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2017年四川省成都市石室中学高考数学二诊试卷(理科)(解析版)


2017 年四川省成都市石室中学高考数学二诊试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 1. (5 分)已知复数 z= A.1﹣i B.1+i C.i ,则 z 的共轭复数 是( D.﹣i ) )

2. (5 分)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,a1=2,a5=3a3,则 a3=( A.﹣2 B.0 C.3 D.6 , =(3,m) ,m∈R,则“m=﹣6”是“

3. (5 分)已知向量 的( )



A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4. (5 分)设函数 f(x)=log2x,在区间(0,5)上随机取一个数 x,则 f(x)< 2 的概率为( A. B. ) C. D. )

5. (5 分)一个几何体的三视图如图所示,则它的体积为(

A.

B.

C.20 D.40 (k 为常数) ,若目标函数 z=x+3y 的最

6. (5 分)已知 x,y 满足条件 大值为 8,则 k=( A.﹣16 ) D.6

B.﹣6 C.

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7. ( 5 分 ) 定 义 运 算 a*b 为 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 输 出 的 S 值 , 则 的值为( )

A.

B.

C.4

D.6

8. (5 分)如图,在正四棱锥 S﹣ABCD 中,E,M,N 分别是 BC,CD,SC 的中点, 动点 P 在线段 MN 上运动时,下列四个结论: ①EP⊥AC; ②EP∥BD; ③EP∥面 SBD; ④EP⊥面 SAC, 其中恒成立的为( )

A.①③

B.③④

C.①②

D.②③④

9. (5 分)若曲线 y= 线,则实数 a=( A.﹣2 B. C.1 )

与曲线 y=alnx 在它们的公共点 P(s,t)处具有公共切

D.2 的正三角形,EF 为△ABC 的外接圆 O 的一 的最大值为( )

10. (5 分)已知△ABC 是边长为

条直径,M 为△ABC 的边上的动点,则

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A.3

B.4

C.5

D.6 的左、右焦点分别为 F1(﹣c,

11. (5 分)已知双曲线

0) ,F2(c,0) ,A,B 是圆(x+c)2+y2=4c2 与 C 位于 x 轴上方的两个交点,且 F1A ∥F2B,则双曲线 C 的离心率为( A. B. C. ) D.

12. (5 分) 若对? m, n∈R, 有g (m+n) =g (m) +g (n) ﹣3, 求 的最大值与最小值之和是( A.4 B.6 C.8 D.10 )

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. (5 分)由直线 x=1,x=2,曲线 14. (5 分)已知角 则 sinα 的值为 . 及 x 轴所围成的封闭图形的面积是 . ,

的始边是 x 轴非负半轴.其终边经过点

15. (5 分)在直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l:y=2x﹣4,设圆 C 的半 径为 1,圆心在 l 上,若圆 C 上存在唯一一点 M,使|MA|=2|MO|,则圆心 C 的 非零横坐标是 . , ,且 ,则 4a2018﹣

16. (5 分)数列{an}满足 a1 的最大值为 .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.) 17. (10 分)中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题,拟定 出台“延迟退休年龄政策”,为了了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度,责成人 社部进行调研, 人社部从网上年龄在 15~65 的人群中随机调查 50 人, 调查数据 的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如表:
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年龄

[15, 25)

[25, 35) 10

[35, 45) 10

[45, 55) 2

[55, 65] 1

支持“延迟退休”人数

5

(Ⅰ)由以上统计数据填下面 2×2 列联表,并问是否有 90%的把握认为以 45 岁为分界点对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异; 45 岁以 下 支持 不支持 合计 (Ⅱ)若从年龄在[45,55) ,[55,65]的被调查人中各随机选取两人进行调查, 记选中的 4 人中支持“延迟退休”人数为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列及数学期望. 参考数据: P(K2≥ k) k K2= 2.706 3.841 . 6.635 10.828 0.100 0.050 0.010 0.001 45 岁以 上 合计

18. (12 分)已知函数 f(x)=sinωx(ω>0)在区间 间

上单调递增,在区

上单调递减;如图,四边形 OACB 中,a,b,c 为△ABC 的内角 A,

B,C 的对边,且满足 (Ⅰ)证明:b+c=2a;



(Ⅱ)若 b=c,设∠AOB=θ, (0<θ<π) ,OA=2OB=2,求四边形 OACB 面积的最
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大值.

