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高等数学(上册)教案25 定积分在几何上的应用


第 5 章 定积分及其应用
定积分在几何上的应用
【教学目的】 : 1. 理解掌握定积分的微元法; 2. 会用微元法计算平面图形的面积。 【教学重点】 : 1. 用微元法计算平面图形的面积。 【教学难点】 : 1. 用微元法计算平面图形的面积。 【教学时数】 :2 学时 【教学过程】 : 5.4.1 微元法 求曲边梯形面积的过程简化为三步. 第一步,选取积分变量 x ,并确定其变化范围 [a, b] ; 第二步, 求微元, 取曲边梯形面积 A 在任一小区间 [ x, x ? dx] 上的部分量 ?A 的近似值, 即 ?A ? f ( x)dx .如图 5-11. f ( x)dx 叫做面积微元, 记为 dA ? f ( x)dx . 第三步,列积分,即曲边梯形面积为

A ? ? f ( x)dx ,
a

b

这种方法通常叫做微元法,其一般步骤如下: (1)根据问题的具体情况,选取一个变量例如 x 为积分变量,并确定它的 变化区间 [a, b] ; (2) 任取其中的一个小区间 [ x, x ? dx] , 在区间 [ x, x ? dx] 上把部分量 ? U 近 似为一个连续函数在 x 处得值 f ( x) 与 dx 的乘积,找到 U 的微元 dU ,即 ?U ? dU ? f ( x)dx ; (3)以 f ( x)dx 为被积表达式,在 [a, b] 上作定积分,得

U ? ? dU ? ? f ( x)dx .
a a

b

b

如何求微元是解决问题的关键,要分析问题的实际意义及数量关系,一般可 在局部 [ x, x ? dx] 上,按“常代变” 、 “匀代不匀” 、 “直代曲”的思路(局部线性 化) ,写出所求量的近似值,即微元 dA ? f ( x)dx . 5.4.2 平面图形的面积 1、 y ? f ( x) , x ? a , x ? b 所围区域面积 由前面的讨论可知, 如果 f ( x) ? 0 , 则曲线 y ? f ( x) 与直线 x ? a, x ? b 及 x 轴 所围成的平面图形的面积 A 的微元 dA ? f ( x)dx ; 如果 f ( x) ? 0 ,则它的面积微元 dA ? ?f ( x) ? dx ,(见图 5-12), 从而

A ? ? | f ( x) | dx .
a

b

1 ○

图 5-12

图 5-13

例 1 求曲线 y ? x3 与直线 x ? ?1, x ? 2 及 x 轴所围成的平面图形的面积 (如图 5-13) 解 选 x 为积分变量,则积分区间为 [?1, 2] 面积微元 dA ?| x 3 | dx , 从而 A ? ? | x | dx ? ? (? x )dx ? ?
3 3 ?1 ?1 2 0 2 0

x4 x dx ? ? 4
3

0

x4 ? 4 ?1

2

?
0

1 16 17 ? ? . 4 4 4

2、由 f ( x), g ( x) , x ? a , x ? b 所围平面图形面积(如图 5-14) 设 f ( x), g ( x) 是 [a, b] 上的两条连续曲线( f ( x) ? g ( x) ),由这两条曲线及 直线 x ? a, x ? b 所围成的平面图形的面积 A 的微元总可以表示为 dA ? [ f ( x) ? g ( x)]dx , 从而

A ? ? [ f ( x) ? g ( x)]dx .
a

b

3、由 ? ( y),? ( y), y ? c, y ? d 所围平面图形面积(如图 5-15) 设 ? ( y ),? ( y) 是 [c, d ] 上的两条连续曲线( ? ( y) ? ? ( y) ),由这两条曲线及 直线 y ? c, y ? d 所围成的平面图形的面积 A 的微元总可以表示为 dA ? [? ( y) ?? ( y)]dy 从而

A ? ? [? ( y) ?? ( y)]dy c y
d

d

y ? dy

y
O

x
x ? ? ( y) x ? ? ( y)

图 5-14

c
图 5-15

例 2 计算由抛物线 y 2 ? x, y ? x 2 所围成的平面图形的面积.

?y2 ? x 解 如图 5-16,由方程组 ? 确定两条抛物线 2 ?y ? x

的交点为 (0, 0), (1, 1) , 选 x 为积分变量,则积分区间为 [0,1] 任取子区间 [ y, y ? dy] , 则得到面积微元 dA ? ( x ? x2 )dx ,从而,

A ? ? ( x ? x2 )dx
0

1

2 x3 2 x3 2 1 1 ? ? ? ? ? . 3 0 3 0 3 3 3

1

1

图 5-16

在计算平面图形的面积时,恰当的选择积分变量有利于问题的解决. 例 3 计算由抛物线 y 2 ? 2x 与直线 y ? x ? 4 所围成的平面图形的面积. 解 如图 5-17,求解方程组

? y 2 ? 2x ,得抛物线与直线的交点 (2, ?2), ? ?y ? x ? 4

(8, 4) . 如果选取纵坐标 y 为积分变量,它的变化范围是 [?2, 4] ,任取子区间 1 [ y , y ? dy],则得到面积微元 dA ? ( x 2 ? x1 )dy ? ( y ? 4 ? y 2 )dy , 2
于是
1 1 A ? ? ( y ? 4 ? y 2 )dy ? y 2 ?2 2 2
4 4 ?2

? 4 y ?2

4

1 ? y3 6

4

? 18 .
?2

如果选取横坐标 x 为积分变量,面积微元的表达式就不唯一了,从而计算定 积分比上式复杂.读者不妨自己试试.

图 5-17

图 5-18

例 4 求由曲线 xy ? 2 与直线 x ? y ? 3 所围图形的面积.?

2 ? ?y ? 解 这个图形如图 5-18 所示.若选 x 为积分变量;解方程组 ? x 可解得 ? ?y ? 3 ? x x1 ? 1, x2 ? 2 ;积分区间为 [1, 2]
2 x2 3 ? 2 ln x) ? ? 2 ln 2 . 所以, A ? ? [(3 ? x) ? ]dx ? (3x ? 1 x 2 2 1
2 2

由此可见,选取合适的积分变量,可以为计算带来简便. x2 y2 例 5 求椭圆 2 ? 2 ? 1 所围成的图形面积. a b 解 因为所求平面图形关于 x 轴、 y 轴对称,

图 5-19

如图 5-19. 所以,椭圆面积是它在第一象 限部分的面积的 4 倍,即 A ? 4? ydx ,将
0 a

x ? a cos t , y ? b sin t 代入积分式,由定积分的换 元积分法,得
A ? 4? ydx ? 4?
0 a 0

? /2

b sin t (?a sin t )dt ? 4ab ?
? 2

? /2

0

sin 2 tdt ? 4ab ?

? /2

0

1 (1 ? cos 2t )dt 2

1 1 = 4ab ? ? (t ? sin 2t ) 2 2 0

? 2ab ?

?
2

? ? ab .

特别,当 a ? b ? R 时,就是圆的面积公式 A ? ?R 2 . 【教学小节】 : 通过本节的学习,掌握定积分的换元积分与分部积分法,并进一步掌握定积 分的综合运算技巧。理解定积分的微元法,并学会应用其就散平面图形面积。 【课后作业】 : 能力训练 P143

3(2、7、13、14)


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