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河南省郑州四中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析


河南省郑州四中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷(文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分.每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的选 项填涂在答题卡上) 1. (5 分)已知命题 p:?x∈R,x﹣2>lgx,命题 q:?x∈R,x >0,则() A.命题 p∨q 是假命题 B. 命题 p∧q 是真命题 C. 命题 p∧(¬q)是真命题 D.命题 p∨(¬q)是假命题 2. (5 分)在△ ABC 中,A=45°,B=60°,a=2,则 b 等于() A. B. C.
2

D.

3. (5 分)若等差数列{an}的前 5 项和 S5=30,且 a2=7,则 a7=() A.0 B. 1 C. 2 D.3 4. (5 分)已知 a>b,则下列各式中正确的是() A.a >b C.
2 2

B. a >b D.

3

3

5. (5 分) (文)已知等比数列{an}的前三项依次为 a﹣2,a+2,a+8,则 an=() A. B. C. D.

6. (5 分)若直线 y=2x 上存在点(x,y)满足约束条件

,则实数 m 的最大值

为() A.﹣1 B.
2

1

C.

D. 2

7. (5 分)已知“命题 p:?x∈R,使得 ax +2x+1<0 成立”为真命题,则实数 a 满足() A.0,1) B.(﹣∞,1) C.1,+∞) D.(﹣∞,1] 8. (5 分)有下面四个判断,其中正确的个数是() ①命题:“设 a、b∈R,若 a+b≠6,则 a≠3 或 b≠3”是一个真命题 ②若“p 或 q”为真命题,则 p、q 均为真命题 2 2 2 2 ③命题“?a、b∈R,a +b ≥2(a﹣b﹣1)”的否定是:“?a、b∈R,a +b ≤2(a﹣b﹣1)” A.0 B. 1 C. 2 D.3 9. (5 分)已知圆的半径为 4,a、b、c 为该圆的内接三角形的三边,若 abc=16 的面积为() ,则三角形

A.2

B. 8

C.

D.

10. (5 分)在数列{an}中,a1=14,3an=3an+1+2,则使 anan+2<0 成立的 n 值是() A.19 B.20 C.21 D.22 11. (5 分)已知平面区域 D 由以 A(1,3) ,B(5,2) ,C(3,1)为顶点的三角形内部以及 边界组成.若在区域 D 上有无穷多个点(x,y)可使目标函数 z=x+my 取得最小值,则 m=() A.﹣2 B . ﹣1 C. 1 D. 4 12. (5 分)设等差数列{an}满足: =1,公差 d∈(﹣1,0) .若当且 仅当 n=9 时,数列{an}的前 n 项和 Sn 取得最大值,则首项 a1 取值范围是() A.( , ) B. ( , ) C. D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案直接答在答题卷上) 13. (5 分)已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80°处,且 A 到 C 的距离为 2km,B 船在灯塔 C 北偏西 40°,A、B 两船的距离为 3km,则 B 到 C 的距离为 km. 14. (5 分)△ ABC 中,若 b=2a,B=A+60°,则 A=°.

15. (5 分)若线性目标函数 z=x+y 在线性约束条件

下取得最大值时的最优解只

有一个,则实数 a 的取值范围是 . 16. (5 分)已知{an}是递增数列,且对于任意的 n∈N ,an=n +λn 恒成立,则实数 λ 的取值范 围是.
* 2

三、解答题(本大题共 6 小题,17 题 10 分,18-22 题每小题 10 分,共 70 分.把答案直接答在 答题卷上) 17. (10 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成等差数列. (Ⅰ)求 cosB 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sinAsinC 的值. 18. (12 分)在△ ABC 中,已知 ,∠BAC=30°.

