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【高考数学】 二轮专题复习 专题八 数学思想和方法 第1讲 函数与方程思想、数形结合思想


第1讲 函数与方程思想、数形结合思想 高考定位 函数与方程的思想一般通过函数与导数、三角函数、数列、解析几 何等知识进行考查;数形结合思想一般在填空题中考查. 1.函数与方程思想的含义 (1)函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,是对 函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分 析问题、转化问题,从而使问题获得解决的思想方法. (2)方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组, 或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问 题,使问题获得解决的思想方法. 2.函数与方程的思想在解题中的应用 (1)函数与不等式的相互转化,对于函数 y=f(x),当 y>0 时,就转化为不等式 f(x) >0,借助于函数的图象和性质可解决有关问题,而研究函数的性质也离不开不 等式. (2)数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点去处理数列 问题十分重要. (3)解析几何中的许多问题,需要通过解二元方程组才能解决,这都涉及二次方 程与二次函数的有关理论. 3.数形结合是一种数学思想方法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应 用大致可以分为两种情形:①借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系,即 以形作为手段,数为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质; ②借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形 作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. 4.在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点:第一要彻底明白一些 概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分 析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参,建立关系,由 数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围.数学中的 知识,有的本身就可以看作是数形的结合. 热点一 函数与方程思想的应用 [应用 1] 不等式问题中的函数(方程)法 【例 1-1】 (1)f(x)=ax3-3x+1 对于 x∈[-1,1],总有 f(x)≥0 成立,则 a= ________. (2)设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,f′(x)g(x)+ f(x)g′(x)>0,且 g(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是________. 解析 (1)若 x=0,则不论 a 取何值,f(x)≥0 显然成立; 当 x>0 即 x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0 可化为 3(1-2x) 3 1 3 1 a≥x2-x3.设 g(x)=x2-x3,则 g′(x)= , x4 1? ? ?1 ? 所以 g(x)在区间?0,2?上单调递增,在区间?2,1?上单调递减,因此 g(x)max= ? ? ? ? ?1? g?2?=4,从而 a≥4. ? ? 3 1 3 当 x<0 即 x∈[-1,0)时,f(x)=ax3-3x+1≥0 可化为 a≤x2-x3,设 g(x)=x2- 1 x3,且 g(x)在区间[-1,0)上单调递增,因此 g(x)min=g(-1)=4,从而 a≤4,综 上 a=4. (2)设 F(x)=f(x)g(x),由于 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函 数和偶函数,得 F(-x)=f(-x)· g(-x)=-f(x)g(x)=-F(x),即 F(x)在 R 上为奇函数. 又当 x<0 时,F′(x)=f′(x)· g(x)+f(x)g′(

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