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高二数学概率的基本性质


3.1.3 概率的基本性质

课前回顾
概率的概念: 对于给定的随机事件A,由于事件A发 生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳 定于概率P(A)因此可以用频率fn(A)来 估计概率P(A)

频率与概率的区别与联系
(1)频率是概率的近似值,随着实验次数的增加, 频率会越来越接近概率,在实际问题中,通 常事件的概率未知,常用频率作为它的估计 值。 (2)频率本身是随机的,在实验前不能确定。作 同样次数的重复实验得到事件的频率会不同. (3) 概率是一个确定的数,是客观存在的,与每 次实验无关

讨论:
(2)在掷骰子 的实验中,可以定义许多事件,如: C1=[出现1点];C2={出现2点};C3={出现3点}; C4={出现4点};C5={出现5点};C6={出现6点};

(1)集合有相等、包含关系,如{1,3}={3,1},{2,4}С{2,3, 4,5}等

D1={出现的点数不大于1];D2={出现的点数大于3}; D3={出现的 点数小于5};
E={出现的点数小于7}; F={出现的点数大于6};

G={出现的点数为偶数}; G={出现的点数为奇数};…………….. 观察上例,类比集合与集合的关系、运算,你能发现事件的关系 与运算吗?

?事件的关系与运算
(1)一般地,对于事件A与B,如果事件A发生,则 事件B发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A 包含于事件B),记作B?A(A?B).可用围恩图表示 如下:

B

A

不可能事件记作? ,C? ? (C为任 一事件)。 事件A也包含于事件A本身,即A ?A

? 那么称事 (2)一般地,若B ? A ,且A B, 件A与事件B相等记作A =B,比如:事件 C1=D1

(3)若某事件发生当且仅当事件A发生 或事件B发生,称此事件为事件与B的并事 件(或和事件),记作A∪B(或A+B)。例 如:事件C1∪C4={出现1点或4点}

(4)若某事件发生当且仅当事件A事件B发生, 则称此事件为事件与事件B的交事件(或积事 件)记作A∩B(或AB)

A

A∩B

B

(5)若A∩B为不可能事件( A∩B = ?)。那么 称事件A与事件B互斥,即事件A与事件B在任何一 次实验中不会同时发生

? A A

B

若A∩B为不可能事件, A∪B为必然事件, 那么称事件A与事件B互为对立事件,即事 件A与事件B在任何一次实验中 有且仅有一 个发生,

1、 例题分析:
例1 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪 些是互斥事件?哪些是对立事件?
事件A:命中环数大于7环 事件B:命中环数为10 环; 事件C:命中环数小于6环; 事件D:命中环数为6、7 、 8 、9、10环. 分析:要判断所给事件是对立还是互斥,首先将两 个概念的联系与区别弄清楚,互斥事件是指不可能同 时发生的两事件,而对立事件是建立在互斥事件的基 础上,两个事件中一个不发生,另一个必发生。 解:A与C互斥(不可能同时发生),B与C互斥,C与 D互斥,C与D是对立事件(至少一个发生).

二、概率的几个基本性质
(1)、对于任何事件的概率的范围是: 0≤P(A)≤1

其中不可能事件的概率是P(A)=0
必然事件的概率是P(A)=1

不可能事件与必然事件是一般事件的特殊 情况

(2)、当事件A与事件B互斥时,A∪B的频 率
fn(A∪B)= fn(A)+ fn(B) 由此得到概率的加法公式: 如果事件A与事件B互斥,则

P(A∪B)=P(A)+P(B)
(3)、特别地,当事件A与事件B是对立事件 时,有 P(A)=1- P(B) 利用上述的基本性质,可以简化概率的计算

例如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机的抽取 一张,那么取到红心(事件A)的概率是1/4,取到 方片(事件B)的概率是1/4,问: (1)取到红色牌(事件C)的概率是多少? (2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少? 解(1)因为C= A∪B,且A与B不会同时发生,

所以A与B是互斥事件,根据概率的加法公式, 得 P(C)= P(A)+ P(B)=1/2。

(2) C与D也是互斥事件,又由于C∪D为必 然事件,所以C与D互为对立事件,所以
P(D)=1- P(C)= ?,

1、如果某人在某比赛(这种比赛不会 出现“和”的情况)中获胜的概率是 0.3,那么他输的概率是多少? 0.7 2、利用简单随机抽样的方法抽查了某 校200名学生。其中戴眼镜的学生有 123人。如在这个学校随机调查一名学 生,问他的戴眼镜的概率近似多少? 0.615

?3、某工厂为了节约用电,规定每天的用 电量指标为1000千瓦时,按照上个月的用 电记录,30天中有12天的用电量超过指标, 若第二个月仍没有具体的节电设施,试求 该月第一天用电量超过指标的概率近似值

解:0.4

? 4、一个人打靶时连续射击两次,事件“至少 ?D 有一次中靶”的互斥事件是( ) ? (A)至少有一次中靶。(B)两次都中靶。 ? (C)只有一次中靶。 (D)两次都不中靶。 ? 5、把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、 乙、丙、丁4个人,每人分得一张,事件“甲 ?B 分得红牌”与事件“乙分得红牌”是( ) ? (A)对立事件 。 (B)互斥但不对立事件。 ? (C)不可能事件 。( D)以上都不是。

?4、课堂小结: ?概率的基本性质:1)必然事件概率为1,不可能 事件概率为0,因此0≤P(A)≤1;2)当事件A与B互 斥时,满足加法公式:P(A∪B)= P(A)+ P(B);3) 若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事件,所 以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1,于是有P(A)=1—P(B); 3)互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件 是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生,其 具体包括三种不同的情形:(1)事件A发生且事件 B不发生;(2)事件A不发生且事件B发生;(3) 事件A与事件B同时不发生,而对立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生,其包括两种情形; (1)事件A发生B不发生;(2)事件B发生事件A 不发生,对立事件互斥事件的特殊情形。

作业
P116T2

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?我本人的小学教师——陈先生,因把给上班族们拿书,所骑小型直升飞机与一台货车相互碰撞,未曾后来也不想着所读书教书了。感到高 兴的是,陈先生当前已无大碍。先前,咱一帮小鬼不清楚顽皮在最后地步,给陈先生起的外号是“老赵”。到当前,我依然是貌似格外明 晰,最困难的是咱实际上不情愿流言数量不等的事了,说到“老赵”,有不少说不出的关于读书的快乐记忆。在关注三四年级的2011年, 又来了一个先生,他姓施,因而咱给施先生的外号为“老施“。 ?定做村,因刚下过短时间的雨,路不是好走。虽然说如此,也阻挠不上我本人的执行。这几天,经历时好多块麦地,麦子先前开端泛黄, 收割的时节行将来到。对我的话,那一条路再熟习不历时。上读书的2011年,可惜常常来回走。走在那一条熟习的家里,多项往事的点滴 涌上了我本人的心头,我本人的思绪开端感到有些错乱。但我很分明,当前不是深思熟虑数量不等的事的2011年,由此我又一不小心就很 轻易苏醒了起来。我清楚,我也猜疑,在好的将来的某每日,我会每年去思索和回想几乎每天都是那么多不同类型的原创内容多的先前与 往事,我会让在下有充足的精力和时间去回味和兄弟你也太快了吧。

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