(1)求△ ABC 的面积; (2)设 M 是△ AB 内 一点, △ MAB 的面积,求 的最小值. ,设 f(M)=(m,n) ,其中 m,n 分别是△ MCA,

19. (12 分)在海岸 A 处,发现北偏东 45°方向,距 A 处( ﹣1)海里的 B 处有一艘走私船, 在 A 处北偏西 75°方向,距 A 处 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 海里/小时的速度追截走 私船,此时走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30°的方向逃窜,问缉私船沿什么 方向能最快追上走私船,并求出所需要的时间. 20. (12 分)已知关于 x 的不等式(kx﹣k ﹣4) (x﹣4)>0,其中 k∈R. (1)当 k=1 时,求不等式的解集; (2)当 k 变化时,试求不等式的解集 A. 21. (12 分)在数列{an}中,a1+a2+a3+…+an=n﹣an(n∈N ) . (1)求 a1,a2,a3 的值; (2)求证:数列{an﹣1}是等比数列; (3)设 bn=(2﹣n) (an﹣1) (n∈N ) ,如果对任意 n∈N ,都有
* * * 2

,求正整数 t 的最小值.

22. (12 分)已知 y=f(x) , 3 (Ⅰ)当 n∈N 时求 f(n)的表达式; (Ⅱ)若 b1=1,bn+1= (Ⅲ)记
*

,对任意实数 x,y 满足:f(x+y)=f(x)+f(y)﹣

,求 bn; ,试证 c1+c2+…+c2014<89.

河南省郑州四中 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分.每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的选 项填涂在答题卡上) 2 1. (5 分)已知命题 p:?x∈R,x﹣2>lgx,命题 q:?x∈R,x >0,则() A.命题 p∨q 是假命题 B. 命题 p∧q 是真命题 C. 命题 p∧( ¬q)是真命题 D.命题 p∨(¬q)是假命题

考点: 全称命题;复合命题的真假. 专题: 常规题型. 分析: 先判断出命题 p 与 q 的真假,再由复合命题真假性的判断法则,即可得到正确结论. 解答: 解:由于 x=10 时,x﹣2=8,lgx=lg10=1,故命题 p 为真命题, 2 令 x=0,则 x =0,故命题 q 为假命题, 依据复合命题真假性的判断法则, 得到命题 p∨q 是真命题,命题 p∧q 是假命题,¬q 是真命题, 进而得到命题 p∧(¬q)是真命题,命题 p∨(¬q)是真命题. 故答案为 C. 点评: 本题考查复合命题的真假,属于基础题. 2. (5 分)在△ ABC 中,A=45°,B=60°,a=2,则 b 等于() A. B. C. 考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 由正弦定理可得, 解答: 解:由正弦定理可得, ∴ = = = ,代入可求

D.

故选 A 点评: 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基础试题 3. (5 分)若等差数列{an}的前 5 项和 S5=30,且 a2=7,则 a7=() A.0 B. 1 C. 2 D.3 考点: 等差数列的性质. 分析: 本题是一个基本量的运算问题,根据所给的前五项之和和第二项的值,写出关于首 项和公差的方程组,解方程组得到首项和公差,写出数列的第七项,得到结果. 解答: 解:∵S5=30,且 a2=7 ∴5a1+10d=30,a1+d=7, ∴d=﹣1,a1=8. ∴a7=8+6×(﹣1)=2. 故选 C. 点评: 本题是一个等比数列的基本量的运算,这种问题是数列中最容易出的一种小型题目, 多出在选择和填空中,是考查数列的基础知识的一道送分的题目,只要解题认真就可以得分. 4. (5 分)已知 a>b,则下列各式中正确的是() 2 2 3 3 A.a >b B. a >b

C.

D.

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用不等式的性质即可得出. 解答: 解:∵a>b,∴a﹣b>0,a +ab+b >0, 3 3 2 2 ∴a ﹣b =(a﹣b) (a +ab+b )>0, 3 3 ∴a >b . 故选 B. 点评: 熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键. 5. (5 分) (文)已知等比数列{an}的前三项依次为 a﹣2,a+2,a+8,则 an=() A. B. C. D.
2 2

考点: 等比数列的性质;等比数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 由已知等比数列的前三项, 根据等比数列的性质列出关于 a 的方程, 求出方程的解得 到 a 的值,确定出等比数列的前三项,进而得到此等比数列的首项和公比,根据首项与公比写 出通项公式即可. 解答: 解:∵a﹣2,a+2,a+8 为等比数列{an}的前三项, 2 2 2 ∴(a+2) =(a﹣2) (a+8) ,即 a +4a+4=a +6a﹣16, 解得:a=10, ∴等比数列{an}的前三项依次为 8,12,18, 即等比数列的首项为 8,公比为 则此等比数列的通项公式 an= = , .

