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高中数学 第一章 集合 1.3 交集、并集课堂导学案 苏教版必修1

1.3 交集、并集 课堂导学 三点剖析 一、交集与并集的概念 【例 1】 设 A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0}. (1)若 A∩B=B,求 a 的值; (2)若 A∪B=B,求 a 的值. 解:首先化简集合 A,得 A={-4,0}, (1)由于 A∩B=B,则 B ? A,可知集合 B 或为空集 ? ,或只含有根 0 或-4. ①若 B= ? ,由Δ =4(a+1)2-4(a2-1)<0,得 a<-1. ②若 0∈B,代入 x2+2(a+1)x+a2-1=0,得 a2-1=0,即 a=1 或 a=-1, 当 a=1 时,B={x|x2+4x=0}={0,-4}=A,合题意; 当 a=-1 时,B={x|x2=0}={0} A,也合题意. ③若-4∈B,代入 x2+2(a+1)x+a2-1=0,得 a2-8a+7=0,即 a=7 或 a=1. 当 a=1 时,②中已讨论,合题意; 当 a=7 时,B={x|x2+16x+48=0}={-12,-4},不合题意. 由①②③得 a=1 或 a≤-1. (2)因为 A∪B=B,所以 A ? B. 又 A={-4,0},而 B 至多只有两个根,因此应有 A=B. 由(1)知,a=1. 二、交集与并集符号之间的区别与联系 【例 2】 设集合 A={x|x2=8x-15,x∈R},B={x|cos x >0,x∈R},则 A∩B 的元素个数为 2 __________个. 解析:由 x2-8x+15=0, 解得 x1=3,x2=5, ∴A={3,5}, 又由 B,得 cos x >0, 2 ∴2kπ - ? < x <2kπ + ? ,k∈Z, 22 2 ∴4kπ -π <x<4kπ +π , ∴B={x|4kπ -π <x<4kπ +π ,k∈Z}. (1)当 k=0 时,-π <x<π , ∴A∩B={x|x=3}; (2)当 k=1 时,3π <x<5π , ∴A∩B= ? ; (3)当 k=-1 时,-5π <x<-3π , ∴A∩B= ? . 故 A∩B 的元素个数为 1. 答案:1 温馨提示 由于集合 B 带有参数 k,所以应对 k 进行分类讨论. 这位小男孩的精神,是多么令人感动!他就快要死了也不忘自己卖报诚信灵魂那地高尚伟大 三、利用数形结合思想求解集合的交、并集问题 【例 3】 50 名学生报名参加 A、B 两项课外学科小组,报名参加 A 组的人数是全体学生的 3 , 5 报名参加 B 组的人数比报名参加 A 组的人数多 3 人,两组都没报名的人数比同时报名参加 A、 B 两组人数的 1 多 1 人,求同时报名参加 A、B 两组的人数和两组都没报名的人数. 3 解:设同时报名参加两组的人数为 x,则两组均没报名的人数为 1 x+1, 3 根据 Venn 图可得(30-x)+(33-x)+x+( 1 x+1)=50, 3 由此解得 x=21. 故两组都没报名的人数为 1 x+1= 1 ×21+1=8. 33 温馨提示 从本题解答过程不难发现,画出 Venn 图可以帮助我们直观地理解某些概念和关系,也有 利于记忆和思考问题. 各个击破 类题演练 1 (2006 全国高考卷Ⅱ理,1)已知集合 M={x|x<3=,N={x|log2x>1},则 M∩N 等于( ) A. ? B.{x|0<x<3= C.{x|1<x<3= D.{x|2<x<3} 解析:∵log2x>1, ∴x>2.于是 M={x|x<3},N={x|x>2},所以 M∩N={x|2<x<3}.故选 D. 答案:D 变式提升 1 若 A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0}. (1)若 A∩B=A∪B,求 a 的值; (2)若 ? A∩B,A∩C= ? ,求 a 的值. 解析:由已知 B={2,3},C={2,-4}. (1) 由 A∩B=A∪B 知 A=B , 于 是 2,3 是 方 程 x2-ax+a2-19=0 的 两 个 根 , 故 有 ?2 ? 3 ? a, ? ?2 ? 3 ? a2 ? 19, ?a=5. (2)由 A∩B ? ,A∩C= ? , 得 3∈A,2?A,-4?A. ∴32-3a+a2-19=0 ?a=5 或 a=-2,当 a=5 时,A={2,3}与 2?A 矛盾; 当 a=-2 时,A={3,-5}符合题意, 所以 a=-2. 类题演练 2 (2006 全国高考卷Ⅰ理,1)设集合 M={x|x2-x<0=,N={x||x|<2},则( ) 2 这位小男孩的精神,是多么令人感动!他就快要死了也不忘自己卖报诚信灵魂那地高尚伟大 A.M∩N= ? B.M∩N=M C.M∪N=M 解析:∵M={x|x2-x<0==(0,1),N={x||x|<2==(-2,2), D.M∪N=R ∴M N.∴M∩N=M.故选 B. 答案:B 变式提升 2 设 A={x|-2<x<-1 或 x>1},B={x|a≤x≤b},A∪B={x|x>-2},A∩B={x|1<x≤3},则 a=__________,b=___________. 解析:由 A={x|-2<x<-1 或 x>1}及 A∩B={x|1<x≤3},可推出 B 可能是{x|x≤-2,或-1≤x≤3}. 又由 A∪B={x|x>-2}, 由图结合数轴可知 B={x|-1≤x≤3},故 a=-1,b=3. 答案:-1 3 类题演练 3 如右图所示,U 是全集,M、P、S 是 U 的 3 个子集,则阴影部分所表示的集合是( ) A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪S C.(M∩P)∩ S D.(M∩P)∪ S 解析:观察题中 Venn 图可知,阴影部分是 M

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