19. (12 分)在斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 AC1⊥平面 ABC, A1C=CA=AB=a,AB⊥AC,D 是 AA1 的中点. (1)求证:CD⊥平面 AB1; (2)在侧棱 BB1 上确定一点 E,使得二面角 E﹣A1C1﹣A 的大小为 .



20. (12 分)已知两点 A(﹣2,0) 、B(2,0) ,动点 P 满足 (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程;



(2)H 是曲线 E 与 y 轴正半轴的交点,曲线 E 上是否存在两点 M、N,使得△ HMN 是以 H 为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请说明有几个;若不存在, 请说明理由. 21. (12 分)已知函数 f(x)=(2﹣a) (x﹣1)﹣2lnx,g(x)=xe1﹣x(a∈R,e 为自然对数的底) (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若对任意给定的 x0∈(0,e],在区间(0,e]上总存在两个不同的 xi(i=1, 2) ,使得 f(xi)=g(x0)成立,求 a 的取值范围. 22. (12 分)直角坐标系中曲线 C 的参数方程为 (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)经过点 M(0,1)作直线 l 交曲线 C 于 A,B 两点(A 在 B 上方) ,且满足 |BM|=2|AM|,求直线 l 的方程.
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(θ 为参数) .

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2017 年四川省成都市石室中学高考数学二诊试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 1. (5 分) (2012?焦作一模)已知复数 z= A.1﹣i B.1+i C.i D.﹣i ,则 z 的共轭复数 是( )

【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数,化简为 a+bi(a,b∈R)的形式, 即可得到选项. 【解答】解:复数 z= =

所以它的共轭复数为:1﹣i 故选 A 【点评】本题是基础题,考查复数代数形式的乘除运算,复数的基本概念,考查 计算能力,常考题型.

2. (5 分) (2017?青羊区校级模拟) 设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和, a1=2, a5=3a3, 则 a 3= ( A.﹣2 B.0 ) C.3 D.6

【分析】利用等差数列的通项公式即可求得公差 d,再利用等差数列的通项公式 即可求出答案. 【解答】解:设等差数列{an}的公差为 d, ∵a1=2,a5=3a3,∴2+4d=3(2+2d) ,解得 d=﹣2. 则 a3=a1+2d=2+2×(﹣2)=﹣2. 故选:A. 【点评】本题考查等差数列的通项公式,求出数列的公差是解决问题的关键,属 基础题.

3. (5 分) (2014?青岛一模)已知向量
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, =(3,m) ,m∈R,则“m=

﹣6”是“ A.充要条件

”的(



B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】由 【解答】解: 由 ?﹣1×(2+m)﹣2×2=0,即可得出. =(﹣1,2)+(3,m)=(2,2+m) .

?﹣1×(2+m)﹣2×2=0,?m=﹣6. ”的充要条件.

因此“m=﹣6”是“ 故选:A.

【点评】本题考查了向量的共线定理、充要条件,属于基础题.

4. (5 分) (2017?青羊区校级模拟)设函数 f(x)=log2x,在区间(0,5)上随 机取一个数 x,则 f(x)<2 的概率为( A. B. C. D. )

【分析】解不等式 f(x)<2 的解,利用几何概型的概率公式即可得到结论. 【解答】解:∵log2x,x∈(0,5) . ∴由 f(x)<2, 得 log2x<2 解得 0<x<4, ∴根据几何概型的概率公式可得若从区间(0,5)内随机选取一个实数 x, f(x)<2 的概率为: 故选 D. 【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算,根据条件求出不等式的解, 利用长度比是解决本题的关键. = ,

5. (5 分) (2016?德阳模拟) 一个几何体的三视图如图所示, 则它的体积为 (



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A.

B.

C.20 D.40

【分析】几何体是四棱锥,根据三视图判断相关几何量的数据,把数据代入棱锥 的体积公式计算. 【解答】解:由三视图知:

该几何体是四棱锥,如图:

其中 SA⊥平面 ABCD, SA=4, 四边形 ABCD 为直角梯形, AD∥BC, AB=AD=4, BC=1. ∴几何体的体积 V= × ×(1+4)×4×4= 故选:B 【点评】 本题考查了由三视图求几何体的体积,根据三视图判断几何体的形状及 数据所对应的几何量是解题的关键. .