故选 C 点评: 此题考查了等比数列的性质,以及等比数列的通项公式,熟练掌握性质及公式是解 本题的关键.

6. (5 分)若直线 y=2x 上存在点(x,y)满足约束条件

,则实数 m 的最大值

为() A.﹣1 B. 1 C. D.2

考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;数形结合.

分析: 根据

,确定交点坐标为(1,2)要使直线 y=2x 上存在点(x,y)满足约

束条件

,则 m≤1,由此可得结论.

解答: 解:由题意,

,可求得交点坐标为(1,2)

要使直线 y=2x 上存在点(x,y)满足约束条件

,如图所示.可得 m≤1

∴实数 m 的最大值为 1 故选 B.

点评: 本题考查线性规划知识的运用,考查学生的理解能力,属于基础题. 7. (5 分)已知“命题 p:?x∈R,使得 ax +2x+1<0 成立”为真命题,则实数 a 满足() A.0,1) B.(﹣∞,1) C.1,+∞) D.(﹣∞,1 ] 考点: 特称命题;命题的否定. 专题: 计算题. 分析: q 为真命题,通过对二次项系数的讨论求出 a 的范围化简命题. 解答: 解:由题意,p 为真命题. (1)当 a=0 时成立; (2)a<0 时恒成立; (3)a>0 时,有 ,解得 0<a<1
2

综上,a<1, 故选 B. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用,解决二次函数注意对二次项系数的讨论、复合命 题的真假与构成其简单命题的真假关系.

8. (5 分)有下面四个判断,其中正确的个数是() ①命题:“设 a、b∈R,若 a+b≠6,则 a≠3 或 b≠3”是一个真命题 ②若“p 或 q”为真命题,则 p、q 均为真命题 2 2 2 2 ③命题“?a、b∈R,a +b ≥2(a﹣b﹣1)”的否定是:“?a、b∈R,a +b ≤2(a﹣b﹣1)” A.0 B. 1 C. 2 D.3 考点: 命题的 真假判断与应用;特称命题;命题的否定. 专题: 计算题. 分析: 写出①的逆否命题,判断逆否命题的真假,即可判断①的正误. 通过复合命题的真假判断②的正误; 利用全称命题的否定,写出其特称命题判断即可. 解答: 解:①命题:“设 a、b∈R,若 a+b≠6,则 a≠3 或 b≠3”的逆否命题为:“若 a=3 且 b=3, 则 a+b=6”是一个真命题, 所以①是真命题; ②若“p 或 q”为真命题,一真即真,所以 p、q 均为真命题说法不正确; ③命题“?a、b∈R,a +b ≥2(a﹣b﹣1)”的否定是:“?a、b∈R,a +b ≤2(a﹣b﹣1)”不满足 全称命题的否定是特称命题,所以不正确; 正确命题的个数是 1 个. 故选 B. 点评: 本题考查命题的否定,四种命题的逆否关系,复合命题真假的判断,基本知识的应 用. 9. (5 分)已知圆的半径为 4,a、b、c 为该圆的内接三角形的三边,若 abc=16 的面积为() A.2 B. 8 C. D. ,则三角形
2 2 2 2

考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 先根据正弦定理求得 sinC= 代入三角形面积公式根据 abc 的值求得答案. 解答: 解:∵ ∴sinC= , ∴S△ ABC= absinC= abc= ×16 = . =2R=8,

故选 C 点评: 本题主要考查了正弦定理的应用.考查了考生运用正弦定理及其变形公式解决问题 的能力. 10. (5 分)在数列{an}中,a1=14,3an=3an+1+2,则使 anan+2<0 成立的 n 值是() A.19 B.20 C.21 D.22

