tceic.com
学霸学习网 这下你爽了
当前位置:首页 >> 数学 >>

2015年云南省第一次高三统测理科数学质量分析报告

2015 年云南省第一次高中毕业生复习统一检测 理科数学质量分析报告 一、试题特点
1.题型、题量 2015 年云南省第一次高中毕业生复习统一检测理科数学试卷包括第Ⅰ卷和 第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷为选择题;第Ⅱ卷为非选择题.考试时间为 120 分钟,满分 为 150 分. 全卷共 24 个题目.试题分选择题、填空题和解答题.其中,选择题 有 12 个小题,分值 60 分,填空题有 4 个小题,分值 20 分;解答题有 8 个小题, 分值 70 分,其中第 22~24 题,为三选一题目. 试卷的内容、形式、结构符合《2015 年普通高等学校招生全国统一考试大 纲》以及《2015 年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明》有关理科数学的 要求. 2.试题考查内容 理科数学试卷中,代数共 15 小题,约占 96 分;平面解析几何共 3 小题,约 占 22 分;立体几何共 3 小题,约占 22 分,选修 4—1(几何证明选讲)10 分,选 修 4—4(坐标系与参数方程)10 分,选修 4—5(不等式选讲)10 分. 3.试题考查的知识、方法和能力 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 主要内容 集合及其运算 复数 二项式展开式 三角函数 算法 三角函数 解三角形 抛物线 三视图 圆锥曲线 知识、方法和能力 集合的交集 复数的运算与几何意义 二项式展开式通项公式的应用、待定系数法 三角函数图象与周期性质 程序框图、条件结构、循环结构、推理能力 三角函数图象之间的关系 正弦定理、余弦定理的应用 抛物线的性质、直线与抛物线交接的研究 三视图、球、柱体的体积、空间想象能力 椭圆、双曲线的定义及应用

2015 年云南省第一次统测理科数学质量分析报告第 1 页( 共 30 页)

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 4.试题综评

古典型概率 线性规划 平面向量 三棱柱 函数图象的切线 数列 数列 概率与统计 四棱锥 椭圆 函数与不等式 圆与相似三角形 坐标系与参数 方程 不等式

排列组合的应用 数形结合 平面向量的模、数量积 线面平行、垂直、线面所成角的计算 函数导数的几何意义、圆的切线的几何意义 合情推理、前 n 项和的求法 等差通项公式的应用、前 n 项和的求法及推理能力 概率计算、数学期望的求法及其意义的应用 线面垂直与平行、二面角的求法 椭圆性质、直线与椭圆的交接关系研究 用导数研究函数的性质、 不等式恒成立、 构造函数、 转化与化归、推理能力、运算能力 圆的性质、多边形外接圆概念、相似三角形、综合 论证法、观察能力、推理能力 参数方程表示、参数几何意义、运算能力 不等式证明、绝对值不等式、均值不等式、运算能 力

2015 年云南省第一次高中毕业生复习统一检测理科数学试题内容涵盖了高 中数学学习内容的必修 1~5、 选修系列 2 以及选修系列 4 的三个模块的重点内容 和方法,充分反映了《2015 年普通高等学校招生全国统一考试大纲》以及《2015 年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明》有关理科数学知识、能力的内容 与层次要求. 试卷重视对常规思想方法的考查,如数形结合、分类讨论、化归转化等思想 方法.试卷对能力的考查全面且重点突出,特别重视对学生应用能力,分析能力, 空间想象能力、推理论证能力、数据处理能力的考查. 全卷内容、能力的要求更倾向数学科学的意义,全卷无偏题和怪题,强调数 学的通性、通则、通法,全面淡化特殊的技巧,全卷凸现了高中数学的主干知识 和方法,有利于正确引导我省中学数学的复习教学.从统计分析结果看,全卷难

2015 年云南省第一次统测理科数学质量分析报告第 2 页( 共 30 页)

度稍大,这种情况以及分数的分布实际更与高考数学的实际相符. 特别需要说明的是, 本次理科数学考试有意识地强调对考生个性品质的考查. 采取全国高考数学早在 1999 年就实施的考查个性品质 (当时称为心理品质) 的方 法,即打破试题从易到难的排列顺序,测试考生适应环境和应对环境的能力.实践 表明,许多考生在这方面确实存在突出的问题,比如,有考生在第(7)题花时间 太多,影响了后面问题的解答. 在这方面,我们要有正确认识,不能依据题目顺 序进行难易程度的判断,以适应高考数学对这方面的考试要求. 二、统计分析 1.抽样全卷基本情况
样本数 1166 满分值 150 平均分 67.2 难度 0.45 标准差 22.92 及格人数 208 及格率 17.84 最高分 135

2.抽样分数段
分数段 人数 合计 分数段 人数 合计 90~99 100~109 0~49 50~59 60~69 70~79 80~89 抽样总数

260

185

192
958 110~119

181

140

1166

120~129

130~139

140~150

107

63

27
208

9

2

0

2015 年云南省第一次统测理科数学质量分析报告第 3 页( 共 30 页)

3.各小题抽样情况
(1)选择题
正 题 满 确 分 选 号 值 项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 数 例% 数 例% 数 例% 数 例% 选人数 例% 人 比 人 比 人 比 人 比 (多) 选比 A A B B C C D D 未 (多) 未

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

C A D B B D A C D A B C

79 942 51 189 11 180 290 45 19 426 244 93

6.78 80.79 4.37 16.21 0.94 15.44 24.87 3.86 1.63 36.54 20.93 7.98

73 84 74 557 1121 181 424 75 39 288 768 140

6.26 7.2 6.35 47.77 96.14 15.52 36.36 6.43 3.34 24.7 65.87 12.01

973 54 46 282 18 287 187 831 59 197 115 471

83.45 4.63 3.95 24.19 1.54 24.61 16.04 71.27 5.06 16.9 9.86 40.39

36 81 991 133 12 513 259 210 1043 250 34 457

3.09 6.95 84.99 11.41 1.03 44 22.21 18.01 89.45 21.44 2.92 39.19

5 5 4 5 4 5 6 5 6 5 5 5

0.43 0.43 0.34 0.43 0.34 0.43 0.51 0.43 0.51 0.43 0.43 0.43

2015 年云南省第一次统测理科数学质量分析报告第 4 页( 共 30 页)

满分 题 号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

满分值

平均分

难度

区分度

标准差 人数

满分率

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

4.17 4.04 4.25 2.39 4.81 2.2 1.24 3.56 4.47 1.83 3.29 2.02

0.83 0.81 0.85 0.48 0.96 0.44 0.25 0.71 0.89 0.37 0.66 0.4

0.19 0.44 0.52 0.49 0.24 0.49 0.19 0.39 0.42 0.36 0.43 0.24

1.86 1.97 1.78 2.5 0.95 2.48 2.16 2.27 1.54 2.41 2.38 2.45

973 942 991 557 1121 513 290 831 1043 426 768 471

83.45 80.79 84.99 47.77 96.14 44 24.87 71.27 89.45 36.54 65.87 40.39

题 号

满 分 值

平 均 分



区 分

标 准 差

及 格 人 数

及 格 率

满 分 人 数

满 分 率

最 高 分





选 择 题

60

38.28

0.64

0.84

11.01

646

55.4

29

2.49

60

2015 年云南省第一次统测理科数学质量分析报告第 5 页( 共 30 页)

