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高中数学第二讲证明不等式的基本方法一比较法同步配套教学案新人教A版选修4 5(数学教案)

一 比_较_法 对应学生用书 P18 1.作差比较法 (1)作差比较法的理论依据 a-b>0?a>b,a-b<0?a<b,a-b=0?a=b. (2)作差比较法解题的一般步骤:①作差;②变形整理,③判定符号,④得出结论. 其中变形整理是解题的关键, 变形整理的目的是为了能够直接判定差的符号, 常用的手 段有:因式分解,配方,通分,分子或分母有理化等. 2.作商比较法 (1)作商比较法的理论依据是不等式的基本性质: ①b>0,若 >1,则 a>b;若 <1 则 a<b; ②b<0,若 >1 则 a<b;若 <1 则 a>b. (2)作商比较法解题的一般步骤:①判定 a,b 符号;②作商;③变形整理;④判定与 1 大小关系;⑤得出结论. a b a b a b a b 对应学生用书 P18 作差比较法证明不等式 [例 1] 已知正数 a,b,c 成等比数列.求证:a -b +c ≥(a-b+c) . [思路点拨] 作差→变形→判定符号→结论 证明:因为正数 a,b,c 成等比数列, 所以 b =ac,b= ac, (a -b +c )-(a-b+c) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =a -b +c -a -b -c +2ab-2ac+2bc =2ab-4b +2bc=2b(a-2b+c) =2b( a- c) ≥0. 2 2 1 所以 a -b +c ≥(a-b+c) . 2 2 2 2 (1)作差比较法中,变形具有承上启下的作用,变形的目的在于判断差的符号,而不用 考虑差能否化简或值是多少. (2)变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有 效的恒等变形的方法. (3)因式分解是常用的变形手段,为了便于判断“差式”的符号,常将“差式”变形为 一个常数,或几个因式积的形式,当所得的“差式”是某字母的二次三项式时,常用配方法 判断符号.有时会遇到结果符号不能确定,这时候要对差式进行分类讨论. 1.求证:a +b ≥2(a-b-1). 证明:a +b -2(a-b-1) =(a-1) +(b+1) ≥0, ∴a +b ≥2(a-b-1). 2.已知 a,b∈R+,n∈N+, 求证:(a+b)(a +b )≤2(a n n n n n+1 2 2 2 2 2 2 2 2 +b n+1 ). ) 证明:∵(a+b)(a +b )-2(a =a n+1 n+1 +b n+1 +ab +ba +b n n n n n+1 -2a n+1 -2b n+1 =a(b -a )+b(a -b ) =(a-b)(b -a ). (1)若 a>b>0 时,b -a <0,a-b>0, ∴(a-b)(b -a )<0. (2)若 b>a>0 时,b -a >0,a-b<0. ∴(a-b)(b -a )<0. (3)若 a=b>0 时,(b -a )(a-b)=0. 综上(1)(2)(3)可知,对于 a,b∈R+,n∈N+,都有(a+b)(a +b )≤2(a n n n +1 n n n n n n n n n n n n n n +b n+1 ). 作商比较法证明不等式 2 [例 2] 设 a>0,b>0,求证:a b ≥(ab) a b a+b 2 . [思路点拨] 不等式两端都是指数式,它们的值均为正数,可考虑用求商比较法. [证明] ∵a b >0,(ab) ∴ a b a?b 2 a?b 2 >0, =? ? b aabb ab a?b 2 =a a?b 2 ·b ?a? ? ? a?b 2 . ?a? 当 a=b 时,显然有? ? ?b? a?b 2 =1; a?b 2 a a-b ?a? 当 a>b>0 时, >1, >0,所以由指数函数单调性,有? ? b 2 ?b? 当 b>a>0 时,0< <1, >1; a?b 2 a b a-b 2 <0,所以由指数函数的单调性,有? ? b a b ?a? ? ? >1. 综上可知,对任意实数 a,b,都有 a b ≥(ab) a?b 2 . 当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时, 常采用作商比较法, 用作商比较法时, 如果需要在不等式两边同乘某个数,要注意该数的正负,且最后结果与 1 比较. 3.设 a>b>0,求证: 证明:法一: = = a2-b2 a-b > . a2+b2 a+b a2-b2 a-b - a2+b2 a+b 2 a-b a+b a2+b2 - a +b a+b 2 2 2ab a-b >0, a2+b2 a+b 所以原不等式成立. 法二:∵a>b>0,故 a >b >0. 故左边>0,右边>0. ∴ 左边 a+b 2ab = 2 =1+ 2 >1. 右边 a +b2 a +b2 2 2 2 ∴原不等式成立. 3 4.若 a>0,b>0,c>0,求证:a b c ≥(abc) a b c a+ b+ c 3 . 证明:不妨设 a≥b≥c≥0,那么由指数函数的性质,有 ?a? ?b? ? ? 所以 a -b 3 ?b? ≥1,? ? ?c? a+ b+ c 3 a -b 3 b-c 3 ?c? ≥1,? ? ?a? b c -a 3 ≥1. c-a c-b ? 3 3 aabbcc abc =a a -b a -c ? 3 3 b-c b-a ? 3 3 c ?a? =? ? ?b? ?b? ·? ? ?c? b-c 3 ?c? ·? ? ?a? b-c 3 ≥1. ∴原不等式成立. 比较法的实际应用 [例 3] 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点,甲有一半时间以速度 m 行走, 另一半以速度 n 行走;乙有一半路程以速度 m 行走,另一半路程以速度 n 行走

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