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6. (5 分) (2013?淄博二模)已知 x,y 满足条件 标函数 z=x+3y 的最大值为 8,则 k=( A.﹣16 B.﹣6 C. D.6 )

(k 为常数) ,若目

【分析】由目标函数 z=x+3y 的最大值为 8,我们可以画出满足条件 (k 为常数)的可行域,根据目标函数的解析式形式,分析取得最优解的点的坐 标,然后根据分析列出一个含参数 k 的方程组,消参后即可得到 k 的取值. 【解答】解:画出 x,y 满足的 由于目标函数 z=x+3y 的最大值为 8, 可得直线 y=x 与直线 8=x+3y 的交点 A(2,2) , 使目标函数 z=x+3y 取得最大值, 将 x=2,y=2 代入 2x+y+k=0 得:k=﹣6. 故选 B. (k 为常数)可行域如下图:

【点评】 如果约束条件中含有参数,我们可以先画出不含参数的几个不等式对应 的平面区域, 分析取得最优解是哪两条直线的交点,然后得到一个含有参数的方 程(组) ,代入另一条直线方程,消去 x,y 后,即可求出参数的值.

7. (5 分) (2017?青羊区校级模拟)定义运算 a*b 为执行如图所示的程序框图输 出的 S 值,则
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的值为(



A.

B.

C.4

D.6

【分析】由已知的程序框图可知程序的功能是:计算并输出分段函数的值,比较 a,b 的值,即可计算得解. 【解答】解:由已知的程序框图可知本程序的功能是: 计算并输出分段函数 S= 的值,

∵a= ∴ ∴a= , ∵b=log98?log4 可得:a>b,

,∴log100a=lg , =lg ,∴lga=lg ,

= ?

?

= ?

?

= ,

∴S= ×( ﹣ )= . 故选:B. 【点评】本题考查的知识点是程序框图,其中根据已知的程序框图,分析出程序 的功能是解答的关键,属于基础题.

8. (5 分) (2017?青羊区校级模拟)如图,在正四棱锥 S﹣ABCD 中,E,M,N 分别是 BC,CD,SC 的中点,动点 P 在线段 MN 上运动时,下列四个结论: ①EP⊥AC;
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②EP∥BD; ③EP∥面 SBD; ④EP⊥面 SAC, 其中恒成立的为( )

A.①③

B.③④

C.①②

D.②③④

【分析】如图所示,连接 AC、BD 相交于点 O,连接 EM,EN. (1) 由正四棱锥 S﹣ABCD, 可得 SO⊥底面 ABCD, AC⊥BD, 进而得到 SO⊥AC. 可 得 AC⊥平面 SBD.由已知 E,M,N 分别是 BC,CD,SC 的中点,利用三角形的 中位线可得 EM∥BD,MN∥SD,于是平面 EMN∥平面 SBD,进而得到 AC⊥平面 EMN,AC⊥EP. (2)由异面直线的定义可知:EP 与 BD 是异面直线,因此不可能 EP∥BD; (3)由(1)可知:平面 EMN∥平面 SBD,可得 EP∥平面 SBD; (4)由(1)同理可得:EM⊥平面 SAC,可用反证法证明:当 P 与 M 不重合时, EP 与平面 SAC 不垂直. 【解答】解:如图所示,连接 AC、BD 相交于点 O,连接 EM,EN. 对于(1) ,由正四棱锥 S﹣ABCD,可得 SO⊥底面 ABCD,AC⊥BD,∴SO⊥AC. ∵SO∩BD=O,∴AC⊥平面 SBD,∵E,M,N 分别是 BC,CD,SC 的中点,∴EM ∥BD,MN∥SD,而 EM∩MN=N, ∴平面 EMN∥平面 SBD,∴AC⊥平面 EMN,∴AC⊥EP.故正确. 对于(2) ,由异面直线的定义可知:EP 与 BD 是异面直线,不可能 EP∥BD,因 此不正确; 对于(3) ,由(1)可知:平面 EMN∥平面 SBD,∴EP∥平面 SBD,因此正确. 对于(4) ,由(1)同理可得:EM⊥平面 SAC,若 EP⊥平面 SAC,则 EP∥EM, 与 EP∩EM=E 相矛盾,因此当 P 与 M 不重合时,EP 与平面 SAC 不垂直.即不正 确.
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故选:A.