(2)填空题 题 满 分 号 值 平 均 分 度 难 区 分 度 标 准 差 及 格 人 数 13 14 15 16
填 空 题

及 格 率

满 分 人 数

满 分 率

最 高 分

5 5 5 5

2.68 0.89 1.13 0.18

0.54 0.18 0.23 0.04

0.56 0.47 0.47 0.33

2.49 1.92 2.09 0.93

624 208 263 42

53.52 17.84 22.56 3.6

624 208 263 42

53.52 17.84 22.56 3.6

5 5 5 5

20

4.88

0.24

0.72

4.98

104

8.92

15

1.29

20

(3)解答题 题 满 分 号 值 平 均 分 度 难 区 分 度 标 准 差 及 格 人 数 17 18 19 20 21 选考 解 答 题 70 24.05 0.34 0.87 11.51 93 7.98 0 0 59 12 12 12 12 12 10 3.44 6.14 7.05 1.14 2.22 4.05 0.29 0.51 0.59 0.1 0.19 0.41 0.53 0.61 0.63 0.55 0.54 0.53 2.76 3.66 3.74 1.72 2.87 2.8 131 487 485 13 48 289 11.23 41.77 41.6 1.11 4.12 24.79 及 格 率 满 分 人 数 7 141 263 4 23 66 0.6 12.09 22.56 0.34 1.97 5.66 12 12 12 12 12 10 满 分 率 最 高 分

2015 年云南省第一次统测理科数学质量分析报告第 6 页( 共 30 页)

(4)第 II 卷 题 满 分 号 第 II 卷 90 值 平 均 分 度 难 区 分 度 标 准 差 及格 人数 及 格 率 满分 人数 满 分 率 最 高 分

28.92

0.32

0.92

14.9

82

7.03

0

0

77

(5)选考题数据统计 题号 22 23 24 满分值 10 10 10 选择人数 57 889 220 平均分 2.3 4.0 4.5 难度 0.23 0.40 0.45 标准差 3.06 2.67 3.06 及格人数 9 217 63 及格率% 15.79 24.41 28.64 最高分 10.0 10.0 10.0

三、试题质量分析
第(1)题: 设 ? 表示空集, R 表示实数集,全集 U ? R ,集合 A ? x x 2 ? x ? 0 ,集合

?

?

B ? ? y ? 1 ? y ? 1 ?,则 A B ?
(A) 0 (B) ? (C ) ? 0 ? (D) ?? ?

解:∵ A ? x x 2 ? x ? 0 ? ?0 ,1 ?, B ? ? x ? 1 ? x ? 1 ?, ∴ A B ? ? 0 ?. ∴正确选项为(C). 答题情况分析:有考生将 A B ? 0 ,导致失分. 第(2)题: 已知 i 为虚数单位, z i ? 2 i ? z ,则复数 z 在复平面内对应的点位于 (A)第一象限 (B)第二象限 解:∵ z i ? 2 i ? z ,∴ z ?
2i ? 1? i . 1? i

?

?

(C)第三象限

(D)第四象限

∴复数 z 在复平面内对应的点位于第一象限.

2015 年云南省第一次统测理科数学质量分析报告第 7 页( 共 30 页)

∴正确选项为(A). 答题情况分析:有考生将 i 2 ? ?1 记错,或者不会对 z i ? 2 i ? z 进行正确变形, 导致失分. 第(3)题:
6 在 ( ax ?

b 4 ) 的二项展开式中,如果 x 3 的系数为 20 ,那么 ab 3 ? x

(A) 20 解:∵ ( ax 6 ?
Tk ?1

(B) 15

(C) 10

(D) 5

b 4 ) 的展开式中第 k ? 1 项为 x b k k 4 ? k k 24? 7 k ? C4 (ax 6 ) 4? k ( ) k ? C 4 a b x , x

? 24 ? 7k ? 3, 又∵ x 3 项的系数为 20 ,∴ ? k 4?k k 解得 ab 3 ? 5 . ?C4 a b ? 20,
. ∴ ab 3 ? 5 . ∴正确选项为(D). 答题情况分析:考生记错 (a ? b) n 展开式的通项公式,是本题失分的主要 原因. 第(4)题: 下列函数,有最小正周期的是 (A) y ? sin x (C) y ? tan x (B) y ? cos x (D) y ? ( x 2 ? 1 ) 0

解 : 借助 f ( x ) 与 f ( x ) 的图象关系,容易得到在 y ? sin x , y ? cos x ,

y ? tan x ,中,只有 y ? cos x 是周期函数,而且 cos x ? cos x ,有最
小正周期. y ? ( x 2 ? 1 ) 0 ? 1 是周期函数,但没有最小正周期. ∴正确选项为(B). 答题情况分析:考生由于不能区分周期与最小正周期,或者不能识别
f ( x ) 与 f ( x ) 的图象关系,导致失分.

2015 年云南省第一次统测理科数学质量分析报告第 8 页( 共 30 页)

第(5)题: 若执行如图所示的程序框图, 则输出的结果 s ? (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11
n<3? 是 n=n+1 结束 a=a+2 否 输出 s 开始 a = 1,s = 0,n = 1 s=s+a

解:程序在运行过程中各变量的值如下表示: 第一次循环:当 n ? 1时,得 s ? 1, a ? 3 , 第二次循环: 当 n ? 2 时,得 s ? 4 , a ? 5 , 第三次循环:当 n ? 3 时,得 s ? 9 , a ? 7 , 此时 n ? 3 ,不再循环,所以 s ? 9 . ∴正确选项为(B). 答题情况分析:考生没有读懂程序框图的意义,导致本题失分. 第(6)题: 已知平面向量 a ? ( 2 cos 2 x , sin 2 x ) , b ? ( cos 2 x , ? 2 sin 2 x ) , f ( x) ? a ? b , 要得到 y ? sin 2 x ? 3 cos 2 x 的图象,只需要将 y ? f ( x) 的图象

? 个单位 6 ? (D)向右平行移动 个单位 12 ? ? 解:∵ y ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2 sin( 2 x ? ) ? 2 sin 2( x ? ) , 3 6
(A)向左平行移动 (B)向右平行移动

? 个单位 6 ? (C)向左平行移动 个单位 12

a ? ( 2 cos 2 x , sin 2 x ) , b ? ( cos 2 x , ? 2 sin 2 x ) , f ( x) ? a ? b ,
f ( x) ? 2 cos 4 x ? 2 sin 4 x ? 2 cos 2 x ? 2 sin 2( x ?

