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江苏省响水中学高中数学 第二章《指数函数的图象与性质的应用》导学案 苏教版必修1


江苏省响水中学高中数学 第二章《指数函数的图象与性质的应用》 导学案 苏教版必修 1

1.能灵活利用指数函数的单调性解决指数不等式问题. 2.掌握与指数函数有关 的复合函数的单调性、值域最值等问题的处理方法.

前面我们学习了指数函数的概念、 图象与性质等,并重点学习了图象和性质的简单应用. 在解决一些指数问题时,还常常会遇到与指数有关的不等式问题、与指数函数有关的复合函 数问题等,这些都体现了对指数函数图象与性质的深层次应用 ,这一讲我们就来探索这些问 题的解法.

问题 1:指数函数 y=a (a>0,且 a≠1)的单调性 x x 当 0<a<1 时,y=a 在 R 上是 ,当 a>1 时,y=a 在 R 上是 . 问题 2:关于指数的不等式的解法 f(x) g(x) (1)形如 a >a 的不等式,先确定底数 a 的值,若不能确定,需对 a 进行讨论: f(x) g(x) f(x) g(x) 当 0<a<1 时 ,a >a 等价于解不等式 ; 当 a>1 时 ,a >a 等价于解不等 式

x

.
(2)形如 a
f(x)

>bf(x)(a,b>0)的不等式,先把右边不等式转化为( )f(x)>1,再对 进行讨论:
f(x)

当 0<a<b 时 ,a 式

>bf(x) 等价于解不等式 f(x)<0; 当 a>b>0 时 ,af(x)>bf(x) 等价于解不等
f(x)

.

问题 3:如何求解函数 y=a (a>0,且 a≠1)在区间[m,n]上的最值? 先求 f(x)在区间[m,n]上的最值,假设 f(x)在区间[m,n]上的最大值为 M,最小值为 N,再 对 a 进行讨论: f(x) f(x) 当 0<a<1 时,函数 y=a 的最大值为 ,最小值为 ,当 a>1 时,函数 y=a 的最大值为 ,最小值为 . 问题 4:复合函数 y=f[g(x)]在区间 [a,b]的单调性的判断. 复合函数 y=f[g(x)]可以看作由函数 t=g(x)和 y=f(t)复合而成,设函数 t=g(x)在区间 [a,b]的值域为[m,n],考察函数 t=g(x)在区间[a,b]和 y=f(t)在区间[m,n]单调性可以得到 函数 y=f[g(x)]的单调性,判断法则可以由四个字来概括,即 ,具体见下表: t=g(x) 在 区 间 [a,b] 上 的 单 调 增函数 增函数 减函数 减函数 性 y=f(t) 在 区 间 增函数 减函数 增函数 减函数
1

[m,n] 上 的 单 调 性 y=f[g(x)] 在 区 间 [a,b] 的 单 调 性

1.若 2 <1,则 x 的取值范围是
a b

x+1

. .

2.已知( ) >( ) ,则 a、b 的大小关系是
x-3

3.函数 y=a 的 图象恒过定点 . x 4.若函数 f(x)=a -1(a>0,且 a≠1)的定义域和值域都是[0,2],求实数 a 的值.

与指数函数有关的不等式的解法 x 0.5 (1)已知 3 ≥3 ,求实数 x 的取值范围. x (2)已知 0.2 <25,求实数 x 的取值范围.

与指数函数有关的复合函数的单调性 已知 a>0,且 a≠1,讨论 f(x)= 的单调性.

与指数函数有关函数的最值或值域问题 已知函数 y= (a>0,且 a≠1)在[0,2]上有最小值 8,求实数 a 的值.

已知 a

2x+1

≤a (a>0,且 a≠1),求 x 的取值范围.

x-5

讨论函数 f(x)=(

的单调性.

2

求函数 y=4 -2 -5 在 x∈[-1,2]上的值域.

x

x+1

1.当 x∈[-1,1]时,函数 f(x)=3 -2 的值域是 . x -x x -x 2.若函数 f(x)=3 +3 与 g(x)=3 -3 的定义域均为 R,则下列说法正 确的是 ①f(x)与 g(x)均为偶函数; ②f(x)为偶函数,g(x)为奇函数; ③f(x)与 g(x)均为奇函数; ④f(x)为奇函数,g(x)为偶函数. x 3.指数函数 y=a 在[0,1]上的最大值与最小值的和为 3,则 a 等于 . 4.解不等式( )
2-3x

x

.

≤2.

用清水漂洗衣服,若每次能洗去污垢的 ,要使存留污垢不超过原来的 1%,则至少要漂洗 次. 考题变式(我来改编):

3

第 3 课时 指数函数的图象与性质的应用 知识体系梳理 问题 1:减函数 增函数 问题 2:(1)f(x)<g(x) f(x)>g(x) 问题 3:a
N

(2)f(x)>0

a

M

a

M

a

N

问题 4:同增异减 增函数 减函数 减函数 增函数 基础学习交流 1.(-∞,-1) ∵2 <1=2 ,且 y=2 是增函数,
x+1
0

x

∴x+1<0,∴x<-1.
2.a<b y=( ) 为减函数. 3.(3,1) (3,1). 4.解:当 a>1 时,函数 f(x )=a -1 在[0,2]上是增函数, 由题意可知, 解得 a=
x x x

指数函数 y=a 的图象恒过 (0,1). 对函数 y=a , 当 x=3 时 ,y=1, 所以恒过定点

x

x-3

.