【点评】本题考查了空间线面、面面的位置关系判定,属于中档题.

9. (5 分) (2017?青羊区校级模拟)若曲线 y= 点 P(s,t)处具有公共切线,则实数 a=( A.﹣2 B. C.1 D.2 )

与曲线 y=alnx 在它们的公共

【分析】求出两个函数的导数然后求出公共点的斜率,利用向量相等,有公共点 解方程即可求出 a 的值. 【解答】解:曲线 y= 的导数为:y′= ,在 P(s,t)处的斜率为:k= .

曲线 y=alnx 的导数为:y′= ,在 P(s,t)处的斜率为:k= . 曲线 y= 可得 与曲线 y=alnx 在它们的公共点 P(s,t)处具有公共切线, ,并且 t= ,t=alns,



,解得 lns= ,解得 s2=e.

可得 a=1. 故选:C. 【点评】 本题考查函数的导数, 导数的几何意义切线的斜率以及切线方程的求法, 考查计算能力.

10. (5 分) (2017?青羊区校级模拟)已知△ABC 是边长为
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的正三角形,EF

为△ABC 的外接圆 O 的一条直径,M 为△ABC 的边上的动点,则 为( A.3 ) B.4 C.5 D.6

的最大值

【分析】首先,以边 AB 所在直线为 x 轴,以其中点为坐标原点建立平面直角坐 标系,然后,对点 M 的取值情况分三种情形进行讨论,然后运用数量积的坐标 表示和二次函数的最值求法,求解其最大值. 【解答】解:如图所示,以边 AB 所在直线为 x 轴, 以其中点为坐标原点建立平面直角坐标系, ∵该正三角形 ABC 的边长为 2 ∴A(﹣ ,0) ,B( ,

,0) ,C(0,3) ,

E(0,﹣1) ,F(0,3) , 当点 M 在边 AB 上时,设点 M(x0,0) , 则﹣ ∵ ∴ ∵﹣ ∴ ? ≤x0≤ , =(x0,﹣3) ,

=(﹣x0,﹣1) , ? =﹣x02+3, ≤x0≤ ,

的最大值为 3,

当点 M 在边 BC 上时, ∵直线 BC 的斜率为﹣ ∴直线 BC 的方程为: 设点 M(x0,3﹣ ∵ ∴ =(﹣x0, ? =2x02﹣4 , , x+y﹣3=0, , x0) ,

x0) ,则 0≤x0≤ x0﹣4) , x0, =(x0,

∵0≤x0≤ ∴ ?

的最大值为 0,

当点 M 在边 AC 上时, ∵直线 AC 的斜率为 ,
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∴直线 AC 的方程为: 设点 M(x0,3+ ∵ ∴ ∵﹣ ∴ ? =(﹣x0,﹣ ? =﹣4x02﹣4 ≤x0≤0, 的最大值为 3,

x﹣y+3=0, ≤x0≤0, =(x0, x0) ,

x0) ,则﹣ x0﹣4) , x0,

综上,最大值为 3, 故选:A.

【点评】本题重点考查了平面向量的基本运算、数量积的运算性质等知识,考查 分类讨论的思想方法,属于中档题.

11. (5 分) (2017?青羊区校级模拟)已知双曲线



左、右焦点分别为 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) ,A,B 是圆(x+c)2+y2=4c2 与 C 位于 x 轴上方的两个交点,且 F1A∥F2B,则双曲线 C 的离心率为( A. B. C. D. )

【分析】连接 BF1,AF2,由双曲线的定义,可得|AF2|=2a+2c,|BF2|=2c﹣2a,在
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△AF1F2 中, 和△BF1F2 中, 运用余弦定理求得 cos∠AF1F2, os∠BF2F1, 由 F1A∥F2B, 可得∠BF2F1+∠AF1F2=π,即有 cos∠BF2F1+cos∠AF1F2=0,化简整理,由离心率公 式计算即可得到所求值. 【解答】解:连接 BF1,AF2, 由双曲线的定义,可得|AF2|﹣|AF1|=2a, |BF1|﹣|BF2|=2a, 由|BF1|=|AF1|=2c, 可得|AF2|=2a+2c,|BF2|=2c﹣2a, 在△AF1F2 中,可得 cos∠AF1F2= 在△BF1F2 中,可得 cos∠BF2F1= = = , ,