?
4

),

∴要得到 y ? sin 2 x ? 3 cos 2 x 的图象,只需要将 y ? f ( x) 的图象向右平行移

2015 年云南省第一次统测理科数学质量分析报告第 9 页( 共 30 页)



? 个单位. 12

∴正确选项为(D). 答题情况分析: 考生平面向量运算出错或者三角函数图象间关系弄错是本题 失分的关键因素. 其实,将函数化归为 A sin( ?x ? ? ) ? C ,是解决这类问题的基本思想方法, 但是数式运算很关键. 第(7)题: 已知 ? ABC 的内角 A 、 B 、 C 对的边分别为 a 、 b 、 c ,

sin A ? 2 sin B ? 2sin C , b ? 3 ,当内角 C 最大时, ? ABC 的面积等于
(A)
9?3 3 4

(B)

6?3 2 4

(C )

3 2 6? 2 4

(D)

3 6 ?3 2 4

解:∵ sin A ? 2 sin B ? 2sin C , b ? 3 , ∴ a ? 2b ? 2c . ∴ cos C ?
a 2 ? b 2 ? c 2 3a 2 ? 2b 2 ? 2 2ab 3a 2 ? 18 ? 6 2a ? ? 2ab 8ab 24a

?

a 3 2 a 3 2 ? ? ?2 ? ? ? 8 4a 4 8 4a 4
a 3 ? ,即 a ? 6 . 8 4a

6? 2 . 4

“ ? ”成立 ?

∴ cos C 的最小值为 ∵0 ? C ?? ,

6? 2 . 4

∴ cos C 是 C 的减函数. ∴当 cos C ?
6? 2 时, C 最大,此时, a ? 6 , sin C ? 4
ab sin C 3 6 6 ? 2 9?3 3 ? ? ? . 2 2 4 4

6? 2 . 4

∵ ?ABC 的面积 S ?

∴正确选项为(A). 答题情况分析:由上述解法可以看出,本题的解决方法涉及正弦定理、余

2015 年云南省第一次统测理科数学质量分析报告第 10 页( 共 30 页)

弦定理、基本不等式和三角形面积公式等,哪部分出错,都会影响问题的正确 解答. 虽然就单纯的正弦定理、余弦定理、基本不等式和三角形面积公式,考 生很熟知,平常练得多、考得多,现行高考理科数学对这部分的要求也不高, 但考生对这几部分综合在一起,由于没有经验,加上处理的都是数字运算,很 多考生面对此题,显得力不从心. 影响本题得分的因素主要有以下几个: 1.考生记错正弦定理, 或者余弦定理, 或者想不到用基本不等式解决问题; 2.考生对条件内角 C 最大,不会用 cos C 来表示; 3.一些考生得到了 cos C ? 而返. 考后通过老师的讲评, 许多考生认为该题并不难, 只是以前没有见过而已, 从数学科学的角度看,整个题目的解答也属于数学通法,不偏、不怪. 第(8)题: 已知抛物线 C 的顶点是原点 O ,焦点 F 在 x 轴的正半轴上,经过 F 的直线 与抛物线 C 交于 A 、 B 两点,如果 OA ? OB ? ?12 ,那么抛物线 C 的方程为 (A) x 2 ? 8 y (C) y 2 ? 8 x
2

6? 2 ,没有算出 sin C ? 4

6? 2 , 也就无功 4

(B) x 2 ? 4 y (D) y 2 ? 4 x

2 y2 y12 p 解:设抛物线 C 的方程为 y ? 2 px ( p ? 0) , A( , y1 ) , B( , y 2 ) , F ( , 0 ) , 2 2p 2p

根据已知得 y1 y 2 ? ? p 2 . ∴ OA ? OB ?

( y1 y 2 ) 2 3p2 ? y y ? ? ? ?12 ,解得 p ? 4 . 1 2 4 4 p2

∴抛物线 C 的方程为 y 2 ? 8 x . ∴正确选项为(C). 答题情况分析:考生列抛物线方程出错,或者平面向量数量积运算出错,或 者具体数式运算出错,导致失分. 第(9)题: 下图是一个空间几何体的三视图(注:正视图也称主视图,侧视图也称左视
2015 年云南省第一次统测理科数学质量分析报告第 11 页( 共 30 页)

图) ,其中正视图、侧视图都是由边长为 4 和 6 的矩形以及直径等于 4 的圆组 成,俯视图是直径等于 4 的圆,该几何体的体积是
41? 3 62? (B) 3 83? (C ) 3 104? (D) 3

(A)

6 4 正视图

6 4 侧视图

4 俯视图

解:根据题意得这个空间几何体是球与圆柱体的组合体,球的体积等于 圆柱体的体积等于 24? ,所以这个空间几何体的体积等于 ∴正确选项为(D).
104? . 3

32? , 3

答题情况分析:考生不能通过空间几何体的正视图、侧视图、俯视图判断出 这个空间几何体的形状,是本题失分的主要原因. 第(10)题: 已知 F1 、 F2 是双曲线 M : 渐近线, 离心率等于

y2 x2 2 5 x 是双曲线 M 的一条 ? 2 ? 1 的焦点, y ? 5 4 m

3 的椭圆 E 与双曲线 M 的焦点相同,P 是椭圆 E 与双曲线 M 4

的一个公共点,设 PF1 ? PF2 ? n ,则下列正确的是 (A) n ? 12 (C) n ? 36 解:∵双曲线 M : ∴ (B) n ? 24 (D) n ? 12 且 n ? 24 且 n ? 36

y2 x2 2 5 x, ? 2 ? 1 的一条渐近线为 y ? 5 4 m

4 4 ? ,解得 m 2 ? 5 .∴ 4 ? m 2 ? 9 . 2 5 m

∴双曲线 M 的半焦距等于 3 .

2015 年云南省第一次统测理科数学质量分析报告第 12 页( 共 30 页)

根据已知设椭圆 E 的方程为

y2 x2 3 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,则 ? ,解得 a ? 4 . 2 a 4 a b

∵ P 是椭圆 E 与双曲线 M 的一个公共点,
? ? PF1 ? PF2 ? 8, ∴? ∴ ( PF1 ? PF2 ) 2 ? PF1 ? PF2 ? ? PF1 ? PF2 ? 4.
2

? 4 PF1 PF2 ? 48 .

∴ PF1 ? PF2 ? 12 . ∴正确选项为(A). 答题情况分析:计算复杂甚至繁难是平面解析几何问题的突出困难,考生
? ? PF1 ? PF2 ? 8, 不能正确使用椭圆、双曲线的定义列出方程组 ? 或者开始求 m ? ? PF1 ? PF2 ? 4.