考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知条件得到数列{an}是首项 a1=14,公差为 an﹣an+1=﹣ 的等差数列,从而推导 出 an= (44﹣2n) ,从而 an?an+2= (44﹣2n) (40﹣2n) ,由此能求出使 anan+2<0 成立的 n 值. 解答: 解:由已知 3an=3an+1+2, 得 an+1﹣an=d=﹣ , an=14+(n﹣1) (﹣ )= (44﹣2n) , an?an+2= (44﹣2n) (40﹣2n)<0, 整理,得(n﹣20) (n﹣22)<0, 解得 20<n<22, 因为 n∈N ,所以 n=21. 故选:C. 点评: 本题考查使 anan+2<0 成立的 n 值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意等差 数列的性质的合理运用. 11. (5 分)已知平面区域 D 由以 A(1,3) ,B(5,2) ,C(3,1)为顶点的三角形内部以及 边界组成.若在区域 D 上有无穷多个点(x,y)可使目标函数 z=x+my 取得最小值,则 m=() A.﹣2 B . ﹣1 C. 1 D.4 考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 将目标函数 z=x+my 化成斜截式方程后得:y=﹣ x+ z,若 m>0 时,目标函数值 Z 与直线族:y=﹣ x+ z 截距同号,当直线族 y=﹣ x+ z 的斜率与直线 AC 的斜率相等时,目 标函数 z=x+my 取得最小值的最优解有无数多个;若 m<0 时,目标函数值 Z 与直线族:y= ﹣ x+ z 截距异号, 当直线族 y=﹣ x+ z 的斜率与直线 BC 的斜率相等时, 目标函数 z=x+my 取得最小值的最优解有无数多个, 但此时是取目标函数取最大值的最优解为无数个, 不满足条 件. 解答: 解:依题意,满足已知条件的三角形如下图示: 令 z=0,可得直线 x+my=0 的斜率为﹣ , 结合可行域可知当直线 x+my=0 与直线 AC 平行时, 线段 AC 上的任意一点都可使目标函数 z=x+my 取得最小值, 而直线 AC 的斜率为 =﹣1,
*

所以﹣ =﹣1,解得 m=1, 故选 C. 增加网友的解法,相当巧妙值得体会!请看: 依题意,1+3m=5+2m<3+m,或 1+3m=3+m<5+2m,或 3+m=5+2m<1+3m 解得 m∈空集,或 m=1,或 m∈空集, 所以 m=1,选 C. 评析:此解法妙在理解了在边界处取到最小值这个命题的内蕴,区域的三个顶点中一定有两 个顶点的坐标是最优解,故此两点处函数值相等,小于第三个顶点处的目标函数值,本题略 去了判断最优解取到位置的判断,用三个不等式概括了三种情况,从而解出参数的范围,此 方法可以在此类求参数的题中推广,具有一般性!

点评: 目标函数的最优解有无数多个,处理方法一般是:①将目标函数的解析式进行变形, 化成斜截式;②分析 Z 与截距的关系,是符号相同,还是相反;③根据分析结果,结合图形 做出结论④根据斜率相等求出参数. 12. (5 分)设等差数列{an}满足: =1,公差 d∈(﹣1,0) .若当且 仅当 n=9 时,数列{an}的前 n 项和 Sn 取得最大值,则首项 a1 取值范围是() A.( , ) B. ( , ) C. D.

考点: 等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式,根据公差 d 的范围求出公差的值,代入前 n 项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项 a1 取值范 围. 解答: 解:由 =1,

得: ,





由积化和差公式得:



整理得: ∴sin(3d)=﹣1. ∵d∈(﹣1,0) ,∴3d∈(﹣3,0) , 则 3d= ,d=﹣ .



由 对称轴方程为 n= ,

=



由题意当且仅当 n=9 时,数列{an}的前 n 项和 Sn 取得最大值, ∴ ∴首项 a1 的取值范围是 ,解得: . .

故选:B. 点评: 本题考查了等差数列的通项公式,考查了三角函数的有关公式,考查了等差数列的 前 n 项和,训练了二次函数取得最值得条件,考查了计算能力,是中档题. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案直接答在答题卷上) 13. (5 分)已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80°处,且 A 到 C 的距离为 2km,B 船在灯塔 C 北偏西 40°,A、B 两船的距离为 3km,则 B 到 C 的距离为 km.

