≤6 ? 解之得1≤a≤3, ②当B ? ?时, 2a ? a ? 3, 解之得a ? 3. 综合①②得a≥1. 故应选C.
[答案] C

错源一

忽视元素的互异性 )

例8 设集合A={0,a},集合B={a2,-a3,a2-1}且A?B,则a的值是( A.±1 B.-1 C.1 D.2

[错解] 由A={0,a}及集合元素的互异性可知a≠0,所以a2≠0,-a3≠0,又 A?B得a2-1=0,即a=±1.故选A.

[剖析] 解出a=±1后,忽视了检验这两个值是否都满足元素 的互异性. [正解] 由A={0,a}及集合元素的互异性可知a≠0, 所以a2≠0,-a3≠0,又A ?B,所以a2-1=0,

解得a=±1.
当a=-1时,a2=-a3=1,这与集合元素互异性矛盾,舍去.

当a=1时,A={0,1},B={1,-1,0},满足A?B.
综上a=1,故应选C. [答案] C

变式1:已知集合A={a-2,2a2+5a,12}, 且-3∈A,求a. 解:∵-3∈A,∴-3=a-2或-3=2a2+5a. (1)若a-2= -3,则a=-1,此时a-2=2a2+5a=-3, ∴a= -1不符合题意. (2)若2a2+5a=-3,则a=-1或- , 当a= - 时,此时A={- ,-3,12}. 综上:a = - .

跟踪练习

变式2

已知集合A={x|0<ax+1≤5},集合B={x|- <x≤2}. (1)若A?B,求实数a的取值范围; (2)若B?A,求实数a的取值范围; (3)A、B能否相等?若能,求出a的值;若不能,试说明理由

[课堂笔记] (1)由0<ax+1≤5,得-1<ax≤4. 当a=0时,A=R,不满足A?B; 当a>0时,A={x|- 若A?B,则 <x≤ };

解得a≥2.

当a<0时,A={x|

≤x<-

},

若A?B,则

解得a<-8

综上,若A?B,则a<-8或a≥2.

(2)由(1)知,当a=0时,A=R,满足B?A; 当a>0时,若B?A,则

解得0<a≤2.
当a<0时,若B?A, 则 解得- <a<0.

综上,满足B?A的a的取值范围

(3)若A=B,由(1)知a≠0. 当a>0时,由 解得a=2,即a=2时满足A=B. 当a<0时,由A={x| 显然A≠B. ≤x<- },B={x|- <x≤2},

综上,若A=B,a的值为2.

变式3:记函数f ? x ? ? log 2 ? 2x ? 3?的定义域为 集合M,函数g ? x ? ? ? x ? 3?? x ? 1?的定义域为集合N . 求: ? 集合M 、N; ? 集合M ? N、M ? N . ?1 ?2
3 解析: ? M ? ? x | 2x ? 3 ? 0? ? {x | x ? }; ?1 2 N ? {x | ? x ? 3?? x ? 1? ? 0} ? {x | x ? 3或x ? 1}. 3 ? 2 ? M ? N ? {x | x ? 3};M ? N ? {x | x ? 1或x ? }. 2
跟踪练习

x2 y 2  4. (2010年湖北卷)设集合A ? {( x,y ) | ? ? 1}, 4 16 B ? {( x,y ) | y ? 3x },则A ? B的子集的个数是(    ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

x2 y 2 解析:画出椭圆 ? ? 1和指数函数y ? 3x的图象, 4 16 可知它们有两个不同交点,记为A1、A2,则A ? B的 子集应为?,A1?,A2 ?, 1 ,A2 },共四个.答案:A ? ? {A

跟踪练习

5.已知集合M={x | y= x },N={ y | y=2 x-1}, 则集合M ? N=? C ? A.? C.{x | x ? 0} B.??1,1?? D.{x | x ? - 1}

解析:集合M的元素为x,所以M= x | x ? 0};集合N { 的元素为y,所以N= y | y ? - }.因为它们都是数集, { 1 所以M ? N=M,故选C.
跟踪练习

6.有如下集合: ①{ y | y ? 1};②{ y | y=x +1,x ? R};
2

③{x | y= x ? 1};④{x | ( x +x+1) ( x-1) ? 0}.
2 3

这些集合中,与集合{x | x ? 1}相等的集合 有 ①②③④  .