由 F1A∥F2B,可得∠BF2F1+∠AF1F2=π,即有 cos∠BF2F1+cos∠AF1F2=0, 可得 + =0,

化为 2c2﹣3ac﹣a2=0, 得 2e2﹣3e﹣1=0,解得 e= 故选:C. (负的舍去) ,

【点评】 本题考查双曲线的离心率的求法,注意运用双曲线的定义和三角形的余 弦定理,考查化简整理的运算能力,属于中档题.

12. (5 分) (2017?青羊区校级模拟)若对? m,n∈R,有 g(m+n)=g(m)+g (n)﹣3,求 A.4 B.6 C.8 D.10
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的最大值与最小值之和是(



【分析】构造 h(x)=g(x)﹣3,根据函数奇偶性的定义可判定函数 h(x)为 奇函数,利用奇函数图象的性质即可求出答案. 【解答】解:∵? m,n∈R,有 g(m+n)=g(m)+g(n)﹣3, ∴令 m=n=0 时,g(0)=g(0)+g(0)﹣3, ∴g(0)=3, 令 m=﹣n 时,g(0)=g(﹣n)+g(n)﹣3, ∴g(x)+g(﹣x)=6, 令 h(x)=g(x)﹣3,则 h(x)+h(﹣x)=0 即 h(x)为奇函数, 奇函数的图象关于原点对称,它的最大值与最小值互为相反数,∴g(x)max+g (﹣x)min=6, 设 F(x)= 和为 0, ∴. 故选 B. 【点评】本题考查了抽象函数及其应用,主要考查了函数的性质的应用,本题主 要考查了利用赋值法求解抽象函数的函数值,解决本题的关键是恰当构造奇函 数.属于中档题. 的最大值与最小值之和是 6. ,则 F(﹣x)=﹣F(x) ,函数为奇函数,最大值与最小值之

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. (5 分) (2017?青羊区校级模拟)由直线 x=1,x=2,曲线 的封闭图形的面积是 ln2 . 及 x 轴所围成

【分析】先确定积分上限为 2,积分下限为 1,从而利用定积分表示出曲边梯形 的面积,最后用定积分的定义求出所求即可. 【解答】解:曲线 =lnx|12=ln2, 故答案为:ln2.
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,直线 x=1 和 x=2 及 x 轴围成的封闭图形的面积

【点评】本题主要考查了利用定积分求面积,同时考查了定积分的等价转化,属 于基础题.

14. (5 分) (2017?青羊区校级模拟)已知角 终边经过点 【分析】 由题意, sin ( ﹣ )=sin( )cos ,则 sinα 的值为 ) =﹣ , cos ( ﹣cos( )sin

的始边是 x 轴非负半轴.其 . ) =﹣ , 利用 sinα=sin( ,可得结论. )=﹣ )sin = .

【解答】解:由题意,sin( ∴sinα=sin( 故答案为 ﹣ . )=sin(

)=﹣ ,cos( )cos ﹣cos(

【点评】本题考查三角函数的定义,考查差角正弦函数,属于中档题.

15. (5 分) (2017?青羊区校级模拟)在直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l:y=2x﹣4,设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上,若圆 C 上存在唯一一点 M,使 |MA|=2|MO|,则圆心 C 的非零横坐标是 .

【分析】设 M(x,y) ,由 MA=2MO,利用两点间的距离公式列出关系式,整理 后得到点 M 的轨迹为以(0,﹣1)为圆心,2 为半径的圆,可记为圆 D,由 M 在圆 C 上,得到圆 C 与圆 D 相切,根据两圆的半径长,能求出结果. 【解答】解:设点 M(x,y) ,由 MA=2MO,知: 化简得:x2+(y+1)2=4, ∴点 M 的轨迹为以(0,﹣1)为圆心,2 为半径的圆,可记为圆 D, 又∵点 M 在圆 C 上,圆 C 上存在唯一一点 M,使|MA|=2|MO|, ∴圆 C 与圆 D 相切, ∴|CD|=1 或 CD=3, ∵|CD|= ,∴解得 a=0 或 a= .
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=2





∴圆心 C 的非零横坐标是

故答案为:



【点评】此题考查了圆的切线方程,点到直线的距离公式,以及圆与圆的位置关 系的判定,涉及的知识有:两直线的交点坐标,直线的点斜式方程,两点间的距 离公式,圆的标准方程,是一道综合性较强的试题.