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 计算题. 分析: 先确定|AC|、|AB|和∠ACB 的值,然后在△ ABC 中应用余弦定理 可求得|BC|的值. 解答: 解:由题意可知|AC|=2,|AB|=3,∠ACB=120° 在△ ABC 中由余弦定理可得 2 2 2 |AB| =|AC| +|BC| ﹣2|AC||BC|cos∠ACB ∴9=4+ ∴|BC|=﹣1﹣ (舍)或|BC|=

故答案为 . 点评: 本题主要考查余弦定理的应用,考查根据解三角形的有关定理来解决实际问题的能 力. 14. (5 分)△ ABC 中,若 b=2a,B=A+60°,则 A=30°. 考点: 正弦定理的应用. 专题: 计算题. 分析: 先根据正弦定理将边的关系转化为正弦的关系, 再将 B=A+60°去代换消去 B, 得到 A 的关系,最后根据两角和与差的正弦公式可求出角 A 的正弦值,进而得到答案. 解答: 解:利用正弦定理, ∵b=2a∴sinB=2sinA∴sin(A+60°)﹣2sinA=0 ∴ cosA﹣3sinA=0∴sin(30°﹣A)=0 ∴30°﹣A=0°(或 180°)∴A=30°. 故答案为:30° 点评: 本题主要考查正弦定理和两角和与差的正弦公式,三角函数公式比较多不容易记, 要给予重视,强化记忆.

15. (5 分)若线性目标函数 z=x+y 在线性约束条件

下取得最大值时的最优解只

有一个,则实数 a 的取值范围是 a≤2. 考点: 简单线性规划的应用. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 先根据约束条件画出可行域,设 z=x+y,再利用 z 的几何意义求最值,只需求出何时

目标函数 z=x+y 在线性约束条件

下取得最大值时的最优解只有一个,从而得到

实数 a 的取值范围即可. 解答: 解析:作出可行域如图: 由图可知直线 y=﹣x 与 y=﹣x+3 平行,若最大值只有一个, 则直线 y=a 必须在直线 y=2x 与 y=﹣x+3 的交点(1,2)的下方,故 故答案为:a≤2.

点评: 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的 思想,属中档题.借助于平面区域特性,用几何方法处理代数问题,体现了数形结合思想、化 归思想.线性规划中的最优解,通常是利用平移直线法确定. 16. (5 分)已知{an}是递增数列,且对于任意的 n∈N ,an=n +λn 恒成立,则实数 λ 的取值范 围是(﹣3,+∞) . 考点: 数列与函数的综合. 专题: 计算题. 分析: 由对于任意的 n∈N , an=n +λn 恒成立, 知 an+1﹣an= (n+1)+λ (n+1) ﹣n ﹣λn=2n+1+λ, 由{an}是递增数列,知 an+1﹣an>a2﹣a1=3+λ>0,由此能求出实数 λ 的取值范围. * 2 解答: 解:∵对于任意的 n∈N ,an=n +λn 恒成立, 2 2 an+1﹣an=(n+1) +λ(n+1)﹣n ﹣λn=2n+1+λ, ∵{an}是递增数列, ∴an+1﹣an>0, 2 2 又 an+1﹣an=(n+1) +λ(n+1)﹣n ﹣λn=2n+1+λ ∴当 n=1 时,an+1﹣an 最小, ∴an+1﹣an>a2﹣a1=3+λ>0, ∴λ>﹣3. 故答案为: (﹣3,+∞) . 点评: 本题考查实数的取值范围的求法,具体涉及到数列的性质,解题时要认真审题,注 意函数思想的灵活运用,是基础题. 三、解答题(本大题共 6 小题,17 题 10 分,18-22 题每小题 10 分,共 70 分.把答案直接答在 答题卷上) 17. (10 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成等差数列. (Ⅰ)求 cosB 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sinAsinC 的值. 考点: 数列与三角函数的综合. 专题: 计算题;综合题. 分析: (Ⅰ)在△ ABC 中,由角 A,B,C 成等差数列可知 B=60°,从而可得 cosB 的值; (Ⅱ) (解法一) ,由 b =ac,cosB= ,结合正弦定理可求得 sinAsinC 的值;
2 * 2 2 2 * 2

(解法二) , 由 b =ac, cosB= , 根据余弦定理 cosB= 为等边三角形,从而可求得 sinAsinC 的值. 解答: 解: (Ⅰ)由 2B=A+C,A+B+C=180°,解得 B=60°, ∴cosB= ;…6 分 (Ⅱ) (解法一) 2 2 由已知 b =ac,根据正弦定理得 sin B=sinAsinC, 又 cosB= , ∴sinAsinC=1﹣cos B= …12 分 (解法二) 由已知 b =ac 及 cosB= ,
2 2

