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2015年高考数学试题分类汇编-----专题五(解三角形)


2015 年高考数学试题分类汇编-----专题五(解三角形) 答案解析
1.(15 北京理科)在 △ ABC 中, a ? 4 , b ? 5 , c ? 6 ,则 【答案】1 【解析】
sin 2 A ? sin C



sin 2A 2 sin A cos A 2a b 2 ? c 2 ? a 2 ? ? ? 试题分析: sin C sin C c 2bc

?

2 ? 4 25 ? 36 ? 16 ? ? 1 6 2?5?6
2? ,则 ?? ? . 3

考点:正弦定理、余弦定理 2.(15 北京文科)在 ???C 中, a ? 3 , b ? 【答案】 【解析】 试题分析: 由正弦定理, 得

6 , ?? ?

?
4

3 6 2 a b ? , 即 , 所以 sin B ? , 所以 ?B ? . ? ? 2 sin A sin B 4 3 sin B 2

考点:正弦定理.

B, C 的对边分别为 a , b, sin B ? c, 3. (15 年广东理科) 设 ?ABC 的内角 A , 若a ? 3,

1 , 2

C?

π ,则 b ? 6

【答案】1 .

【考点定位】本题考查正弦定理解三角形,属于容易题. 4. (15 年广东文科) 设 的内角 , , 的对边分别为 , , . 若 , ,

,且

,则

()

A.

B . C.

D.

【答案】B 【解析】 试题分析:由余弦定理得: ,所以

, 即 所以 ,故选 B.

, 解得:



, 因为



考点:余弦定理.

A? 5.(15 年安徽理科) 在 ?ABC 中,
求 AD 的长。 【答案】 10 【解析】

?
4

AD ? BD , , AB ? 6, AC ? 3 2 ,点 D 在 BC 边上,

试题分析:根据题意,设出 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别是 a, b, c ,由余弦定理求 出 a 的长度,

考点:1.正弦定理、余弦定理的应用.

6.(15 年安徽文科)在 ?ABC 中, AB ? 【答案】2 【解析】

? ? 6 , ?A ? 75 , ?B ? 45 ,则 AC ? 。

试 题 分 析 : 由 正 弦 定 理 可 知 :

AB AC ? ? ? sin[180 ? (75 ? 45 )] sin 45?
?

?

6 AC ? ? AC ? 2 ? sin 60 sin 45?

考点:正弦定理. 7. (15 年福建理科) 若锐角 ?ABC 的面积为 10 3 , 且 AB ? 5, AC ? 8 , 则 BC 等于________. 【答案】 7 【解析】

试题分析: 由已知得 ?ABC 的面积为

1 3 AB ? AC sin A ? 20sin A ? 10 3 , 所以 sin A ? , 2 2

A ? (0, ) , 所 以 A ? . 由 余 弦 定 理 得 BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC cos A ? 49 , 2 3

?

?

BC ? 7 .
考点:1、三角形面积公式;2、余弦定理.
0 0 8.(15 年福建文科)若 ?ABC 中, AC ? 3 , A ? 45 , C ? 75 ,则 BC ? _______.

【答案】 2 【解析】
0 0 试 题 分 析 : 由 题 意 得 B ? 180 ? A ? C ? 60 . 由 正 弦 定 理 得

AC BC ? ,则 sin B sin A

BC ?

AC sin A , sin B

所以 BC ?

3? 3 2

2 2 ? 2.

考点:正弦定理. 9.(15 年新课标 1 理科)

10. (15 年新课标 2 理科) ?ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠BAC,?ABD 是?ADC
面积的 2 倍。 (Ⅰ)求

sin ?B ; sin ?C

(Ⅱ)若 AD =1, DC =

2 求 BD 和 AC 的长. 2

11.(15 年新课标 2 文科)△ABC 中 D 是 BC 上的点,AD 平分 ? BAC,BD=2DC. (I)求

sin ?B ; sin ?C

? (II)若 ?BAC ? 60 ,求 ? B .

