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广东省惠州市2013届高三第二次调研考试数学试题(文科)及答案


广东省惠州市 2013 届高三第二次调研考试数学试题 (文科) 2013.4
第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一.选择题:本大题共l0小题,在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.每小 题5分,满分50分. 1.命题“ 若 a ? b , 则 a ? 1 ? b ? 1 ”的否命题是( A. 若 a ? b , 则 a ? 1 ? b ? 1 C. 若 a ? b , 则 a ? 1 ? b ? 1 ).

B. 若 a ? b , 则 a ? 1 ? b ? 1 D. 若 a ? b , 则 a ? 1 ? b ? 1

2.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文 ? 密文(加密) ,接受方由密文 ? 明文(解 密) 已知加密规则为: , 明文 a , b , c , d 对应密文 a ? 2 b , 2 b ? c , 2 c ? 3 d , 4 d , 例如, 明文 1, 2 , 3, 4 对 应密文 5 , 7 ,1 8 ,1 6 .当接受方收到密文 1 4 , 9 , 2 3, 2 8 时,则解密得到的明文为( A. 4,6,1,7
?

) .

B. 7,6,1,4
?

C. 6,4,1,7
? ?

D. 1,6,4,7 ) .

3.已知向量 c ? ( 2 x ? 1 , 4 ) , d ? ( 2 ? x , 3 ) ,若 c // d ,则实数 x 的值等于( A.
? 1 2

B.

1 2

C.

1 6

D.

?

1 6

4.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于(
1 2
2 2 3 2

) .

A.

B.

C. 2

D.

5.在一次射击训练中,一小组的成绩如下表: 环数 人数

7

8

9
3

2

已知该小组的平均成绩为 8.环,那么成绩为 8 环的人数是( 1
A .5 B .6
C .4

) .

D .7

6. 下列函数为奇函数的是(
? ? A.y ? ? ? ? ?x x (x ? 0) (x ? 0)

) .
B .y ? x
3

C .y ? 2

x

D . y ? log

2

x

7. 下列四个几何体中,每个几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是(

) .

①正方体

②圆锥

③三棱台

④正四棱锥
开始

A.①②

B.①③

C.①④

D.②④
k=1

8.如果执行下面的程序框图,那么输出的 S ? ( A.2450 B.2500
?
3

) .

S ?0

C.2550
) 的图象先向左平移

D.2652
?
6

9.将函数 y ? s in ( 2 x ?

,然后将所得图象上

k ? 50?




所有的点的横坐标变为原来的 2 倍(纵坐标不变) ,则所得到的图象 对应的函数解析式为( A. y ? ? co s x ) . C. y ? s in x
a+b 2

S ? S ? 2k

输出S

B. y ? s in 4 x

D. y ? s in ( x ?

?
6

k ? k ?1

结束

) a b } ,若 a>b>0,

10.已知全集 R,集合 E = { x |b < x < 则有( ).

} , F = { x | a b < x < a } ,M = { x |b < x ?

A. M = E ? F

B. M = E ? F

C. M = E ? ( ?R F )

D. M = ( ?R E ) ? F

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二.填空题:本大题共5小题,其中14~15题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计 算前一题得分.每小题5分,满分20分. 11.化简:
(1 ? i ) i
1 ? f (x) 1 ? f (x)
2

?



12. 已知 y ? f ( x ) 是定义在 R 上的函数,且对任意 x ? R ,都有: f ( x ? 2 ) ?
1 2 1 4

,又

f (1 ) ?

, f (2) ?

, 则 f ( 2007 ) ?



?x ? 0 ? 13.若实数 x、 y 满足条件 ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为_____ . ? 2 x -2 y + 1 ? 0 ?

14. ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 极 坐 标 系 中 , 圆 ? ? 2 ? c o s ? ? 3 ? 0 上 的 动 点 到 直 线
2

? c o s ? ? ? s in ? ? 7 ? 0 的距离的最大值是



15. (几何证明选讲选做题)如右图所示, A B 是圆 O 的直径,
? D ? D E , A B ? 1 0 , B D ? 8 ,则 c o s ? B C E ? ? A



三.解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤. 16. (本小题 12 分) 在△ABC 中,a 、 b 、 c 是角 A 、 B 、 C 所对的边, 且满足 a ? c ? b ? a c .
2 2 2

(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)设 m ? ( s in A , c o s 2 A ) , n ? ( ? 6 , ? 1) ,求 m ? n 的最小值. 17.(本小题 14 分)已知:正方体 A B C D -A 1 B 1 C 1 D 1 , A A 1 = 2 ,E 为棱 C C 1 的中点. (Ⅰ) 求证: B 1 D 1 ? A E ; (Ⅱ) 求证: A C // 平面 B 1 D E ; (Ⅲ)求三棱锥 A -B D E 的体积. 18. (本小题 12 分)有朋自远方来,已知他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是
0 .3、 .2 、 .1、 .4 . 0 0 0
?? ?

?? ?

(Ⅰ)求他乘火车或飞机来的概率; (Ⅱ)求他不乘轮船来的概率; (Ⅲ)如果他来的概率为 0 .4 ,请问他有可能是乘何种交通工具来的?

19.(本小题 14 分)设函数 f ( x ) ?

a 3

x

3

? bx

2

? 4 cx ? d 的图象关于原点对称, f ( x ) 的图象在

点 P (1, m ) 处的切线的斜率为 ? 6 ,且当 x ? 2 时 f ( x ) 有极值. (Ⅰ)求 a、 b、 c、 d 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的所有极值. 20. (本小题 14 分)已知圆 C 1 : x ? y ? 2 和圆 C 2 ,直线 l 与圆 C 1 相切于点 (1,1) ;圆 C 2 的圆心
2 2

在射线 2 x ? y ? 0 ( x ? 0 ) 上,圆 C 2 过原点,且被直线 l 截得的弦长为 4 3 . (Ⅰ)求直线 l 的方程;

(Ⅱ)求圆 C 2 的方程.

21. (本小题 14 分)已知数列 ? a n ? 是等差数列, a 2 ? 6 , a 5 ? 1 8 ;数列 ? b n ? 的前 n 项和是 T n , 且Tn ?
1 2 bn ? 1 .

(Ⅰ) 求数列 ? a n ? 的通项公式; (Ⅱ) 求证:数列 ? b n ? 是等比数列; (Ⅲ) 记 c n ? a n ? b n ,求 ? c n ? 的前 n 项和 S n .

广东省惠州市 2013 届高三第二次调研考试 数学试题(文科)参考答案
题号 答案
1
C
2007.11

2
C

3

4
B

5

6

7

8

9

10

B

A

B

D

C

C

C

1.解析:命题“ 若 a ? b , 则 a ? 1 ? b ? 1 ”的否命题是: 若 a ? b , 则 a ? 1 ? b ? 1 ” “ ,故选 C.
? a ? 2b ? 14 ?a ? ? ? 2b ? c ? 9 ?b ? ? 2.解析:由已知,得: ? ? 2c ? 3d ? 23 ?c ?4d ? 28 ?d ? ?
? ?

? 6 ? 4 ?1 ? 7

,故选 C .

3.解析:若 c // d ,则 3( 2 x ? 1) ? 4 ( 2 ? x ) ? 0 ,解得 x ?

1 2

.故选 B .
2 2

4.解析:由题意得 2 a ? 2 2 b ? a ?

2 b ,又 a

2

? b ? c
2

2

? b ? c ? a ?

2c ? e ?



故选 B . 5. 解 析 : 设 成 绩 为 8 环 的 人 数 是 x
7 ? 2 ? 8 x ? 9 ? 3 ? 8 .1( 2 ? x ? 3 ) ? x ? 5 .

, 由 平 均 数 的 概 念 , 得 :

故选 A . 6.解析: A 是偶函数; C 是指数函数; D 是对数函数.故选 B . 7.解析:①的三视图均为正方形;②的三视图中正视图.侧视图为相同的等腰三角形,俯视图为 圆;④的三视图中正视图.侧视图为相同的等腰三角形,俯视图为正方形.故选 D .