的值时,计算弄错,影响了该题的得分. 第(11)题: 在 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 这组数据中,随机取出五个不同的数,则 数字 5 是取出的五个不同数的中位数的概率为 (A)
9 56

(B)

9 28

(C)

9 14

(D)

5 9

解:在 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 这组数中,随机取出五个不同的数,总 的取法为 C85 ? C83 ? 56 ,在取出的五个不同的数中,数字 5 要是中位数, 则在 1 , 2 , 3 , 4 中随机取出两个数,再在 6 , 7 , 8 中随机取出两个数,
2 2 C3 ? 18 种情况,所以所求概率为 共有 C 4

18 9 ? . 56 28

∴正确选项为(B). 答题情况分析:考生不能正确使用两个原理,或者没有把所有情况考虑清 楚或者,或者中位数概念出错导致错选. 第(12)题: 某校今年计划招聘女教师 a 名,男教师 b 名,若 a 、 b 满足不等式组

?2a ? b ? 5, ? ? a ? b ? 2, 设这所学校今年计划招聘教师最多 x 名,则 x ? ? a ? 7, ?
(A) 10 (B) 12 (C) 13 (D) 16

2015 年云南省第一次统测理科数学质量分析报告第 13 页( 共 30 页)

解:根据已知得 x 为 a ? b 的最大值,由 a 、 b 都是正整数,把问题转化为 a 、 b

?2 a ? b ? 5 , ? 满足约束条件 ? a ? b ? 2, 求 a ? b 的最大值.利用线性规划的方法, 容易求 ? a ? 6, ?
得 a ? b 的最大值为 13 ,即 x ? 13 . ∴正确选项为(C). 答题情况分析:对于大多数考生来讲,都能想到本题属线性规划问题,用 线性规划的方法求解,涉及到的数量关系也不复杂,但由于考生解决线性规划 问题的技能不熟练,有的想不到怎么去求解线性规划的结论,乱选乱涂,还有 考生画图画错或者具体的数式计算出错,导致错选. 对于许多平时数学成绩优秀的考生而言,由于没有注意到最大值必须能够 取到,错选(D)的很多. 第(13)题: 已知平面向量 a 与 b 的夹角等于 于 . 解: 2 a ? 3 b ? (2a ? 3b) 2 ? 4a ? 12a ? b ? 9b ? 133 . 答题情况分析:考生不能正确使用 2 a ? 3 b ? (2a ? 3b) 2 ? 4a ? 12a ? b ? 9b , 或者数式计算出错,是本题失分的主要原因. 第(14)题: 在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? 1 ,点 D 在棱 BB1 上,若 BD ? 1 ,则 AD 与平面 AA1C1C 所成角的正切值为 解:根据题意得点 D 到平面 AA1C1C 的距离为
3 2 2? 3 4
2 2
2 2

2? ,如果 a ? 2 , b ? 3 ,那么 2 a ? 3 b 等 3


3 ,设 AD 与平面 AA1C1C 所 2

成角为 ? ,则 tan ? ?

?

15 . 5

所以 AD 与平面 AA1C1C 所成角的正切值为

15 . 5

2015 年云南省第一次统测理科数学质量分析报告第 14 页( 共 30 页)

答题情况分析: 通过抽样发现, 有不少考生试图建立空间坐标系来求解此题. 但是因为计算不过关,无功而返. 其实,如果我们平时注意培养学生的空间想象能力,学会一些典型的推理几 何方法,此题也就化险为夷了. 值得说明的是,推理几何的基本方法属于《2015 年普通高等学校招生全国统 一考试大纲》以及《2015 年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明》有关理 科数学的要求. 第(15)题: 已知 f ( x ) ? x 3 ? a x ? 2b ,如果 f ( x ) 的图象在切点 P (1, ? 2 ) 处的切线与圆

( x ? 2 ) 2 ? ( y ? 4 ) 2 ? 5 相切,那么 3 a ? 2 b ?



解:设 f ( x ) 在切点 P (1, ? 2 ) 处的切线的斜率为 k ,圆 ( x ? 2 ) 2 ? ( y ? 4 ) 2 ? 5 的 圆心为 C ( 2 , ? 4) , k PC ? ?2 . ∵点 P (1, ? 2 ) 在圆 ( x ? 2 ) 2 ? ( y ? 4 ) 2 ? 5 上, ∴ k ? k PC ? ?1 . ∴k ?
1 . 2

∵ f ( x ) ? x 3 ? a x ? 2b , ∴ f ?( x ) ? 3x 2 ? a .

5 ? 1 ? ?a ? ? 2 , ?3 ? a ? , 由已知得 ? 解得 ? 2 1 ? ? b? . ?1 ? a ? 2b ? ?2, 4 ?
∴3 a ? 2 b ? ?7 . 答题情况分析:考生在求 f ( x ) ? x 3 ? a x ? 2b 的导数时,计算出错,导致求 函数 f ( x ) ? x 3 ? a x ? 2b 的图象在点 P (1, ? 2 ) 处的切线的斜率计算出错,有的不 能用圆的几何意义简化计算,还有的不会以方程的思想去求 a 、 b ,试图直接整 体求 3 a ? 2 b .

2015 年云南省第一次统测理科数学质量分析报告第 15 页( 共 30 页)

第(16)题: 在数列 ? a n ? 中, an ? 0 , a1 ?

2a a ? 1 1 ,如果 a n ?1 是 1 与 n n?12 的等比中项,那 2 4 ? an


么 a1 ?

a a 2 a3 a 4 ? 2 ? 2 ? ? ? 1002 的值是 2 2 3 4 100

解:∵ a n ?1 是 1 与

2a n a n?1 ? 1 的等比中项, 2 4 ? an

2 ∴ an ?1 ?

2an an?1 ? 1 , 2 4 ? an

2 2 2 ∴ 4a n ?1 ? a n a n ?1 ? 2a n a n ?1 ? 1 .

由 an ? 0 得 a n ?1 ? ∵ a1 ? ∴ a2 ? ∴
1 , 2

1 . 2 ? an

3 2 4 n , a 3 ? , a 4 ? ,……, a n ? . 4 5 3 n ?1

an 1 1 1 ? ? ? . 2 n(n ? 1) n n ? 1 n

∴ a1 ?

a a 2 a3 a 4 1 100 . ? 2 ? 2 ? ? ? 1002 ? 1 ? ? 2 101 101 2 3 4 100

答题情况分析:考生普遍出现的问题有以下四个: (1)符号意识不强,不会将“ a n ?1 是 1 与

2a n a n?1 ? 1 的等比中项”符号化为 2 4 ? an

2 an ?1 ?

2an an?1 ? 1 ,失去解答本题的基础; 2 4 ? an

2 (2)不会将 an ?1 ?

2an an?1 ? 1 1 化简为递推式 a n ?1 ? ; 2 2 ? an 4 ? an
1 的通项公式; 2 ? an

(3)不会用合情推理求递推式为 a n ?1 ?

