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用竞赛数学的方法求解高考中数列通项问题


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2 0 0 8年 第 6期 

中学 数 学研 究 

4 5  

用 竞赛 数 学 的 方法 求解 高考 中数 列通 项 问题 
浙江省湖州中学  ( 3 1 3 0 0 0 )   李连方  张萍惠 
数列通 项 的求 解是 国内外 数 学竞 赛 和 高考命  题的“ 热 点”之 一 , 由于题 目灵 活多 变 , 答 题难 度较 
大. 而在 近几 年 高考 中关 于数 列 通 项 的试 题 中 , 我  项, 可利 用特 征 方程  =   , 若 此方 程 有 两  , 若 

常高 , 对 于形如 口  =  

的 递推 式求 解通 

们 可 以发 现其与 数学 竞赛 有 着千 丝万 缕 的联 系. 因  此 在高 中经历过 数学 竞赛 培 训 的考 生 , 大都 掌 握 了 


不相 等 的实根 , 则可构 造数列 等 比 b  :  

些高 中课本所 不 曾接触 过 的 知识 , 在 应对 这 些难 

此方程 有两 相等 的实根  =   , 则 可构造 等差数列 
b   =— 一 , 从而解 得 a  的表达 式.  
a  一  1  

度 很大 的问题就 会 感 到 轻 车 熟 路 , 应 对 自如. 本 文  借 助一些 高考试题 , 说 明数学 竞赛 知识 和方 法 在 高  考 数列通 项求解 中 的渗 透.  


例1 ( 2 0 0 6年 全 国 Ⅱ 卷 )   设数 列 { a   l 的前 n   项 和为 S   , 且方程  一a  ?   —a  =0有 一根 为 S  




不 动 点 的 运 用 
在几 年高考试 卷 中 , 不 动点的知 识应用 频率 非 

1 ( n∈ N  ) . 求数 列 { a   }的通 项公 式.  
??

?

+ 一+ ? ? +

一 +

一— ?   一— ?   一+  

+ 一+

? ? +

?   — ? 卜 一— ? 卜 一+

一— ? 卜 ”— ? 卜 一— ? 卜一 — ? 卜 一— ? 卜 -— ? 卜?  

!±: : : ±1 ≥q   [ ( 1+  ) 詈 】 p? 1   =q ( 1+  ) , 所 
q 个 

证: 由  >一1 , n<0知 , ( 1 +  )   >0 . 若 1+n   ≤0 , 则( 7 ) 显 然成立 . 故 在下面 的证 明中总假定 
1+n x >0 .  

以P ( 1+  )   +q—P≥ q ( 1+  ) ,  
( 1+  ) - q   _ ≥ 1+  L  U P , C / ( 1+  )  ≥ 1+n x .  


P  

当 n = 一 1 时 , ( 1 +  :   ≥ 鲁 


命题 5   设  >一1 , n >1 , 则 有 
( 1+  )  ≥ 1+n x ,   ( 5 )  

1一  , 所以( 7 ) 成立.  

当 一1<n<0时 , 则 0 <一n<1 , 由命 题 6知 
( 1+  ) 一  ≤ 1一n x .  

当且仅 当  =0时 , ( 5 )取 等号,   证: 设任 给 n>1 , 则 存在有 理数 数列 { r   } , 使每 

因为 1一n 2 x  ≤ 1 , 1+n g c>0 , 所 以 1一n g c≤  
 )   ≤   r  , 从而( 1+ l +   n  l
≥ 1+ n   .  
+ n  

个有理 数 r  > 1 , i=1 , 2 , …, m, …, 且l i mr   =n , 由 
命题 4 知( 1+  )   ≥ 1+ / ' r n X , 所 以( 1+  )   =l i m( 1  
+  ) r m≥ l i m( 1+t ' r n X ) =1+  l i mr m  


, 因此 ( 1+  )  

1+n x , 且 口 ( 1+  )  ≥ 1+n x .  