跟踪练习

解析: ①为数集[1,+?),显然符合要求. ②表示的是函数y=x 2 +1的值域,显然为数集[1,+?); ③表示的是函数y= x ? 1的定义域,也是数集[1,+?); ④表示不等式( x 2 +x+1)3 ( x-1) ? 0的解集. 1 2 33 2 3 由于( x +x+1) =[( x+ ) + ] ? 0, 2 4 故不等式可等价转化为x-1 ? 0, 显然其解集也是[1,+?). 故本题答案为①②③④.

7.下列三个命题中,正确的个数为(
①R={实数集},R={全体实数集};

)

②方程(x-1)2(x-2)=0的解集为{1,2,1};
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个

解析:①R={实数集}中“集”是多余的,R={全体实数集}

中“全体”和“集”都是多余的;②中解集不符合集合中
元素的互异性;答案:D

跟踪练习

8.已知集合A={y|y=2x,x∈R},B={y|y=x2,x∈R},则 (

)

A.A∩B={2,4}
C.A=B

B.A∩B={4,16}
D.A

?

B

解析:A,B分别表示函数y=2x与y=x2的值域. 答案:D

9.在R上定义运算 ? :x ? y ? x ? y ? 2 ?.若关于x的不等式 的子集,则实数a的取值范围是 ? ?2,1?   .

? x ? a ? ? ? x ? 1 ? a ? ? 0的解集是集合{x | ?2 ? x ? 2,x ? R}
解析:x ? a ? ? ? x ? 1 ? a ? ? 0 ? ?

? x ? a ?? x ? 1 ? a ? ? 0 ? a ? x ? a ? 1.
?a ? ?2 由题意得 ? ,解得 ? 2 ? a ? 1. ?a ? 1 ? 2

10.设集合A={x | x -3x+2=0},
2

B={x | x +2(a+1) x+(a -5)=0}.
2 2

?1? 若A ? B=?2?,求实数a的值; ? 2 ? 若A ? B=A,求实数a的取值范围.

解析:由x 2-3x+2=0,得x=1或x=2,故集合A=?1, 2?.

?1?因为A ? B=?2?,所以2 ? B.
将2代入B中的方程, 得a 2+4a+3=0,所以a=-1或a=-3. 当a=-1时,B={x | x 2-4=0}={2,-2},满足条件; 当a=-3时,B={x | x 2-4x+4=0}=?2?,满足条件. 综上,a的值为-1或-3.

? 2 ? A ? B=A包含两类情况:①集合B=?;
②集合B是A的非空子集. ①当B=?时,x 2+2(a+1) x+a 2-5=0无实数根, 即?=4(a+1) 2-4(a 2-5)<0,解得a<-3. ②若B是A的非空子集,则B=?1? 或 ?2? 或 ?1, 2? a ? 当B=?1? 时,a 2+2a-2=0, ? 此时a=-1+ 3或a=-1- 3. 当a=-1+ 3时,B={1,-2 3-1}, 此时B ? A,故a=-1+ 3舍去. ?

当a=-1- 3时,B={1,2 3 -1} 此时B ? A,故a=-1- 3舍去. ?

? b ? 当B= ?2? 时,a 2 +4a+3=0,所以a=-1或a=-3;
当a=-1时,B={2,-2},此时B ? A,故a=-1舍去. ? 当a=-3时,B= ?2?,满足条件. ?1 ? 2=-2(a ? 1) (c) B={1, 2}时 ? 则a无解. 2 ?2=a -5 综上,a的取值范围为(-?,-3].

集合、方程与常用逻辑用语

11: 已知集合A={x | x -ax+a -19=0},
2 2

B={x | log 2 ( x -5x+8)=1},
2

C={x | x 2+2x-8=0}. 若A ? B ? ?与A ? C=?同时成立, 求实数a的值.

解析:集合A不确定,所以首先考虑B、C. 由x -5x+8=2>0,得B=?2,3?.
2

又集合C={-4, 2}, 因为2 ? C且A ? C=?,所以2 ? A. 又2 ? B,3 ? B且A ? B ? ?,所以3 ? A, 于是由32-3a+a 2-19=0,得a=5或-2, 当a=5时,A=B=?2, 3?,与2 ? A矛盾,所以a ? 5. 当a=-2时,经检验满足条件,故a=-2.

三、直观化方法 把抽象的数学问题与直观、具体的图形结合起 来,使问题由难变易,易于解决. ? ? 1 ? ? ?(x,y)|y≥ |x-2|?, 例 12 设集合 A= ? ? 2 ? ? B={(x,y)|y≤-|x|+b},A∩B≠?. (1)b 的取值范围是________; (2)若(x,y)∈A∩B,且 x+2y 的最大值为 9,则 b 的值是________.