(4)不会用裂项求和求通项为

an 1 ? 的前 100 项的和. 2 n(n ? 1) n

2015 年云南省第一次统测理科数学质量分析报告第 16 页( 共 30 页)

第(17)题: 在数列 ? a n ?中, a1 ? 和是 S n . (Ⅰ)证明数列 ? bn ?是等差数列,并求 S n ; (Ⅱ)比较 a n 与 S n ? 7 的大小. (Ⅰ)证明:∵ bn ?
1 a n ?1 ? 1

3 1 1 , a n ?1 ? 2 ? ,设 bn ? ,数列 ? bn ?的前 n 项 5 an ? 1 an

1 1 , a n ?1 ? 2 ? , an ? 1 an
? 1 ? 1 ? bn ? 1 . an ? 1

∴ bn ?1 ?

∴ bn?1 ? bn ? 1 . ∴数列 ? bn ?是公差为 1 的等差数列. 由 a1 ?
3 5 1 , bn ? 得 b1 ? ? . 5 2 an ? 1

∴ Sn ? ?

5n n(n ? 1) n 2 ? ? ? 3n . 2 2 2

5 7 1 (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知: bn ? ? ? n ? 1 ? n ? . 由 bn ? 得 2 2 an ? 1

an ? 1 ?

1 ? 1? bn

1 7 n? 2

.

∴ an ? S n ? 7 ? ?

n2 ? 3n ? 6 ? 2

1 7 n? 2

.

∵当 n ? 4 时, ?

n2 1 ? 3n ? 6 是减函数, 也是减函数, 7 2 n? 2

∴当 n ? 4 时, an ? S n ? 7 ? a4 ? S 4 ? 7 ? 0 . 又∵ a1 ? S1 ? 7 ? ?
39 8 7 ? 0 , a 2 ? S 2 ? 7 ? ? ? 0 , a3 ? S 3 ? 7 ? ? ? 0 , 10 3 2

2015 年云南省第一次统测理科数学质量分析报告第 17 页( 共 30 页)

∴ ? n ? N ? , an ? S n ? 7 ? 0 . ∴ an ? S n ? 7 . 答题情况分析:考生普遍出现的问题有以下两个: (1)符号意识不强,没有弄懂数列 ? bn ?与数列 ? a n ?的关系,抽样发现,不 会使用 bn ?
1 建立 ? bn ?的递推关系很普遍,造成第(Ⅰ)问失分; an ? 1

(2) 不会从函数的立场分析研究与数列相关的问题, 更不善于把数列有关问 题当成特殊的函数,用函数为工具去解决问题,导致第(Ⅱ)问失分. 应该注意的是,本题整个解答过程涉及的数学思想和方法都是数学的通法, 不偏不怪,只是问题的形式相对考生头脑中的数列新颖一点罢了,正是问题的新 颖影响了本题的得分. 第(18)题: 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,射击次数相同,已知两名运动员击 中的环数 X 稳定在 7 环, 8 环, 9 环, 10 环,他们比赛成绩的统计结果如下:
击中频率 环数

7

8

9

10

选手 甲 乙

0.2 0.2

0.15

0.3 0.2 0.35

请你根据上述信息,解决下列问题: (Ⅰ)估计甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于 9 环的概率; (Ⅱ)若从甲、乙运动员中只能挑选一名参加某大型比赛,请你从随机变量 均值意义的角度,谈谈让谁参加比较合适? 解: (Ⅰ)记甲运动员击中 n 环为事件 An ;乙运动员击中 n 环为事件

Bn ( n ? 1, 2 , 3 ,?,10 ) ,甲运动员击中的环数不少于 9 环为事件 A9 ? A10 ,
乙运动员击中的环数不少于 9 环为事件 B 9 ? B10 , 根据已知事件 A9 与事件

2015 年云南省第一次统测理科数学质量分析报告第 18 页( 共 30 页)

A10 互斥,事件 B9 与事件 B10 互斥,事件 A9 ? A10 与事件 B 9 ? B10 独立.

P( A9 ? A10 ) ? P( A9 ) ? P( A10 ) ? 1 ? 0.2 ? 0.15 ? 0.65 , P( B9 ? B10 ) ? P( B9 ) ? P( B10 ) ? 0.2 ? 0.35 ? 0.55 .
∴甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于 9 环的概率等于

0.65 ? 0.55 ? 0.3575 .
(Ⅱ)设甲、乙两名射击运动员击中的环数分别为随机变量 X 、 Y ,根 据已知得 X 、 Y 的可能取值为: 7 、 8 、 9 、 10 . 甲运动员射击环数 X 的概率分布列为:
X

7
0.2

8
0.15

9
0.3

10
0.35

P

甲运动员射击环数 X 的均值

EX ? 7 ? 0.2 ? 8 ? 0.15 ? 9 ? 0.3 ? 10 ? 0.35 ? 8.8 .
乙运动员射击环数 Y 的概率分布列为:
Y P

7
0.2

8
0.25

9
0.2

10
0.35

乙运动员射击环数 Y 的均值

EY ? 7 ? 0.2 ? 8 ? 0.25 ? 9 ? 0.2 ? 10 ? 0.35 ? 8.7 .
∵ EX ? EY , ∴从随机变量均值意义的角度看,选甲去比较合适 . 答题情况分析:影响考生本题得分的因素有以下三个: (1)读书理解力不强,没有理解试题提供的信息; (2)有的考生读懂了题意,但概率统计方面基础不够扎实,不能够把问 题转化为基本事件的和; (3)对于第(Ⅱ)问,抽样发现,考生不能够得出 X 、 Y 的值分别为:

7 , 8 , 9 , 10 的正确概率,当然影响了第(Ⅱ)问的得分.
(4)还有考生,虽然算对了甲运动员射击环数 X 的均值与乙运动员射击 环数 Y 的均值,但是弄错了均值的含义,做出了错误的判断.
2015 年云南省第一次统测理科数学质量分析报告第 19 页( 共 30 页)

第(19)题: 如 图 , 在四 棱锥 C ? ABDE 中 , F 为 CD 的 中 点, DB ? 平 面 ABC ,

AE // BD , AB ? BC ? CA ? BD ? 2 AE .
(Ⅰ)求证: EF ? 平面 BCD ; (Ⅱ)求平面 CED 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的大小.

D E F A C B

解:设 AE ? 1 ,建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz , A(0,0,0) , B (0,2,0) ,

D
z

C ( 3 ,1,0) , D (0,2,2) , E (0, 0 ,1 ) ,

F(

E F A
x

3 3 3 3 , ,1) , EF ? ( , ,0 ) , 2 2 2 2

CD ? (? 3 ,1, 2 ) , BD ? (0 , 0 , 2 ) .
y

B C

∵ EF ? CD ? 0 , EF ? BD ? 0 , ∴ EF ? CD , EF ? BD . 又∵ CD ? 平面 BCD , BD ? 平面 BCD ,

CD ? BD ? D ,
∴ EF ? 平面 BCD . (Ⅱ)设平面 CED 的一个法向量为 n ? ( x , y , z ) ,则 n ? EF , n ? CD .