当 n<一1 时, 则 一1<~ 1 <0, 由上 面刚证过 的  结论 知 ( 1+n   ) 吉≥ 1+   ? n  =1 +  , 两边 n 次方 ,  
( 6 )  

命题 6 设  >一1 , 0 <n < 1 , 则 有 
( 1+  )  ≤ 1+n x ,  

当且仅 当  =0时 , ( 6 ) 取 等号.  
1  

并 注 意到 n<0 , 可得 ( 7 ) .   综上, 当 n <0时 , 总有 ( 7 )成立.   至此 , 我们 已得到完 整的 贝努利不 等式 :  
定理  设  >一1 . 当 n<0或 n > 1 时, 有  ( 1+  )  ≥ 1+n   .   当 0 < n< 1 时, 有 
( 1+  )  ≤ 1+n   .   ( 7 )   ( 9 )  

证: 因为  >一1 , 0<n<1 , 所 以  >1 , 1+n x  
n 
1   1  

>0 , 由命 题 5知 ( 1+n x )   ≥ 1+一 I t? n x=1+  ,  
,  

( 8 )  

两边 n 次方 , 即得 ( 6 ) .  
命题 7 设  >一1 , n <0, 则有 
( 1+  )   ≥ 1+n x ,  

当且仅 当  =0时 , ( 8 )和 ( 9 ) 取 等号.  

当且仅 当  =0时 , ( 7 )取等号 .  

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中 学数 学 研 究 

2 0 0 8年 第 6期 

分析 : 易得口  :   1



且( s  一1 )  一 口  。 ( | s  一1 )  



丁 x 1 ? 【 ? + ( ÷ )   】 , 故   : 2 得  : 3 .  
三、 待 定 系数 法的 运 用 
对于形 女 口 口  :P? 口   一 1 +g 、 口  :P? 口   一 l+g   、  

口  =0 , 将口  :S  一S   一 , 代入上 式 , 得S  :  


利用特 征方程  :  

解得  =1 , 可 构造 

P? 口   一 , +  n+b ( p 、 g 、  、 6 是 常数 )等递推式 求通项  在高考 中出现的频率 最高 , 在 每年 的各  由测  - 2 , 且   , =   = 昔  类 型的试题 , 省市 高考卷 中都能 找 到其 身影 , 而且 其 解题 的方法 
=一1+   1+b n , 所 以数 列 { 6 n } 是公 差为 一   , 因此 


众多, 其 中待 定 系数法不 失为一种 简洁 的方法.   例3 ( 2 0 0 6年全 国 I卷 )   在数列 { 1 7 ,   }中 , S  

1 的等差 数列. 故6  :一n一1 , 所以s  :   数列 { 口   }的通 项公式 为 口   ?  

争   一 ÷ × 2 ” 1 + 了 2 , ( n ∈ N   ) . 求 首 项 口   与 通  
分析: 由题意得 口  :S  :了 4口   一 了 1× 2   + 丁 2
,  

项1 7 ,   .  

二、 特 征 根 的 运 用 
对 于形 如 口   +  :P? 口  +g? 口   一 , 的二 阶递 推式 

求通项, 可先 利用特 征方程  :P?   +g , 若 此方程 
有 两 不 相 等 的 实 根  、  , 则 可 构 造 两 数 列 等 比  { 口   +   一   ? 口   } 和{ 口   +   一   ? 口   } , 分另 0 解 出通项 口   + ,  
一  

解 得 口   : 2 . 又 口   +   : s   +   一 s   = 鲁 口   +   一 睾 口   一  
÷( 2 ”   一 2  ) , 即 口   + l : 4 a   + 2 ”   , 设口   + 1 +  ? 2  


l ? 口   与口   + l —  2? 口   , 再将 口   + l 、 口   看成 未知数 ,  

4 ( 1 7 ,  +  ? 2   ) , 利用待 定 系数法 可得  =1 , 又口  

从而 解 出 口  的表达式 ; 若此 方程有两 相等 的实根 
=  


+2 :4≠0, 所 以数列 { 口  +2   } 是公 比为 4的等 比  数歹 U . 所以 1 7 ,  +2  :4×4   ~, 得1 7 ,  =4  一2   .  