【答案】 (I)

1 ? ; 30 . 2

考点:解三角形 12.(15 年陕西理科) ??? C 的内角 ? ,? ,C 所对的边分别为 a ,b ,c . 向量 m ? a, 3b

?

? 与 n ? ? cos ?,sin ?? 平行.
(I)求 ? ; (II)若 a ?

?

?

7 , b ? 2 求 ??? C 的面积.

【答案】 (I)

? 3 3 ; (II) . 3 2

试题解析: (I)因为 m //n ,所以 a sin B 由正弦定理,得 sinAsinB-

? ?

3b cos A = 0 ,

3sinBcos A = 0

又 sin ? ? 0 ,从而 tan A = 3 , 由于 0 ? A ? ? ,所以 A ?

?
3

2 2 2 (II)解法一:由余弦定理,得 a = b + c - 2bc cos A

而 a = 7 b = 2, ? ?

?
3

2 2 得 7 = 4 + c - 2c ,即 c - 2c - 3 = 0

因为 c > 0 ,所以 c = 3 . 故 ? ABC 的面积为

1 3 3 bcsinA = . 2 2

考点:1、平行向量的坐标运算;2、正弦定理;3、余弦定理;4、三角形的面积公式. 13.(15 年陕西文科) ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,向量 m ? (a, 3b) 与

??

? n ? (cos A,sin B) 平行.
(I)求 A ; (II)若 a ? 7, b ? 2 求 ?ABC 的面积. 【答案】(I) A ?

?
3

;(II)

3 3 . 2

试题解析:(I)因为 m // n ,所以 a sin B ? 3b cos A ? 0 由正弦定理,得 sin Asin B ? 3sin B cos A ? 0 , 又 sin B ? 0 ,从而 tan A ? 由于 0 ? A ? ? 所以 A ?

??

?

3,

?
3

(II)解法一:由余弦定理,得

a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,而 a ? 7, b ? 2 , A ?
2 2 得 7 ? 4 ? c ? 2c ,即 c ? 2c ? 3 ? 0

?
3



因为 c ? 0 ,所以 c ? 3 , 故 ?ABC 面积为

1 3 3 bc sin A ? . 2 2
7 sin ? 2 sin B

解法二:由正弦定理,得

?
3

从而 sin B ?

21 7 2 7 7

又由 a ? b 知 A ? B ,所以 cos B ?

故 sin C ? sin( A ? B ) ? sin( B ?

?
3

)

? sin B cos

?
3

? cos B sin

?
3

?

3 21 , 14

所以 ?ABC 面积为

1 3 3 ab sin C ? . 2 2

考点:1.正弦定理和余弦定理;2.三角形的面积. 14.(15 年天津理科)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 ?ABC 的面

积为 3 15 , b ? c ? 2, cos A ? ? , 则 a 的值为. 【答案】 8 【解析】 试题分析:因为 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? 1 ? cos2 A ?

1 4

15 , 4

又 S?ABC ?

?b ? c ? 2 1 15 得 b ? 6, c ? 4 , bc sin A ? bc ? 3 15,? bc ? 24 ,解方程组 ? 2 8 ?bc ? 24

由余弦定理得

? 1? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 62 ? 42 ? 2 ? 6 ? 4 ? ? ? ? ? 64 ,所以 a ? 8 . ? 4?
考点:1.同角三角函数关系;2.三角形面积公式;3.余弦定理. 15. (15 年天津文科) △ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知△ABC 的面积为 3 15 ,

1 b ? c ? 2, cos A ? ? , 4
(I)求 a 和 sinC 的值; (II)求 cos ? 2 A ?

? ?

??

? 的值. 6? 15 15 ? 7 3 ; (II) . 8 16

【答案】 (I)a=8, sin C ? 【解析】

考点:1.正弦定理、余弦定理及面积公式;2 三角变换.


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