? 3 ? 3 3 y?? , ? ? ? x ? y ? 0, 3 ∴? 2 取 ,解得 x ? 1 ? 2 ? ?z ? 2 3. ?? 3 x ? y ? 2 z ? 0, ? 3 ?
∴ n ? ( 1, ?
3 2 3 , ) 是平面 CED 的一个法向量,而平面 ABC 的一个法向 3 3

2015 年云南省第一次统测理科数学质量分析报告第 20 页( 共 30 页)

量为 m ? ( 0 , 0 ,1) . 设平面 CED 与平面 ABC 所成二面角 (锐角) 的大小为 ? , 则 cos ? ?
m?n mn ? 2 . 2

∵0 ?? ?

?
2

,∴ ? ?

?
4



∴平面 CED 与平面 ABC 所成二面角(锐角)的值为

? . 4

答题情况分析: 本题属于理科立体几何中的典型题型, 无论是问题的陈述形 式, 还是问题涉及到的数量关系, 都是比较常见的.解答涉及到的计算也不复杂. 抽样发现,考生出错都表现在具体的数、式运算方面,有的是点的坐标算错, 有的是向量的坐标运算算错,有的是向量的数量积算错. 第(20)题: 已知曲线 C 的方程为
x 2 ? y 2 ? 2x ? 1 ? x 2 ? y 2 ? 2x ? 1 ? 4 , 经 过 点

(?1, 0 ) 作斜率为 k 的直线 l ,l 与曲线 C 交于 A 、 B 两点,l 与直线 x ? ? 4 交于

点 D , O 是坐标原点. (Ⅰ)若 OA ? OD ? 2 OB ,求 k 的值;
B 为锐角三角形?若存在,求 k 的取值范围; (Ⅱ)是否存在实数 k ,使 ? AO

若不存在,请说明理由. 解: (Ⅰ)由 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 1 ? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 1 ? 4 得
( x ? 1) 2 ? y 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 ? 2 .

∴曲线 C 是以 F1 (?1, 0 ) , F2 (1, 0 ) 为焦点, 4 为长轴长的椭圆. ∴曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1 ,即 3x 2 ? 4 y 2 ? 12 . 4 3

∵直线 l 经过点 (?1, 0 ) ,斜率为 k ,∴直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) . ∵直线 l 与直线 x ? ? 4 交于点 D ,∴ D( ? 4 , ? 3k ) .

?3x 2 ? 4 y 2 ? 12, 设 A( x1 , kx1 ? k ) , B( x2 , kx2 ? k ) , 由 ? 得 ? y ? k ( x ? 1)
2015 年云南省第一次统测理科数学质量分析报告第 21 页( 共 30 页)

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 .
∴ x1 ? x 2 ?

? 8k 2 4k 2 ? 12 , . x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

由 OA ? OD ? 2 OB 得 2x2 ? x1 ? ?4 . 由 2x2 ? x1 ? ?4 和 x1 ? x 2 ? ∵ x1 x2 ?
4 ? 8k 2 4 ? 8k 2 x ? 得 , . x ? ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

4 4k 2 ? 12 4 ? 8k 2 4k 2 ? 12 ? , ∴ ,化简得 ( ? ? ) 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

4k 4 ? k 2 ? 5 ? 0 .解得 k 2 ?

5 或 k 2 ? ?1 ? 0 (舍去) . 4

∴k2 ?

5 5 ,解得 k ? ? . 4 2

? 8k 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, A( x1 , kx1 ? k ) , B( x2 , kx2 ? k ) , x1 ? x 2 ? , 3 ? 4k 2
x1 x2 ? 4k 2 ? 12 . 3 ? 4k 2

∴ OA ? ( x1 , kx1 ? k ) , OB ? ( x2 , kx2 ? k ) ,

OA ? OB ? x1 x2 ? (kx1 ? k )(kx2 ? k ) ? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? k 2 ( x1 ? x2 ) ? k 2 …9 分
? 5k 2 ? 12 ? ?0, 3 ? 4k 2
∴ ? AOB ?

?
2



∴不存在实数 k ,使 ? AOB 为锐角三角形. 答题情况分析:平面解析几何解答题是考生最害怕的问题,由于最近几年 这个题的难已经家喻户晓,很多考生思想上的畏惧导致行动方面全然放弃.抽样 发现,本题空白卷很多,是本题平均分比较低的关键因素. 在考生的解答中,比较普遍的问题主要有以下几个: 有的考生头脑中的平面解析几何解答题已经装满了求曲线方程、 求弦长和求 弦的中点问题,容不下其他问题,一旦题目稍有新颖,便束手无策;

2015 年云南省第一次统测理科数学质量分析报告第 22 页( 共 30 页)

有的不会利用几何意义把 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 1 ? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 1 ? 4 化简为

x2 y2 ? ? 1 ,使计算复杂化,耗用了大量时间和精力; 4 3
有的第(Ⅰ)问出错,第(Ⅱ)问虽然有思路,显然影响了该问的得分. 第(21)题: 已知函数 f ( x ) ? ln (1 ? 2 x ) ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)若 a ? 0 , b ? 0 ,求证: ln 2a ? ln b ? 1 ? (Ⅰ)解:由 2x ? 1 ? 0 得 x ? ?
b . 2a
x . 1 ? 2x

1 1 .∴ f ( x ) 的定义域为 ( ? , ? ? ) . 2 2 x ∵ f ( x ) ? ln (1 ? 2 x ) ? , 1 ? 2x

∴ f ?( x) ?

2 1 ? 2x ? 2x 1 ? 4x ? ? . 2 1 ? 2x (1 ? 2 x) (1 ? 2 x) 2

1 1 ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? ? . 4 4 1 ∴ f ( x ) 的单调递增区间为 [ ? , ? ? ) , 4 1 1 f ( x ) 的单调递减区间为 ( ? , ? ] . 2 4 1 (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知:当 x ? ? 时, f ( x ) 取得最小值. 4 1 1 ∴ f ( x ) 的最小值为 f ( ? ) ? ? ln 2 . 4 2 1 1 1 ∴当 x ? ? 时, f ( x ) ? f ( ? ) ,即 f ( x) ? ? ln 2 . 2 4 2

由 f ?( x) ? 0 得 x ? ?