8.解析:程序的运行结果是 s ? 2 ? 4 ? 6 ? ? ? ? ? 100 ? 2550 ,选 C . 9.解析: y ? s in ( 2 x ?
?
3 ) 的图象先向左平移
1 2

?
6

? y ? s in [ 2 ( x ?

?
6

)?

?
3

] ? s in 2 x ,横坐标变为

原来的 2 倍 ? y ? s in 2 (

x ) ? s in x .答案: C .

10.解析: 特殊值法: a ? 2 , b ? 1 , E={x| <x< } F={x| , M={x| <x 令 有 1 2<x<2}, 1
2

3

2}

?

. 故

选C .

题号 答案
(1 ? i ) i
2

11
2

12
1 3

13
2
4

14
2 ? 2

15
3 5

11.解析:

?

2i i

? 2.

12.解析:令 x ? 1 ,则 f (3 ) ?
1 2 1 4

1 ? f (1) 1 ? f (1)

?

1 3

,令 x ? 2 ,则 f ( 4 ) ?

1 ? f (2) 1 ? f (2)

?

3 5



同理得 f ( 5 ) ?

, f (6 ) ?

, 即当 x ? N

*

时, f ( n ) 的值以 4 为周期,
y
1 3

所以 f ( 2 0 0 7 ) ? f (5 0 1 ? 4 ? 3 ) ? f (3 ) ?


1
1 2

1

13.解析:由图象知:当函数 z ? 2 x ? y 的图象过点 ( , 1) 时,
2
z ? 2 x ? y 取得最大值为 2.

O

1 2

x

14. (坐标系与参数方程选做题)解析:将极坐标方程转化成直角坐标方程,圆 ( x ? 1) ? y ? 4 上
2 2

的动点到直线 x ? y ? 7 ? 0 的距离的最大值就是圆心 ( ? 1, 0 ) 到直线 x ? y ? 7 ? 0 的距离 d 再加 上半径 r ? 2 .故填 4 2 ? 2 . 15. (几何证明选讲选做题)解析:连结 A D 、 B E , 则在 ? A B D 和 ? B C E 中: ? A D B ? ? B E C ? 9 0 ,
0

且 ? A B D ? ? C B E ,所以 ? D A B ? ? E C B , 故 cos ? B C E ? cos ? D A B ?
3 5



三.解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤. 16.析:主要考察三角形中的边角关系、向量的坐标运算、二次函数的最值.

2 2 2 解:(Ⅰ)∵ a ? c ? b ? a c ,∴ c o s B ?

a ? c ?b
2 2

2

?

1 2



??????3 分

2ac

又∵ 0 ? B ? ? ,∴ B ?
?? ?

?
3



?????????????????5 分 ?????????????????6 分
3 2 ) ?
2

(Ⅱ) m ? n ? ? 6 s in A ? c o s 2 A
? 2 s in
2

A ? 6 s in A ? 1 ? 2 (s in A ? 2? 3

11 2



?????????8 分
D1
C1

∵0 ? A ?

,∴ 0 ? s in A ? 1 .

?????10 分 ????12 分
A1

∴当 s in A ? 1 时,取得最小值为 ? 5 .

B1

E

17.析:主要考察立体几何中的位置关系、体积. 解:(Ⅰ)证明:连结 B D ,则 B D // B 1 D 1 , ????1 分
A

D
B

C

∵ A B C D 是正方形,∴ A C ? B D .∵ C E ? 面 A B C D ,∴ C E ? B D . 又 A C ? C E ? C ,∴ B D ? 面 A C E . ∵ A E ? 面 A C E ,∴ B D ? A E , ∴ B 1 D 1 ? A E . ????????????????5 分 (Ⅱ)证明:作 B B 1 的中点 F,连结 A F 、 C F 、 E F . ∵ E 、 F 是 C C 1、 B B 1 的中点,∴ C E
B1 F ,