当 0<a<1 时,函数 f(x)=a -1 在[0,2]上是减函数. 由题意可知, 此时 a 无解.

综上所述,a=

.
4

重点难点探究 探究一:【解析】(1)因为 3>1,所以指数函数 f(x)=3 在 R 上是增函数. 由 3 ≥3 ,可得 x≥0.5,即 x 的取值范围为[0.5,+∞). (2)因为 0<0.2<1,所以指数函数 f(x)=0.2 在 R 上是减函数. 因为 25=( ) =0.2 ,所以 0.2 <0.2 , 由此可得 x>-2,即 x 的取值范围为(-2,+∞). 【小结】求解指数不等式时,一般是利用指数函数的性质去掉底数 ,转化为关于指数 x 的不等式,再求解. 探究二:【解析】设 u=-x +3x+2=-(x- ) + ,
2 2

x

x

0.5

x

-2

-2

x

-2

则当 x≥ 时,u 是减函数,当 x< 时,u 是增函数. 又当 a>1 时,y=a 是增函数,当 0<a<1 时,y=a 是减函数,
u u

∴当 a>1 时,原函数 f(x)=

在[ ,+∞)上是减函数,在(-∞, )上是增函数;

当 0<a<1 时,原函数 f(x)=

在[ ,+∞)上是增函数,在(-∞, )上是减函数.

【小结】解决本题的关键是熟练掌握复合函数单调性的规律,另外要注意分类讨论思想 的应用. 探究三:【解析】令 u(x)=x -3x+ 3=(x- ) + ,
2 2

当 x∈[0,2]时,u(x)max=u(0)=3;u(x)min=u( )= .

当 a>1 时,ymin= =8,解得 a=16; 当 0<a<1 时,ymin=a =8,解得 a=2(舍去). 因此 a=16. 【小结】对于指数函数 y=a (a>0,且 a≠1)的单调性,如果 a 不确定,那么必须对 a 分 0<a<1 和 a>1 两种情况进行讨论,这里体现了分类讨论思想的应用. 思维拓展应用 应用一:当 0<a<1 时,∵a
2x+1 3

x

≤a ,

x-5

∴2x+1≥x-5,解得 x≥-6;
5

当 a>1 时,∵a

2x+1

≤a ,

x-5

∴2x+1≤x-5,解得 x≤-6.
故当 0 <a<1 时,x 的取值范围为 x≥-6;当 a>1 时,x 的取值范围为 x≤-6. 应用二:令 u=x -2x=(x-1) -1,
2 2

u(x)在(-∞,1]上是减函数,在[1,+∞)上是增函数,
又∵f(u)=( ) 在其定义域内是减函数,
u

∴f(x)在(-∞,1]上是增函数,在[1,+∞)上是减函数.
应用三:y=(2 ) -2·2 -5,令 t=2 ,∵-1≤x≤2,
x 2 x x

∴ ≤t≤4.

∴y=t2-2t-5=(t-1)2-6( ≤t≤4). ∴当 t=1,即 x=0 时,ymin=-6;
当 t=4,即 x=2 时,ymax=3.

∴函数的值域为[-6,3].
基础智能检测 1.[- ,1] 因为 f(x)=3 -2 是 x∈[-1,1]上的增函数,所以 3 -2≤f(x)≤3-2,即- ≤f(x)≤1. 2.② 因 为 f(-x)=3 +3
-x -(-x) x -1

=3-x+3x=f(x),g(-x)=3-x-3-(-x)=3-x-3x=-g(x), 所 以 f(x) 为 偶 函
x

数,g(x)为奇函数. 3.2 不论 a>1 还是 0<a<1,y=a 一定是单调函数,

∴最大值和最小值一定在区间[0,1]的两端点处取得. ∵当 x=0 时,y=a0=1,当 x=1 时,y=a1=a, ∴1+a=3,∴a=2.
4.解:原不等式可化为( )
2-3x

≤( ) .

-1

又函数 y=( ) 为减函数,∴2-3 x≥-1,

x

∴x≤1. ∴原不等式的解集为{x|x≤1}.
全新视角拓展 4 设原来污垢数为 1 个单位,则经过第一次漂洗,存留量为原来的 ;经过第二次漂洗,

6

存留量为原来漂洗后的 ,也就是原来的( ) ;经 过第三次漂洗,存留量为原来的( ) ;…;经过

2

3

第 x 次漂洗,存留量为原来的( ) ,故解析式为 y=( ) .

x

x

由题意有,( ) ≤

x

,4 ≥100,2 ≥10,

x

x

∴x≥4,即至少漂洗 4 次.
思维导图构建 减函数 增函数

7


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