则 先解 出 口   +  一   ? 口   , 再 利用 “ 待定 系数法 ”  

可解 出 口  的表达式.   例2 ( 2 0 0 5年 广东卷 改编 )   已知 数列 {   } 满 

四、 取 对 数 的 运 用 
在 高 中数 学竞赛 中 , 对 于形 如 1 7 ,  =P? 口   的 

常常采取 两边取对 数 , 从而 达到  足 戈   : ≥ ,  =   1 (   一   +   一   ) (   ≥ 3 ) , 若   =   高次递 推式求 通项 ,

2 , 求 。 的值.  
分析 : 利 用特征方 程  2:   1? (  +1 ) 解 得  :  


构造 新数列解 出 1 7 ,  的表达式 .  

例4 ( 2 0 0 5年 江西 高 考卷 )   已知 数列 { 口   } 各 

项为正数, 且满足 口 , =1 , 口   +  :÷口   ? ( 4一口   ) (  
1 或  :一   1 因此 可将  :   1(  



,+  





) 变 形为 

∈N  ) . ( 1 ) 求证 : 口  <口   + ,<2 ( n∈N  ) ; ( 2 ) 求 
数列 { 口   } 的通项公 式.  

戈  - Xn I
_

: 

1(  




一 

一  

) , 又 由题 意 可知  一  





等 ≠ 0 , 所 以 数 列 {   +   一   } 是 以   公 比 的 等 比  

分析: ( 1 ) 略; ( 2 ) 由口   +   :÷口   ? ( 4 一 口   ) 变 
形 为 2一口   +  :  1 ? ( 2一口   )   由( 1 ) 可 知 2一口   +  


数 列 , 则  ,   :  
=  
一   一

) ? ( 号 )  =   。  

( 丢  同 理 将  =   1 (   一   +   一 z ) 变 形 为  +   边取 对数得 l g b   + 。:2? l g b  一l g 2 , 变 形为 l g 6   +  一  
。 + 

>0 , 2一 口  >0 . 令6  :2一 口   , 贝 0   6   + l:   1? 6 : , 两 

g 2 :2? ( 1 g 6  一l g 2 ) , 又l g 6  一l g 2:一l g 2≠0, 所  1   则 数 列 {   +   +   1  ) 是 常 数  l 以数列 { l g 6  一l g 2 } 是 以 一l g 2为首项 , 2为公 比的等 

列 , 则   +   +   1  =  + 等=  两 式 相 减 可 得  =  

比数列 , 故l g 6  一I g 2:一l   ? 2  . 得6  :  

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2 0 0 8年第 6期 

中学数学研究 

4 7  

( — } )   一   一   , 因 此 有 c z   = = (   )   一   一   .  
五、 迭 代 法 的运 用 
迭代法在 竞赛 中运用 多 , 如本文“ 三、 待定 系数 
法”中的几 种类 型 , 均 可采用迭代 法. 对 形如 a  =P  

分析: 两边 取倒数 得  :  
a n   J, ‘ 。 U, n


, 化 简 
1  

可得 ?一

n 




÷ ‘ ( ? 一   } ) , 又 ? 一  = ÷ ≠ 。 ,  
an   J   J 

所以 数 列{ 1 一 一 n } 为 公比 为 ÷的等比 数列, 则1 一  
L   n
=  ,

? a   的高 次递推 式 两边 取对 数 后 , 若其 新 的数 列 
首项为 0时 , 即新 的数 列不为 等 比数列 , 这 时往往 采 
因此有 口   ?  

