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07-08-1《微积分(B)Ⅰ》期末考试试卷A答案(刘晓)


2007-2008 学年第一学期微积分(B)Ⅰ期末考试试卷(A 卷)答案

北 京 交 通 大 学
2007 2008 学期微积分 微积分( 期末考试试卷 考试试卷( 2007-2008 学年第一学期微积分(B)Ⅰ期末考试试卷(A 卷)答案
1. 本题满分 8 分) . (本题满分 ( 求极限 lim
x →0

1 + tan x ? 1 + sin x . x sin 2 x

解: 该极限是

0 型不定型,由 L’Hospital 法则,有 0 1 + tan x ? 1 + sin x lim x →0 x sin 2 x (1 + tan x ) ? (1 + sin x ) = lim x →0 1 + tan x + 1 + sin x x sin 2 x tan x ? sin x 1 = lim ? lim 2 x →0 x →0 x sin x 1 + tan x + 1 + sin x

(

)

1 tan x ? sin x lim x →0 2 x3 1 sin x 1 1 ? cos x = lim ? lim ? lim x →0 x → 0 cos x x → 0 2 x x2 1 = . 4 =
2. 本题满分 8 分) . (本题满分 (

(

)

? 2x + sin x ? 1 设函数 f ( x ) = ? 1+ ex ?0 ?
解:

x≠0 x=0

处的连续性与可导性. ,试讨论函数 f ( x ) 在点 x = 0 处的连续性与可导性.

? 2x ? lim f ( x ) = lim? + sin x ? = 0 = f (0 ) , 1 ? x →0 x→0? ? ? ?1+ ex ?
所以函数 f ( x ) 在点 x = 0 处连续.

? 2 sin x f ( x ) ? f (0 ) lim? = lim? ? + 1 ? x →0 x →0 ? x?0 x ?1+ ex

? ? = 2 ? 1 = 1 = f ′(0 ) , ? ? ? ?

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2007-2008 学年第一学期微积分(B)Ⅰ期末考试试卷(A 卷)答案

x→0

lim+

? sin x f ( x ) ? f (0 ) 2 = lim+ ? + 1 ? x →0 ? x?0 x ?1+ ex

? ? = 0 + 1 = 1 = f ′(0 ) , + ? ? ?

由于 f +′(0 ) = f ?′(0 ) ,所以 f ′(0 ) 存在. 3. 本题满分 8 分) . (本题满分 ( 设函数 f ( x ) = nx (1 ? x ) 在区间 [0, 1] 上的最大值为 M (n ) ,求极限 lim M (n ) .
n

n →∞

解:

f ′( x ) = n(1 ? x )

n ?1

[1 ? (n + 1)x] ,
1 . n +1

令 f ′( x ) = 0 ,得函数 f ( x ) 在区间 (0, 1) 内的驻点 x =
n

n ? 1 ? 1 ? 1 ? 而 f? , f (0 ) = f (1) = 0 , ?= ?1 ? ? = n +1 ? n +1? n +1 ? n +1? ? 1 ? ?1 + ? ? n?
所以函数 f ( x ) 在区间 [0, 1] 上的最大值为 M (n ) =

1 ? 1? ?1 + ? ? n?
n +1



所以, lim M (n ) = lim
n→∞

1 ? 1? ?1 + ? ? n?
n +1

n→∞

1 = . e

4. 本题满分 8 分) . (本题满分 ( 设函数 y = y ( x ) 由参数方程

x = ∫ 2e? s ds ,
2

t

y = ∫ sin (t ? s )ds
0

t

0

所确定, 所确定,求 解:

dy d 2 y 及 2 . dx dx

对积分 y = sin (t ? s )ds 作变换 u = t ? s ,则 du = ?ds ,则有


0

t

y = ∫ sin (t ? s )ds = ? ∫ sin udu = ∫ sin udu
0 t 0

t

0

t

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2007-2008 学年第一学期微积分(B)Ⅰ期末考试试卷(A 卷)答案

所以,

dy y′(t ) sin t 1 t 2 = = e sin t , 2 = dx x′(t ) 2e?t 2

d ? 1 t2 ? ? e sin t ? d y d ? dy ? dt ? 2 ? = 1 e2t 2 (2t sin t + cos t ) . = ? ?= 2 dx dx ? dx ? x′(t ) 4
2

5. 本题满分 8 分) . (本题满分 ( 连续, 设 f ′′( x ) 连续,而且 f (0 ) = 1 , f (2 ) = 3 , f ′(2 ) = 5 ,计算积分 xf ′′(2 x )dx .