三、直观化方法 解析 (1)A 表示由折线 y ? 1 | x ? 2及其上 把抽象的数学问题与直观、具体的图形结合起 | 方的点为元素组成的集合,B 2 表示由 来,使问题由难变易,易于解决. ?? ? 1 ? 例 12 设集合 A=?(x,y)|y≥ |x-2|?, 折线 y=-|x|+b 及其下方的点为元素组 ? ? 2 ? ?

成的集合,如右图.若 A∩B≠?,只 B={(x,y)|y≤-|x|+b},A∩B≠?. (1)b 的取值范围是________; 需 b≥1,即 b∈[1,+∞). (2)若(x,y)∈A∩B,且 x+2y 的最大值为 9,则 b 的值是________. (2)设 x+2y=t,t≤9, 表示直线在 y 轴上

x t t y?? ? , 2 2 2
t 9 的截距.而t ≤9,知 ? . t 最大,即 2 2
∵(x,y)∈A ∩B , 9 ∴ (0, 2 ) 为A ∩B 围成图形内在y轴上的最高点, 9 所以 b ? . 2 点评 以形的直观辅助计算,使计算更有目的性.

t 2

最大.

13

已知A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0},

若B?A,求实数a. ?
解 A={3,5},当a=0时,B ? ? ? A; 1 当a≠0时,B= { }. a 要使B?A, 则 1 ? 3或 1 ? 5, ? a a 1 1 1 1 即a ? 或a ? .综上a ? 0或 或 . 3 5 3 5

注意集合元素属性的变通
? ? kπ π ? ? 【例 14】 集合 M=?x|x= + ,k∈Z ?,N= ? ? 4 2 ? ? ? ? kπ π ? ? ?y|y= + ,k∈Z ?,则 M 与 N 的关系是( ? ? 2 4 ? ?

)

B.N ? M D.M∩N=? kπ π kπ π 解析 千万不能以为 + ≠ + (k∈Z),而选 4 2 2 4 A.M=N C.M ? N
D.这两个集合中的元素都是数,M 中的数可变为 (k+2)π 4

(2k+1)π π , 即 的整数倍, 中的数可变为 N , 4 4

π 即 的奇数倍,故选 B. 4

?1? 集合元素的互异性
对于4 ? {1,a,a 2 },根据元素的互异性有a ? 0,a ? ?1. 又a ? 4,a 2 ? 4,从而可确定a的取值范围为{a ? R | a ? ?1, 0, ?2, 4}.

? 2 ? 集合的元素是什么对于A={x 2-x=0},B={x | x 2-x=0},
C={x | y=x 2-x},D={ y | y=x 2-x},E={( x,y ) | y=x 2-x}, B是方程x 2-x=0的解集,所以B=?0,1?;C、D分别表示函数 1 y=x -x的定义域、值域,故C=R,D={ y | y ? - }; 4 E为函数y=x 2-x的图象上的所有的点组成的集合.
2

分别有:A是单元素集,方程x 2-x=0就是该集合的唯一元素;

? 3? 集合与集合的关系中,不要忘了空集
对于A={x | 3x 2-2x-1=0},B={x | ax-1=0},若B ? A, 求实数a的值.当你求出了a=-3或1时,不要忘了B=? 时,还有a=0. 在集合知识的应用中,一方面要熟练掌握集合的概念和 集合运算的基本性质,另一方面还应掌握研究集合问题 的基本思想方法.

?1? 数形结合
认清集合的特征,准确地将其转化为图形关系,借助于 图形的分析,能使问题得到直观具体的解决,这就是数 形结合的思想.

①数轴的应用:如A={x | x ? -1},B=? x | x ? a?, 求A ? B时,利用数轴易知: ⅰ若a ? -1,则A ? B=?; () 若a ? -1,则A ? B=(-1,a ); ②转化为几何图形:如A={( x,y ) | y ? x},B={( x,y ) | x 2 +( y-a) 2 ? 2}. 若B ? A,求实数a的取值范围时,将其转化为平面

区域图形.易知集合A表示直线y=x下方的区域(含 边界),集合B表示圆心在(0,a ),半径为 2的圆面 (含边界).由B ? A,得a ? 0.又圆心到直线y=x的距 |0?a| 离不小于 2,即 ? 2,所以a ? -2; 2 ③运用Venn图.

? 2 ? 分类讨论
当集合的元素含有参数时,需要根据题意对参数 进行分类讨论.
(3)注意集合{

? ? ??? , ?????

?

}与空集 ?