16. (5 分) (2017?青羊区校级模拟)数列{an}满足 且 ,则 4a2018﹣a1 的最大值为 ﹣ = . ﹣





【 分 析】先由数列的递推公式得到 + +…+ ﹣ ,根据

,再用累加法求出得 ,

=

,得到 a2018= ﹣

再根据基本不等式即可求出最值. 【解答】解:∵ ∴an+1﹣1=an(an﹣1) , ∴ ∴ ∴ = …, 累加可得 ∵ ∴ ∴ ﹣ ﹣2= + , =2, , +…+ = ﹣ , = = ﹣ = ﹣ ﹣ , = , , ﹣ , ,

即 a2018=

+1=

= ﹣
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∵a1> , ∴2a1﹣3>0, ∴4a2018﹣a1=2﹣ ﹣a1=2﹣( + )≤2﹣2

﹣ =2﹣2﹣ =﹣ ,当且仅当 a1= 取等号, 故答案为: .

【点评】 本题考查了数列的递推公式和基本不等式的应用,关键是利用累加法求 出{ }的前 n 项和,属于中档题

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.) 17. (10 分) (2017?青羊区校级模拟)中央政府为了应对因人口老龄化而造成的 劳动力短缺等问题,拟定出台“延迟退休年龄政策”,为了了解人们对“延迟退休 年龄政策”的态度,责成人社部进行调研,人社部从网上年龄在 15~65 的人群中 随机调查 50 人,调查数据的频率分布直方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的 统计结果如表: 年龄 [15, 25) 支持“延迟退休”人数 5 [25, 35) 10 [35, 45) 10 [45, 55) 2 [55, 65] 1

(Ⅰ)由以上统计数据填下面 2×2 列联表,并问是否有 90%的把握认为以 45 岁为分界点对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异; 45 岁以 下 支持 不支持 合计 (Ⅱ)若从年龄在[45,55) ,[55,65]的被调查人中各随机选取两人进行调查, 记选中的 4 人中支持“延迟退休”人数为 ξ,求随机变量 ξ 的分布列及数学期望.
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45 岁以 上

合计

参考数据: P(K2≥ k) k K2= 2.706 3.841 . 6.635 10.828 0.100 0.050 0.010 0.001

【分析】 (Ⅰ)根据统计数据,可得 2×2 列联表,根据列联表中的数据,计算 K2 的值,即可得到结论; (Ⅱ)ξ 的可能取值有 0,1,2,3,求出相应的概率,可得 ξ 的分布列及数学期 望. 【解答】解: (Ⅰ)2×2 列联表: 45 岁以 下 支持 不支持 合计 K2= 25 15 40 45 岁以 上 3 7 10 28 22 50 合计

≈3.429>2.706,

所以有 90%的把握认为以 45 岁为分界点对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异; (Ⅱ)ξ 所有可能取值有 0,1,2,3, P(ξ=0)= = ,

P(ξ=1)=

+

=



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P(ξ=2)=

+

=



P(ξ=3)=

=



所以 ξ 的分布列是 ξ P 所以 ξ 的期望值是 Eξ=0× +1× +2× +3× = . 0 1 2 3

【点评】本题考查独立性检验,考查离散型随机变量的分布列与期望,考查学生 的阅读与计算能力,属于中档题.

18. (12 分) (2013?青岛一模)已知函数 f(x)=sinωx(ω>0)在区间 上单调递增,在区间 上单调递减;如图,四边形 OACB 中,a,b,c

为△ABC 的内角 A,B,C 的对边,且满足 (Ⅰ)证明:b+c=2a;



(Ⅱ)若 b=c,设∠AOB=θ, (0<θ<π) ,OA=2OB=2,求四边形 OACB 面积的最 大值.