0

1

解: 作变换 u = 2 x ,则 du = 2dx ,因此有

1 u 1 1 ∫ xf ′′(2 x )dx = 2 ∫ 2 f ′′(u )du = 4 uf ′(u ) 0 ? 4 ∫ f ′(u )du 0 0 0

1

2

2

2

1 1 5 1 = ? 2 ? f ′(2) ? f (u ) = ? ? 2 = 2 . 4 4 2 4 0
6. 本题满分 8 分) . (本题满分 ( 已知 解: 等式

2

∫ f ′( x )dx = x(e ∫ f ′( x )dx = x(e
f′ x =e
x

x

+ 1 + C ,求函数 f ( x ) .

)

x

+ 1 + C 两端对 x 求导,得
x

)

( )

x

+ 1 + xe

?

1 2 x

=e

x

+1+

x e 2

x



所以, f ′( x ) = e + 1 + 因此, f ( x ) =

x x e . 2



x ? ex ? f ′(x )dx = ∫ ? e x + 1 + e x ?dx = ( x + 1) + x + C . 2 ? 2 ?

7. 本题满分 8 分) . (本题满分 ( 设 y = ln 解:

1+ x (n ) ,求 y . 1? x

1+ x = ln (1 + x ) ? ln (1 ? x ) , 1? x 1 1 + , 所以, y′ = 1+ x 1? x y = ln
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2007-2008 学年第一学期微积分(B)Ⅰ期末考试试卷(A 卷)答案

所以, y

(n )

= ( y′)

( n ?1)

1 ? ? 1 =? + ? ?1+ x 1? x ?

(n ?1)

=

(? 1)n ?1 (n ? 1) ! + (n ? 1) ! . (1 + x )n (1 ? x )n

8. 本题满分 8 分) . (本题满分 ( 次多项式,使其表示的曲线关于纵坐标轴对称, 处有拐点, 试确定一个 6 次多项式,使其表示的曲线关于纵坐标轴对称,在点 (1, 1) 处有拐点,而且在该点处有 水平切线,并在原点处与横坐标轴相切. 水平切线,并在原点处与横坐标轴相切. 解: 由于 6 次多项式表示的曲线关于纵座标轴对称,故此多项式只含偶次项因此可设

f ( x ) = ax 6 + bx 4 + cx 2 + d .
6 4 2 由题设, f (0 ) = 0 ,代入上式,得 d = 0 .即有 f ( x ) = ax + bx + cx .

由 f (1) = 1 ,得 再由 再由

f (1) = a + b + c = 1 . f ′(1) = 6a + 4b + 2c = 0 . f ′′(1) = 30a + 12b + 2c = 0 .

f ′(1) = 0 ,得 f ′′(1) = 0 ,得

由此得线性方程组

? a + b + c =1 ? ? 6a + 4b + 2c = 0 . ?30a + 12b + 2c = 0 ? b = ?3, c = 3 .

解此线性方程组,得 a = 1,

故所求函数为 f ( x ) = x 6 ? 3 x 4 + 3 x 2 . 9. 本题满分 9 分) . (本题满分 ( 设有一正椭圆柱体, 设有一正椭圆柱体,其底面的长短半轴分别为 2a , 2b ,过此柱体的底面的短轴而且与底面成 α 角 (0 <α < 解: 底面椭圆的方程为

π
2

)的平面截此柱体,得一楔形体,求此楔形体的体积. 的平面截此柱体,得一楔形体,求此楔形体的体积.

x2 y2 + =1. a 2 b2

以垂直于 y 轴的平行平面截此楔形体,所得的截面为直角三角形,

y2 y2 其一直角边长为 a 1 ? 2 ,另一条直角边长为 a 1 ? 2 ? tan α , b b

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2007-2008 学年第一学期微积分(B)Ⅰ期末考试试卷(A 卷)答案

所以,其截面面积为 S ( y ) = 因此,所求体积为

1 y2 y2 a2 ? y2 ? ? a 1 ? 2 ? a 1 ? 2 tan α = ?1 ? 2 ? tan α . 2 b b 2 ? b ? ? ?

b ? a2 ? y2 ? y2 ? 2a 2 b 2 V = ∫ ?1 ? 2 ? tan αdy = a tan α ? ∫ ?1 ? 2 ?dy = tan α . ? b ? 2 ? b ? 3 ? ? ? ?b 0? b