2

可求得 a=c, 从而可得△ ABC

根据余弦定理 cosB= ∴B=A=C=60°, ∴sinAsinC= …12 分

解得 a=c,

点评: 本题考查数列与三角函数的综合,着重考查等比数列的性质,考查正弦定理与余弦 定理的应用,考查分析转化与运算能力,属于中档题. 18. (12 分)在△ ABC 中,已知 (1)求△ ABC 的面积; (2) 设 M 是△ AB 内一点, 的面积,求 的最小值. , 设f (M) = (m, n) , 其中 m, n 分别是△ MCA, △ MAB

,∠BA C=30°.

考点: 基本不等式;平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: (1)通过向量的数量积,求出三角形两边的乘积,最后代入三角形面积公式求出结 果即可. (2)利用向量的数量积的运算求得 b、c 的值,利用三角形的面积公式求得 m+n 的值,进而 把 转化成 2( )×(m+n) ,利用基本不等式求得 的最小值.

解答: 解: (1)由题意可知: 可得 ,

因此

, ,

文科: (2)由于 S△ ABC=S△ MBC+S△ MCA+S△ MAB,且 则 故 ,即 , =

,即

当且仅当

,即



时取等号.

点评: 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用,向量的数量积的运算.要注意灵 活利用 y=ax+ 的形式.

19. (12 分)在海岸 A 处,发现北偏东 45°方向,距 A 处( ﹣1)海里的 B 处有一艘走私船, 在 A 处北偏西 75°方向,距 A 处 2 海里的 C 处的缉私船奉命以 10 海里/小时的速度追截走 私船,此时走私船正以 10 海里/小时的速度从 B 处向北偏东 30°的方向逃窜,问缉私船沿什么 方向能最快追上走私船,并求出所需要的时间. 考点: 解三角形的实际应用. 专题: 应用题. 分析: 设缉私船追上走私船需 t 小时,进而可表示出 CD 和 BD,进而在△ ABC 中利用余弦 定理求 得 BC,进而在△ BCD 中,根据正弦定理可求得 sin∠BCD 的值,进而求得 ∠BDC=∠BCD=30°进而求得 BD,进而利用 BD=10t 求得 t. 解答: 解:如图所示,设缉私船追上走私船需 t 小时, 则有 CD= ,BD=10t.在△ ABC 中, ∵AB= ﹣1,AC=2, ∠BAC=45°+75°=120°. 根据余弦定理可求得 BC= . ∠CBD=90°+30°=120°. 在△ BCD 中,根据正弦定理可得 sin∠BCD= ,

∵∠CBD=120°,∴∠BCD=30°,∠BDC=30°, ∴BD=BC= ,则有 10t= ,t= =0.245(小时)=14.7(分钟) .

所以缉私船沿北偏东 60°方向,需 14.7 分钟才能追上走私船.

点评: 本题主要考查了解三角形的实际应用.考查 了运用三角函数的基础知识解决实际的 问题. 20. (12 分)已知关于 x 的不等式(kx﹣k ﹣4) (x﹣4)>0,其中 k∈R. (1)当 k=1 时,求不等式的解集; (2)当 k 变化时,试求不等式的解集 A. 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)把 k=1 代入不等式化简后,直接求出不等式的解集即可; (2)先对 k 的取值分类讨论:当 k=0 时直接求出解集 A,当 k≠0 时把不等式化为: ,再分 k<0 和 k>0 分两种情况,当 k>0 时需要利用基本不 等式,判断出两个根的大小关系,此时还对 k 进行分类讨论,再分别求出解集 A. 解答: 解: (1)当 k=1 时,不等式为(x﹣5)?(x﹣4)>0,解得 x>5 或 x<4, 即解集是(﹣∞,4)∪(5,+∞) (4 分) (2)当 k 变化时,可对 k 的取值分类讨论: ①当 k=0 时,不等式为:﹣4(x﹣4)>0,解得 x<4,即 A=(﹣∞,4) (6 分) 当 k≠0 时,不等式可化为: ②当 k<0 时,不等式为 解得: ,即 ,且 (8 分) , ,即 k=2 时取等号,
2 2