用迭代法求 解 出 a  的表达式.  
例5 ( 2 0 0 2年 天津 高考 )   已知 { a   }是 由非 负  整数 组成 的数 列 , 满足 a  = 0 , a   =3 , a   ? a  =  

七、 平 方 或 开 方法 的运 用 
在数学 竞 赛 中 , 经 常会对 已知 的递 推式 平方 或  开方 , 进 而得 到新 的递推 关系 , 从 而求解 出原来数 列 
的通项 , 而且 可 以避 免 了数 学归纳 法.  

( a   +2 )? ( a   +2 ) , n =3 , 4 , 5 , …. ( 1 )求 a 3 ;  
( 2 ) 证明a  =a   + 2 , n=3 , 4 , 5 , …; ( 3 ) 求{ a   } 的 

例7 ( 1 9 9 4年 全 国高考 卷 )   设 无穷 数 列 { a   }  
的各项 都是正 数 , S  是 它 的前 n项 之和 , 对 于任 意 

通项 公式及 其前 n项 和 s   .  
分析 : ( 1 ) a 。=2 ; ( 2 ) 将a   ? a  =( a   +2 )  
+2 )变 形 为 
=  

正 整数 n , a  与 2的等差 中项 等于 s   与 2的等 比中 
项, 求该 数列 的通项 公式.   分析 : 由题 意得  :   , 则口  :2两 

a   1 + 
n 一 





令 

取 对数可得 l g b   +  =一l g b   , ① 当 n为奇数 时 , l g 6  
= 一

( n ≥ 3 ) , 则 6 s = 6   : 1 , 且 6 川 = 去, 两 边  边 平方化 简 可得 ( a  + 2 )   =8? S   , 则有( a   +2 )  



8? S  , 两式 相减 得 ( a  +2 )  一( a   +2 )   =8   ( S  一S   ) =8? a   , 化 简得 ( a  一2 )   =( a   一  +  

l g b   2= …

=( 一1 ) 丁 ? l g b 3=0 , ②l g b  =一  

?

l g b   =… =( 一1 ) 丁 ? l g b  =0 . 所 以对 于任意 的 
n≥3均有 l g b  =0 , 则 必有 a  =a   +2 , n=3 , 4,  

2 )  , 故有 a  一 2=a   + 2 ( 负值 舍去 ) , 则a  =a  

+4 , 所 以数列 { a   } 是公 差为 4的等差数 列 , 因此有 
a   = 4n 一 2 .  

5 , …. ( 3 )略.  

六、 取 倒 数 的 运 用 


以上介绍 了几 种常见 的求 解数列通 项 问题 中涉 

般 地 , 对 于 形 如 a n =   }  的 递 推 式   构建新 的等差 或 等 比数 列 , 然 后 通 过研 究 新数 列 达 
到问题 解决之 目的. 而且在 近几年 高考 中 , 数学竞 赛  方 法不仅 仅在数 列 问题 中有 所 渗 透 , 其他 它 数 学 知 
识 中渗透 也非 常多 , 这 是 因为 数学 竞 赛对 学 生 的逻  辑推 理能力 、 抽象 概括 能力 、 数 据处理 能力 的培养和  提高 有着积 极 的作 用 , 在平 时 的教学 中 , 教师必 要对 

及 的竞赛方 法 , 其基本 思路 是根据 题设 提供 的信 息 ,  

求 通项 , 虽 然我们 也可 以利用不 动点来 解决 , 但是若 
两边 取倒数 则显得 更 简 洁 , 而且 避 免烦 琐 的数学 归 
纳法.  

例6 ( 2 0 0 6年 江西卷 )   已知 数列 { a   } 满足: 口  
:   ,

且口  =  

( n≥2 ) , 求 数列 { a n }  

的通项公 式.  

学有余 力而且 有兴趣 的同学 进行适 当 的培训.  


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