【分析】 (Ⅰ )由题意知

,解之可得 ω ,代入已知条件化简可得

sinC+sinB=2sinA,再由正弦定理可得 b+c=2a; ( Ⅱ ) 由 条 件 和 ( Ⅰ ) 的 结 论 可 得 △ ABC 为 等 边 三 角 形 , 可 得 ,可化简为 θ 的范围可得结论.
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,由

【解答】解: (Ⅰ)由题意知: ∵ ,

,解得

…(2 分)

∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA﹣cosBsinA﹣cosCsinA, ∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA=2sinA, ∴sin(A+B)+sin(A+C)=2sinA…(4 分) ∴sinC+sinB=2sinA, ∴b+c=2a…(6 分) (Ⅱ)因为 b+c=2a,b=c,所以 a=b=c,所以△ABC 为等边三角形, ∴ = = ∵θ∈(0,π) ,∴ 当且仅当 ,即 = , 时取最大值,SOACB 的最大值为 …(12 分) …(8 分) …(9 分) ,…(10 分)

【点评】本题考查两角和与差的三角函数公式,涉及余弦定理和三角形的面积, 属中档题.

19. (12 分) (2017?青羊区校级模拟)在斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧面 AC1⊥ 平面 ABC, ,A1C=CA=AB=a,AB⊥AC,D 是 AA1 的中点.

(1)求证:CD⊥平面 AB1; (2)在侧棱 BB1 上确定一点 E,使得二面角 E﹣A1C1﹣A 的大小为 .

【分析】 (1)证明 AB⊥面 ACC1A1,即有 AB⊥CD;又 AC=A1C,D 为 AA1 中点,
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则 CD⊥AA1.即可证明:CD⊥平面 AB1; (2)求出平面的法向量,利用二面角 E﹣A1C1﹣A 的大小为 【解答】 (1)证明:∵面 ACC1A1⊥面 ABC,AB⊥AC, ∴AB⊥面 ACC1A1,即有 AB⊥CD; 又 AC=A1C,D 为 AA1 中点,则 CD⊥AA1. ∴CD⊥面 ABB1A1. (2)解:如图所示以点 C 为坐标系原点,CA 为 x 轴,CA1 为 z 轴,建立空间直 角坐标系 C﹣xyz,则有 A(a,0,0) ,B(a,a,0) ,A1(0,0,a) ,B1(0,a, a) ,C1(﹣a,0,a) , 设 E(x,y,z) ,且 ,即有(x﹣a,y﹣a,z)=λ(﹣a,0,a) , ,即可得出结论.

所以 E 点坐标为( (1﹣λ)a,a,λa) . 由条件易得面 A1C1A 的一个法向量为 设平面 EA1C1 的一个法向量为 , .



可得



令 y=1,则有 则



=

,得



所以,当

时,二面角 E﹣A1C1﹣A 的大小为



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【点评】 本题考查了线面垂直的性质与判断, 考查了二面角的计算, 属于中档题, 解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.

20. (12 分) (2012?漳州模拟)已知两点 A(﹣2,0) 、B(2,0) ,动点 P 满足 . (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程; (2)H 是曲线 E 与 y 轴正半轴的交点,曲线 E 上是否存在两点 M、N,使得△ HMN 是以 H 为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,请说明有几个;若不存在, 请说明理由. 【分析】 ( 1 )设点 P 的坐标为( x , y ) (y≠0) ,求 PA 、 PB 的斜率,利用 ,化简可得动点 P 的轨迹 E 的方程; (2)设能构成等腰直角三角形 HMN,其中 H 为(0,1) ,由题意可知,直角边 HM,HN 不可能垂直或平行于 x 轴,故可设 HM 所在直线的方程为 y=kx+1, (不 妨设 k>0)则 HN 所在直线的方程为 ,确定交点 M、N 的坐标,求出

HN、HM 的长,利用|HM|=|HN|,即可求得结论. 【解答】解: (1)设点 P 的坐标为(x,y) (y≠0) ,则 ∵ ,∴ ,化简得 , , ,

∴动点 P 的轨迹 E 的方程为

(y≠0) . 注: 如果未说明 y≠0, 扣 (1 分) .