③当 k>0 时,不等式为 又 ,当且仅当

所以当 k=2 时,不等式为(x﹣4) >0,解得 x≠4,则 A=(﹣∞,4)∪(4,+∞) (10 分) 当 k>0 且 k≠2 时, ,则 A═(﹣∞,4)∪( ,+∞) (12 分)

点评: 本题考查一元二不等式的解法,基本不等式,以及分类条论思想的应用,注意分类 讨论的标准,属于中档题. 21. (12 分)在数列{an}中,a1+a2+a3+…+an=n﹣an(n∈N ) . (1)求 a1,a2,a3 的值; (2)求证:数列{an﹣1}是等比数列; (3)设 bn=(2﹣n) (an﹣1) (n∈N ) ,如果对任意 n∈N ,都有
* * *

,求正整数 t 的最小值.

考点: 数列与不等式的综合;等比关系的确定. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)在递推公式中依次令 n=1,2,3 计算求解.

(2)由已知可得,Sn=n﹣an,当 n≥2 时,S n﹣1=(n﹣1)﹣an﹣1,an=Sn﹣Sn﹣1=1﹣an+an﹣1, 继而 an﹣1= (an﹣1﹣1) ,所以数列{bn}是等比数列, (3)由(2)得 (n∈N ) ,故
*

,用

作差比较法判断 {bn}的单调性,得出其最大值,令最大值小于 ,求正整数 t 的最小值. 解答: (1)解:由题意可知:当 n=1 时,a1=1﹣a1,解得: 同理可得:当 n=2 时,a1+a2=2﹣a2,解得: 当 n=3 时,a1+a2+a3=3﹣a3,解得: (2)证明:由已知可得,Sn=n﹣an, 当 n≥2 时,S n﹣1=(n﹣1)﹣an﹣1, an=Sn﹣Sn﹣1=1﹣an+an﹣1 an﹣1= (an﹣1﹣1) , 即当 n≥2 时,bn= bn﹣1,b1=a1﹣1= ≠0

所以数列{bn}是等比数列,其首项为﹣ ,公比为 . (3)由(2)可知{an﹣1}为等比数列,则 解得: 显然 (n∈N ) ,故 ,b2=0,当 n≥3 时,bn>0
*

则当 n≥3 时, 由此可得:当 n≥4 时,数列{bn}为单调递减数列,则 b3=b4=max{bn} 因此?n∈N ,都有 解得:
*

,则

,即正整数 t 的最小值为 1.

点评: 本题主要考查由递推公式推导数列的通项公式,考查等比数列的判定、通项公式求 解,数列的函数性质,考查变形构造、转化、计算能力.

22. (12 分)已知 y=f(x) , 3 (Ⅰ)当 n∈N 时求 f(n)的表达式; (Ⅱ)若 b1=1,bn+1=
*

,对任意实数 x,y 满足:f(x+y)=f(x)+f(y)﹣

,求 bn;

(Ⅲ)记

,试证 c1+c2+…+c2014<89.

考点: 数列的求和;抽象函数及其应用. 专题: 函数的性质及应用;等差数列与等比数列. 分析: (I)令 x=y= ,则 f(1)=2 数列的通项公式即可得出. (II) 由 bn+1= 用“累加求和”即可得出. (III)cn= = .可得 = ,放缩利用“累加 , 取倒数可得 =2n+1. 利 ﹣3=5.可得 f(n+1)﹣f(n)=2.利用等差

求和”即可得出. 解答: (I)解:令 x=y= ,则 f(1)=2 ∴f(n+1)﹣f(n)=5﹣3=2. ∴f(n)=f(1)+2(n﹣1)=2n+3. (II)解:∵bn+1= ∴ ∴ = + (n∈N ) . = .∵ = ,
*

﹣3=2×4﹣3=5.

,∴

=2n+1. =1+3+5+…+(2n﹣1)=n .
2

+

+…+

(III)证明:cn=

∴c1+c2+…+c2014<1+ +2 +…+ = ﹣1<2×45﹣1=89. 点评: 本题考查了抽象函数的性质、等差数列的通项公式、“累加求和”,考查了放缩法、不 等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于难题.


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