??????4 分

∴四边形 B 1 F C E 是平行四边形,∴ C F // B 1 E . ???7 分 ∵ E , F 是 C C 1、 B B 1 的中点,∴ E F / / B C , 又 B C / / A D ,∴ E F / / A D . ∴四边形 A D E F 是平行四边形,? A F // E D , ∵ A F ? C F ? C , B1 E ? E D ? E , ∴平面 A C F // 面 B 1 D E . ?????????????9 分 又 A C ? 平面 A C F ,∴ A C // 面 B 1 D E . (3) S ? A B D ?
1 2 AB ? AD ? 2 .

??????10 分

???????????11 分

V A? BDE ? V E ? ABD ?

1 3

S ?ABD ? C E ?

1 3

S ?ABD ? C E ?

2 3

. ???????????14 分

18.析:主要考察事件的运算、古典概型. 解:设“朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来”分别为事件 A、 B 、 C 、 D ,则 P ( A ) ? 0 . 3 ,
P ( B ) ? 0 .2 , P ( C ) ? 0 .1 , P ( D ) ? 0 .4 ,且事件 A、 B 、 C 、 D 之间是互斥的.

(Ⅰ)他乘火车或飞机来的概率为 P1 ? P ( A ? D ) ? P ( A ) ? P ( D ) ? 0 .3 ? 0 .4 ? 0 .7 ???4 分 (Ⅱ)他乘轮船来的概率是 P ( B ) ? 0 .2 , 所以他不乘轮船来的概率为 P ( B ) ? 1 ? P ( B ) ? 1 ? 0 .2 ? 0 .8 . ??????8 分 (Ⅲ)由于 0 .4 ? P ( D ) ? P ( A ) ? P ( C ) , 所以他可能是乘飞机来也可能是乘火车或汽车来的. ???????12 分 19.析:主要考察函数的图象与性质,导数的应用. 解:(Ⅰ)由函数 f ( x ) 的图象关于原点对称,得 f ( ? x ) ? ? f ( x ) ,??????1 分 ∴?
a 3 x ? bx ? 4cx ? d ? ?
3 2

a 3

x ? b x ? 4 c x ? d ,∴ b ? 0 , d ? 0 .
3 2
2

????2 分

∴ f (x) ?

a 3

x ? 4 c x ,∴ f '( x ) ? a x ? 4 c .
3

???????????4 分

∴?

? f '(1) ? a ? 4 c ? ? 6 ? f '( 2 ) ? 4 a ? 4 c ? 0

,即 ?

?a ? 4c ? ?6 ? 4a ? 4c ? 0



????????6 分

∴ a ? 2 , c ? ? 2 . ????????????????????7 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) ?
2

2 3

x ? 8 x ,∴ f '( x ) ? 2 x ? 8 ? 2 ( x ? 4 ) .
3
2 2

由 f ( x ) ? 0 , 得 x ? 4 ? 0 ,∴ x ? 2 或 x ? ? 2 .
x

???????9 分
(?2, 2)

(?? , ?2)

?2

2

(2, ?? )

f ?( x )

?

0 极小
32 3

+ ↗ .

0 极大

?

f (x)


32 3



∴ f ( x )极 大 ? f (? 2 ) ?

; ( x )极 小 ? f (2 ) ? ? f

?????????14 分

20.析:主要考察直线.圆的方程,直线与圆的位置关系.
2 2 解:(Ⅰ)(法一)∵点 (1,1) 在圆 C 1 : x ? y ? 2 上,

??????????2 分

∴直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ,即 x ? y ? 2 ? 0 . (法二)当直线 l 垂直 x 轴时,不符合题意.

???????????5 分 ???????????2 分

当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) ,即 k x ? y ? k ? 1 ? 0 .
| ?k ?1| k
2

则圆心 C 1 ( 0 , 0 ) 到直线 l 的距离 d ? r ?

2 ,即:

?