10. 本题满分 9 分) . (本题满分 ( 顶角为

π
2

升水, 现往里灌水, 的正圆锥形容器内盛有 b 升水, 现往里灌水, 从开始 即时间 t = 0 ) ( 到时刻 t 时灌水量为 at

2

的常数) 问何时水面上升速率为最快? ,问何时水面上升速率为最快 升(其中 a 、 b 都是大于 0 的常数) 问何时水面上升速率为最快? , 证明: 证明: 设经过 t 时间,水深为 h ,则由关系式 b + at =
2

π
3

hr 2 .
2

由于圆锥形容器的顶角为
2

π
2

,所以有 r = h .因此, b + at =

π
3

h3 ,

因此有

h=3

(b + at )
π



其中 t ≥ 0 .设水面上升速率为 v ,则有 v =

dh 2a =3 t b + at 2 dt 9π

(

)

?

2 3



所以,

dv 2a t b + at 2 =3 dt 9π

(

)

?

5 3

1 2? ? ? b ? at ? . 3 ? ?



3b dv = 0 ,得惟一驻点 t 0 = (舍去负值) . dt a
当 t < t0 =

3b 3b 3b dv dv 时, > 0 ;当 t > t 0 = 时, < 0 .所以 t 0 = 是函数 v = v(t ) 的极大值, a dt a dt a 3b 时,水面上升速率最快. a

从而也是最大值.因此可知当 t 0 = 11. 本题满分 9 分) . (本题满分 (

一质量为 M ,长为 L 的均匀杆 AB 吸引着一质量为 m 的质点 C ,此质点 C 位于杆 AB 杆的中垂线而 试求: 的相互吸引力. 且与杆 AB 的距离为 a .试求:⑴ 杆 AB 与质点 C 的相互吸引力.⑵ 当质点 C 在杆 AB 的中垂线上从点

C 沿 y 轴移向无穷远点时,克服引力所作的功. 轴移向无穷远点时,克服引力所作的功.
解:

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⑴ 将杆 AB 位于区间 ?? 向的.由于 AB 的线密度为 方向的分力为

? L , ? 2

L? 上,质点 C 位于点 (0, a ) 上,则根据对称性,引力是沿 y 轴负方 2? ?

M M ,于是位于 [x, x + dx ] 上微元的质量为 dx ,它与质点 C 的引力在 y 轴 L L

dF = k

mMdx x ? . 2 2 L x +a x2 + a 2

(

)

所以,引力大小为

F=

kamM L


L ? 2

L 2

dx

(x

2

+a

3 2 2

)

=

2kmM a L2 + 4a 2

,其中 k 是引力常数.

引力的大小为 ⑵ 根据上面的计算, 当质点 C 位于坐标 y 点处时,

2kmM y L2 + 4 y 2

, 于是, 将质点 C 从 y

轴上 a 点移至无穷远点时,克服引力所做功为

W=

+∞


a

2kmM dy = 2 2 L y L + 4y

2kmM

y=

L x

+∞


a

2kmM L2 + 4a 2 + L = ln . L a 4 + x2 dx

12. 本题满分 9 分) . (本题满分 ( 设函数 f ( x ) 在区间 [a, 在区间 (a, 证明: 证明: 由题设 f +′ (a ) ? f ?′ (b ) > 0 ,不妨设 f +′(a ) > 0 , f ?′(b ) > 0 . 由 f +′(a ) > 0 ,知存在 a1 ∈ (a, 得 f (b1 ) < f (b ) = 0 . 所以由连续函数的零点定理,知存在 c ∈ (a, 所以,由 Rolle 中值定理,知存在 ξ1 ∈ (a, 这表明,方程 f ′( x ) = 0 在区间 (a,

b] 上可导,而且 f +′(a ) ? f ?′(b ) > 0 , f (a ) = f (b ) = 0 .证明:方程 f ′( x ) = 0 上可导, 证明:

b ) 内至少有两个不同的实根. 内至少有两个不同的实根.

b ) ,使得 f (a1 ) > f (a ) = 0 ;又由 f +′(b ) > 0 ,知存在 b1 ∈ (a, b ) ,使

b ) ,使得 f (c ) = 0 .

c ) ,使得 f ′(ξ1 ) = 0 ;以及存在 ξ 2 ∈ (c, b ) ,使得 f ′(ξ 2 ) = 0 .

b ) 内至少有两个不同的实根.

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