∵ a ?0 ,b ? 0,
a ?b a 1 1 ? ? ?? . 2b 2b 2 2 a?b 1 b a?b ) ? ? ln 2 ,化简得 ln 2a ? ln b ? 1 ? 设x ? ,则 f ( . 2b 2 2a 2b b ∴当 a ? 0 , b ? 0 时, ln 2a ? ln b ? 1 ? . 2a



答题情况分析: 以导数为工具研究函数的性质构成的理科数学的解答题, “下 笔容易推进难”这一特点,对考生而言,已经家喻户晓.抽样发现,第(Ⅰ)问

2015 年云南省第一次统测理科数学质量分析报告第 23 页( 共 30 页)

普遍都能够动手,但是,因为计算的问题,使考生得分不够高. 抽样还发现,对于第(Ⅱ)问,相当多的考生书写了很多内容,但是离问题 的解答还有很大距离,基本上得不了分. 其实,对于第(Ⅱ)问,比较难,过去的高考理科数学也是这个特点,基础 不是太好的考生,对于这样的问题,不宜花更多的时间和精力. 同样,在平时的学习与复习中,注意数学的通法,全面夯实基础,培养学生 的数学能力,至于象本题第(Ⅱ)问这样属于命题者控制满分率的个别问题,没 有必要太在意,过去的经验表明,对于这样的问题,花多少时间与精力,效果都 不明显. 第(22)题:选修 4 ? 1 :几何证明选讲 如图, ⊙ O 是 ? ABC 的外接圆,?BAC 的平分线交 BC 于点 F ,D 是 AF 的 延长线与⊙ O 的交点, AC 的延长线与⊙ O 的切线 DE 交于点 E . (Ⅰ)求证:
CE DE ? ; BD AD

A

(Ⅱ)若 BD ? 3 2 , EC ? 2 , CA ? 6 , 求 BF 的值.

O B D F C E

(Ⅰ)证明:连接 CD . ∵ AD 是 ?BAC 的平分线,

A

∴ ?BAD ? ?EAD , BD ? CD . 又∵ DE 与⊙ O 相切于 D ,

O B D F C E

∴ ?CDE ? ?EAD ? ?BAD . ∵ ?DCE 是⊙ O 的内接四边形 ABDC 的外角, ∴ ?DCE ? ?ABD . ∴ ?DCE ∽ ?ABD . ∴
CE DE ? . BD AD

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知: BD ? CD ,由已知 BD ? 3 2 .
2015 年云南省第一次统测理科数学质量分析报告第 24 页( 共 30 页)

∴ BD ? CD ? 3 2 , ?CBD ? ?BCD . ∵ DE 与⊙ O 相切于 D , EC ? 2 , CA ? 6 , ∴ ?CDE ? ?CBD , DE 2 ? EC ? EA ? EC ? ( EC ? CA) ? 16 ,解得
DE ? 4 .

∴ ?CDE ? ?BCD . ∴ DE // BC . ∴ ?E ? ?ACB ? ?ADB . ∴ ?DCE ∽ ?BFD .
BF BD BD ? DC 9 ? ? . ,即 BF ? DC DE DE 2 9 ∴ BF ? . 2



答题情况分析:本题涉及到如何证明两个三角形相似,再利用相似三角形的 性质证明线段“比例式” ,最后,再借组切线长定理求线段长,属于选修 4 ? 1 :几 何证明选讲的常见且典型的问题,抽样发现,考生普遍存在的突出问题有以下两 个: (1)不会作辅助线 CD ,导致第(Ⅰ)问失分,第(Ⅰ)问失分后,第(Ⅱ) 问也就受到影响; (2)不会用切线长定理: DE 2 ? EC ? EA ? EC ? ( EC ? CA) ? 16 ,甚至有的已 经列出了 DE 2 ? EC ? EA ? EC ? ( EC ? CA) ? 16 ,但是没有求对 DE ? 4 . 第(23)题:选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程

? x ? 2 t ? 1, 已知曲线 C1 的参数方程为 ? ( t 为参数),以原点 O 为极点, ?y ? ? 4t ? 2
以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? (Ⅰ)求证:曲线 C2 的直角坐标方程为 y 2 ? 4 x ? 4 ? 0 ; (Ⅱ)设 M 1 是曲线 C1 上的点, M 2 是曲线 C2 上的点,求 M 1 M 2 的最小值. (Ⅰ)证明:∵ ? ?
2 , 1 ? cos ?

2 . 1 ? cos ?

∴ ? ? ? cos ? ? 2 ,即 ? ? ? cos ? ? 2 .
2015 年云南省第一次统测理科数学质量分析报告第 25 页( 共 30 页)

∴ ? 2 ? ( x ? 2) 2 ,化简得 y 2 ? 4 x ? 4 ? 0 . ∴曲线 C2 的直角坐标方程为 y 2 ? 4 x ? 4 ? 0 .

? x ? 2 t ? 1, (Ⅱ)解:∵ ? ? y ? ? 4t ? 2,
∴ 2x ? y ? 4 ? 0 . ∴曲线 C1 的直角坐标方程为 2 x ? y ? 4 ? 0 . ∴曲线 C1 是直线 2 x ? y ? 4 ? 0 . ∵ M 1 是曲线 C1 上的点, M 2 是曲线 C2 上的点, ∴ M 1 M 2 的最小值等于 M 2 到直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的距离的最小值. 设 M 2 ( r 2 ? 1, 2 r ) , M 2 到直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的距离为 d ,

则d ?

2 r 2 ? r ?1 5

1 3 2[( r ? ) 2 ? ] 2 4 ? 3 ?3 5. ? 10 5 2 5
3 5 . 10

∴ M 1 M 2 的最小值为

答题情况分析: 本题要求考生把曲线的极坐标方程、 参数方程化为直角坐标 方程,利用曲线的参数方程,使点的坐标参数化,把相关量化为二次函数求其最 小值,题目形式与结构,解答都是选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程的主干内容. 抽样发现,考生普遍存在的突出问题有以下三个: (1)记错公式:比较典型的为 ? sin ? ? x ? cos ? ? y ;

? x ? 2 t ? 1, (2)把曲线 C1 的参数方程为 ? ( t 为参数)化错; ?y ? ? 4t ? 2
(3)不能把 M 1 M 2 的最小值转化为 M 2 到直线 2 x ? y ? 4 ? 0 的距离的最小值. 具体的数式运算出错,严重影响了本题的得分. 第(24)题:选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知 a 是常数,对任意实数 x ,不等式 x ? 1 ? 2 ? x ? a ? x ? 1 ? 2 ? x 都 成立.
2015 年云南省第一次统测理科数学质量分析报告第 26 页( 共 30 页)

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)设 m ? n ? 0 ,求证: 2m ?
1 ? 2n ? a . m ? 2 m n ? n2
2

? ? 3, x ? ?1, ? (Ⅰ)解:设 f ( x) ? x ? 1 ? 2 ? x ,则 f ( x) ? ?2 x ? 1, ? 1 ? x ? 2, ? 3, x ? 2, ?
∴ f ( x ) 的最大值为 3 . ∵对任意实数 x , x ? 1 ? 2 ? x ? a 都成立,即 f ( x) ? a , ∴ a ? 3.