2

,解得 k

? ? 1 ,??4 分

?1

∴直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 .
2 2 2

?????????????????5 分

2 2 (Ⅱ)设圆 C 2 : ( x ? a ) ? ( y ? 2 a ) ? r ( a ? 0 ) ,∵圆 C 2 过原点,∴ 5 a ? r .

∴圆 C 2 的方程为 ( x ? a ) ? ( y ? 2 a ) ? 5 a ( a ? 0 ) .??????????7 分
2 2 2

∵圆 C 2 被直线 l 截得的弦长为 4 3 ,∴圆心 C 2 ( a , 2 a ) 到直线 l : x ? y ? 2 ? 0 的距离:
d ? 5a ? 12 ?
2

| a ? 2a ? 2 | 2



????????????????9 分

整理得: a ? 1 2 a ? 2 8 ? 0 ,解得 a ? 2 或 a ? ? 1 4 . ???????????10 分
2

∵ a ? 0 ,∴ a ? 2 .
2

??????????????????????13 分
2

∴圆 C 2 : ( x ? 2 ) ? ( y ? 4 ) ? 2 0 . ??????????????14 分

21.析:主要考察等差、等比数列的定义、式,求数列的和的方法. 解:(Ⅰ)设 ? a n ? 的公差为 d ,则: a 2 ? a 1 ? d , a 5 ? a 1 ? 4 d , ∵ a 2 ? 6 , a 5 ? 1 8 ,∴ ?
? a1 ? d ? 6 ? a1 ? 4 d ? 1 8

,∴ a 1 ? 2 , d ? 4 .

?????????2 分

∴ a n ? 2 ? 4 ( n ? 1) ? 4 n ? 2 . ????????????????4 分 (Ⅱ)当 n ? 1 时, b1 ? T1 ,由 T1 ? 当 n ? 2 时,? T n ? 1 ? ∴ T n ? T n ?1 =
1 2 1 2 1 2 b1 ? 1 ,得 b1 ? 1 2 b n ?1 , 2 3



???????5 分

b n , T n ?1 ? 1 ? 1 2

( b n ? 1 ? b n ) ,即 b n ?

( b n ?1 ? b n ) .

??????????7 分

∴ bn =

1 3

b n ?1 . 2 3

???????????????????????8 分
1 3
2 1 n ?1 1 n ?( ) ? 2 ?( ) . 3 3 3

∴ ? b n ? 是以

为首项,

为公比的等比数列. ?????????????9 分 ???????????10 分

(Ⅲ)由(2)可知: b n ?

∴ c n ? a n ? b n ? ( 4 n ? 2 ) ? 2 ? ( ) ? (8 n ? 4 ) ? ( ) . ?????????????11 分
n n

1

1

3

3

∴ S n ? c 1 ? c 2 ? ? ? c n ? 1 ? c n ? 4 ? ( ) ? 1 2 ? ( ) ? ? ? (8 n ? 1 2 ) ? ( )
2

1

1

1

n ?1

3

3

3

1 n ? (8 n ? 4 ) ? ( ) . 3



1

S n ? 4 ? ( ) ? 1 2 ? ( ) ? ? ? (8 n ? 1 2 ) ? ( ) ? (8 n ? 4 ) ? ( ) 3 3 3 3 3
2 3 n

1

1

1

1

n ?1



∴Sn ?

1 3

Sn ?

2 3

Sn ? 4 ?

1

1 2 1 3 1 n 1 n ?1 ? 8 ? ( ) ? 8 ? ( ) ? ? ? 8 ? ( ) ? (8 n ? 4 ) ? ( ) 3 3 3 3 3

1 2 1 n ?1 ( ) ? [1 ? ( ) ] 4 1 n ?1 3 3 ? ? 8? ? (8 n ? 4 ) ? ( ) 1 3 3 1? 3
? 8 1 n ?1 1 n ?1 . ? 4?( ) ? (8 n ? 4 ) ? ( ) 3 3 3 1
n

???????????????13 分

∴ S n ? 4 ? 4 ( n ? 1) ? ( ) .
3

???????????????????14 分


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