(2)设能构成等腰直角三角形 HMN,其中 H 为(0,1) , 由题意可知,直角边 HM,HN 不可能垂直或平行于 x 轴,故可设 HM 所在直线 的方程为 y=kx+1, (不妨设 k>0) 则 HN 所 在 直 线 的 方 程 为 , 由 求 得 交 点

M

, (另一交点 H(0,1) )





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代替上式中的 k,得



由|HM|=|HN|,得 k(4+k2)=1+4k2, ∴k3﹣4k2+4k﹣1=0? (k﹣1) (k2﹣3k+1)=0, 解得:k=1 或 , 时,HN 斜率 ;当

当 HM 斜率 k=1 时,HN 斜率﹣1;当 HM 斜率 HM 斜率 时,HN 斜率 ,

综上述,符合条件的三角形有 3 个. 【点评】本题考查轨迹方程的求解,考查直线与椭圆的位置关系,解题的关键是 求出 HN、HM 的长,利用|HM|=|HN|进行求解.

21. (12 分) (2011?宿州模拟)已知函数 f(x)=(2﹣a) (x﹣1)﹣2lnx,g(x) =xe1﹣x(a∈R,e 为自然对数的底) (Ⅰ)求 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若对任意给定的 x0∈(0,e],在区间(0,e]上总存在两个不同的 xi(i=1, 2) ,使得 f(xi)=g(x0)成立,求 a 的取值范围. 【分析】 (Ⅰ)首先求出函数的导数,然后根据导数与单调区间的关系确定函数 的单调区间, (II)根据)若对任意给定的 x0∈(0,e],在区间(0,e]上总存在两个不同的 xi(i=1,2) ,使得 f(xi)=g(x0)成立,得到函数 f(x)在区间(0,e]上不单 调,并且有 【解答】解: (Ⅰ)∵ ,从而求得 a 的取值范围. ,

∴(1)当 2﹣a≤0 即 a≥2 时 f'(x)<0 恒成立. (2)当 2﹣a>0 即 a<2 时,由 f'(x)<0,得 由 f'(x)>0,得 . ;

因此:当 a≥2 时函数 f(x)的单调减区间是(0,+∞) ;
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当 a<2 时,函数 f(x)的单调减区间是 (II)∵g'(x)=(1﹣x)e1﹣x,

,单调增区间是

∴g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,e]上单调递减, 又因为 g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e2﹣e>0, ∴g(x)在(0,e]上的值域为(0,1]. 由(Ⅰ)知当 a≥2 时函数 f(x)在区间(0,e]上单调递减,不合题意, ∴a<2,并且 ,即 ①

∵x→0 时 f(x)→+∞,故对任意给定的 x0∈(0,e],在区间(0,e]上总存在 两个不同 xi(i=1,2) , 使得 f(xi)=g(x0)成立,当且仅当 a 满足 注意到 f(1)=0,故只要 f(e)=(2﹣a) (e﹣1)﹣2≥1,即 由①②知,所求的 a 得取值范围是 【点评】 此题是个难题. 考查利用导数研究函数的单调性, 和求函数的最值问题, 体现了分类讨论和数形结合以及题意的理解与转化的思想.特别是问题(2)的 设置,考查了学生创造性分析解决问题的能力. , ②

22 . ( 12 分) ( 2017? 青羊区校级模拟)直角坐标系中曲线 C 的参数方程为 (θ 为参数) . (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)经过点 M(0,1)作直线 l 交曲线 C 于 A,B 两点(A 在 B 上方) ,且满足 |BM|=2|AM|,求直线 l 的方程. 【分析】 (1)消去参数,即可求曲线 C 的直角坐标方程; (2)利用参数的几何意义,即可求直线 l 的方程. 【解答】解: (1)由题意,曲线 C 的参数方程为 的直角坐标方程为: . (θ 为参数) ,曲线 C

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(2) 设直线 l 的参数方程为

(?为参数) 代入曲线 C 的方程有: (7sin2?+9)

t2+32sin?t﹣128=0,设点 A,B 对应的参数分别为 t1,t2,则 t2=﹣2t1, 则 ∴sin2?=1, ∴直线 l 的方程为:x=0. 【点评】本题考查参数方程化为直角坐标方程,考查参数方程的运用,属于中档 题. , ,

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