?? 2 x ? 1, x ? ?1, ? 设 h ( x) ? x ? 1 ? 2 ? x ? ?3, ? 1 ? x ? 2 , ? 2 x ? 1, x ? 2 , ?
∴ h( x) 的最小值为 3 . ∵对任意实数 x , x ? 1 ? 2 ? x ? a 都成立,即 h( x) ? a , ∴ a ? 3. ∴ a ? 3. (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)得 a ? 3 . ∵ 2m ?
1 1 , ? 2n ? ( m ? n) ? ( m ? n) ? 2 m ? 2mn ? n ( m ? n) 2
2

又∵ m ? n ? 0 , ∴ (m ? n) ? (m ? n) ?

1 1 ? 3 3 (m ? n)( m ? n) ? 3. 2 (m ? n) (m ? n) 2

∴ 2m ?

1 ? 2n ? a . m ? 2 m n ? n2
2

答题情况分析:本题要求考生根据“对任意实数 x ,不等式

x ? 1 ? 2 ? x ? a ? x ? 1 ? 2 ? x 都成立”获得 a ? ( x ? 1 ? 2 ? x ) 最大值 ,
且 a? ( x ?1 ? 2 ? x ) 最小值 , 从而把问题转化为求 x ? 1 ? 2 ? x 的最大值与 x ? 1 ? 2 ? x 的最小值,
2015 年云南省第一次统测理科数学质量分析报告第 27 页( 共 30 页)

继而得到 a ? 3 .至于求 x ? 1 ? 2 ? x 的最大值与 x ? 1 ? 2 ? x 的最小值方法有 很多,除了上述给出的解答外,还可以用绝对值不等式求解. 第(Ⅱ)问,要求考生能够拆项
2m ? 1 1 ,从而用基本不等式的 ? ( m ? n) ? ( m ? n) ? 2 m ? 2mn ? n ( m ? n) 2
2

结论. 上述处理属于数学的通法,大家应该好好领会. 从数学科学的角度看,选修 4 ? 5 :不等式选讲部分,特别是用重要不等式证 明不等式,有一定的技巧性与灵活性. 要能够适应这种技巧性与灵活性要求,平 时要注意培养学生的数学能力和数学素养. 抽样发现,选考这个题的考生,普遍 都能解对第(Ⅰ)问,而且普遍使用的方法是用分段函数的方法求解,很少有用 其他方法的, 这说明用分段函数处理绝对值在的方法在中学数学教学中相当普遍. 第(Ⅱ)问失分的主要原因是不会进行下列变形:
2m ? 1 1 . ? ( m ? n) ? ( m ? n) ? 2 m ? 2mn ? n ( m ? n) 2
2

四、教学建议 高考复习有别于新知识的学习,它是在学生基本掌握了中学数学知识体系, 具备了一定的解题经验的基础上的复习课教学;也是在学生基本认识了各种数学 基本方法、 思维方法以及数学思想的基础上的复习课教学.从这种意义看, 提出以 下建议供大家参考. (一)关注数学的内在联系 高中理科数学包括了将近 200 多个知识点以及由此衍生出的诸多数学思想 和方法,如函数与方程思想,数形结合思想,转化与化归思想等. 复习时,不应 只是把所学过的数学知识简单地重复,而应该把基础知识从整体上按数学的逻辑 结构、知识之间的内在联系进行整理,还要把平时所学的各个单元的局部的分散 的知识,解题的思想方法和基本规律进行横向联系,从整体上把握知识、思想和 方法.比如在函数的复习中一定要联系导数;数列的复习中渗透函数符号意识; 三角函数的复习中关注与其它基本函数的联系与区别;在向量的复习中要联系平 面几何、立体几何、解析几何、三角函数和数列;不等式的复习中关注与函数、 数列、 向量和解析几何的结合; 排列组合和概率合二为一进行复习.既要关注复习
2015 年云南省第一次统测理科数学质量分析报告第 28 页( 共 30 页)

的全面性,又要突出主干知识的核心地位. (二)关注数式计算 高考数学历来重视数式计算的考查, 80 %以上的分数都要通过数式运算得 到.部分运算能力差的考生至今仍然没有对此有足够重视,而是将运算能力差完 全归结于粗心,认为平时数式运算是浪费时间,寄希望于高考会有奇迹出现.这 是十分有害的.我们必须清楚地认识到数式运算是一种能力和技能,必须从每一 道题做起,坚持长期训练.要能够根据题设条件,合理运用概念、公式、法则、 定理,提高运算的准确性.要注意算理,寻求与设计合理、简捷的运算途径,适 当注意近似计算、估算、心算,提高运算速度. 计算中的困难,有的是不知道要算什么,有的是数值计算有一定的复杂程度, 一算就错.从高考数学试题涉及到的计算看, 计算包含三个方面的内容, 一是要算 什么 (计算目标) , 二是怎么去算 (计算途径) , 三是为什么那么去算 (计算理由) . 在计算的三个方面,要算什么(计算目标)和为什么那么去算(计算理由)是能 力的核心. 如何算得快捷而且准确呢? 一方面, 从数学技能的角度认识计算,数学技能的形成必须依靠长期的练习. 这就要求我们平时对待每一个问题,都要坚持将计算进行到底.切不要只是设计 一下解题思路,自认为会算了而怕“浪费时间”不去真正算.要算得快捷而且准 确,更要重视平时真正的实际计算. 另一方面,从数学能力方面看,要算什么以及为什么那么算的问题属于能力培 养问题,要算得快捷而且准确,必须提高数学能力. (三)关注学生的差异 作为教师,需要时刻关注学生学情的变化, 及时调整复习策略.对于基础较弱 的学生,可采用小测试,加强选择题与填空题的单独训练,让每个学生都了解选择 题、 填空题考什么、 怎么考,如何从题干和选项上获取信息,寻找解决问题的途径, 一定要让学生领会特值法、排除法,检验法的独特作用,了解选择题、填空题与解 答题在评价作用上的差异.提高他们的自信心和判断能力.适当地关注学生的心理 素质的培养, 经受挫折和失败的考验, 增强抵抗压力的能力.增强适应各种题型的 应变能力.

2015 年云南省第一次统测理科数学质量分析报告第 29 页( 共 30 页)

总之,高三数学复习要充分考虑学生个体间的差异,正确处理好“面向全体” 与“因材施教”的关系,让不同层次的学生都体会到成功的喜悦,多给学生正向 意见,发自内心地关爱学生,让学生体会到老师真诚的关心和帮助,从而把老师 对学生的爱转化为学生学习数学的动力.从某种意义上讲, 影响高考数学成绩的因 素不仅是教师讲了什么或者讲了多少, 更重要的是学生学到了什么和学会了多少. 通过调动学生学习数学的积极性,制定科学的教学目标,狠抓教学目标的落实, 最终取得优异的高考数学成绩,是优秀数学教师的共同经验,值得大家借鉴.

2015 年云南省第一次统测理科数学质量分析报告第 30 页( 共 30 页)


网站首页 | 网站地图 | 学霸百科 | 新词新语
All rights reserved Powered by 学霸学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com