的区别与联系:

例15

(2010年高考天津卷)设集合A={x||x-a|

<1,x∈R},B={x||x-b|>2,x∈R},若A?B,
则实数a,b必满足( )

A.|a+b|≤3
C.|a-b|≤3

B.|a+b|≥3
D.|a-b|≥3

【思路点拨】

根据绝对值不等式的解法得出A、

B,借助数轴列不等式组可得a、b的关系.

【解析】 A={x||x-a|<1,x∈R}={x|a-1<x <a+1},B={x||x-b|>2,x∈R}={x|x<b-2 或x>b+2},如图所示,

∵A?B,∴由图可知a+1≤b-2或a-1≥b+2?a -b≤-3或a-b≥3, ∴|a-b|≥3. 【答案】 D

【规律小结】

(1)分析集合关系时,首先

要分析、简化每个集合.(2)此类问题通常

借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在
数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证

端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心
点表示,不含“=”用空心点表示.

例16

(2009年高考江苏卷)已知集合A=

{x|log2x≤2},B=(-∞,a),若A?B,则实数a 的取值范围是(c,+∞),其中c=________. 【解析】 由log2x≤2得0<x≤4,A={x|0<

x≤4},由A?B知a>4,所以c=4. 【答案】 4

【名师点评】 (1)利用集合的关系考查不等式、 函数的性质是高考中常见的一种题型,在解决 不等式表示数集的问题时常要用到韦恩图和数 轴,韦恩图适用于有限集,数轴适用于实数集, 但是要注意的问题是不等式边界的等号的取值. (2)本题易出现以下错误答案:①c=1,错误原 因是将集合表示为A=(0,1];②c=0,原因是将 集合B的不等号方向表示错误;③集合A错解为 (-∞,4],原因是忽视了函数的定义域.

4.设集合A={-1,4,8},B={-1,a+2,a2 +4},若A=B,则实数a的值为________.
解析:∵A=B, ?a+2=4 ?a+2=8 ? ? ∴(Ⅰ)? 2 或(Ⅱ)? 2 , ?a +4=8 ?a +4=4 ? ? 由(Ⅰ)得 a=2,此时 B={-1,4,8}满足题意, (Ⅱ)无解,∴a=2.

答案:2

m 5. (2011· 江苏, 14)设集合 A={(x, ≤(x-2)2+y2≤m2, y)| 2 x, y∈R}, B={(x, y)|2m≤x+y≤2m+1, y∈R}, A∩B≠ x, 若 ?,则实数 m 的取值范围是________.
【答案】 1 [ ,2+ 2] 2

【解析】 ①若 m<0,则符合题的条件是:直线 x+y= |2-2m-1| 2m+1 与圆(x-2) +y =m 有交点,从而 ≤|m|, 2
2 2 2

2- 2 2+ 2 解得 ≤m≤ ,与 m<0 矛盾; 2 2 ②若 m=0,代入验证,可知不符合题意;

m 1 2 ③若 m>0,则当 ≤m ,即 m≥ 时,集合 A 表示一个环 2 2 形区域,集合 B 表示一个带形区域,从而当直线 x+y=2m +1 与 x+y=2m 中至少有一条与圆(x-2)2+y2=m2 有交点, |2-2m| |2-2m-1| 即符合题意,从而有 ≤|m|或 ≤|m|,解得 2 2 2- 2 1 2- 2 1 ≤m≤2+ 2,由于 > ,所以 ≤m≤2+ 2 2 2 2 2 1 综上所述,m 的取值范围是 ≤m≤2+ 2. 2

变式训练 3 已知集合 A={(x,y)|y- 3x≤0},集合 B={(x,y)|x2+ (y-a)2≤1},若 A∩B=B,求 a 的取值范围. 【分析】 利用直线和圆的位置关系和数形结合解题.

【解析】

集合 A 表示直线 y= 3x 及其右下方区域;集合 B 表示 以(0,a)为圆心,以 1 为半径的动圆面(含圆周).

由于 A∩B=B, ∴B?A, 因此动圆必须在不等式区域 y- 3x≤0 的内部,即 ?a<0 ? ? |a-0× 3| ? 12+? 3?2≥1 ?



∴a≤-2,故 a 的取值范围是(-∞,-2].

【评析】

解决此类问题的关键是弄清两集合所表示的

区域,由集合的运算关系,发现它们之间的包含关系,使问 题得到解决.

谢谢您的倾听
作业布置

教后反思


网站首页 | 网站地图 | 学霸百科 | 新词新语
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com