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七宝中学2014年高三年级第一学期期中数学试卷

七宝中学 2014 年高三年级第一学期期中数学试卷
2014,11 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接 填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知集合 A ? ?m y ?

? ?

12 ? ? N , m ? N ? ,用列举法表示集合 A , A ? ____________ . m ?

2. 函数 f ( x) ? cos(2 x ? ? ) 的图像向左平移 3.函数 y ? log 3 (

?
3

? 单位后为奇函数, 则 ? 的最小正值为 3
_____.

.

? arccos(2 ? x)) 的定义域为_____

4. 已知集合 A ? {z bi ? z ? bi ? z ? 2 ? 0, b ? R, z ? C} , 若A B ? {z z ? 1, z ? C}, 则 b 的取值范围是 .
2

B ? ?,

, x? R ,B ? 5. 已知集合 A ? y y ? a x ?3 x?1, a? R
6.函数 y ? f ? x? 的反函数为 y ? f 若, B ? A ,则 a 的取值范围 .
?1

?

?

?

x y? 3 ? x?2 x? 1, x? R ,

?

? x? ,如果函数 y ? f ? x ? 的图像过点 ? 2, ?2? ,那么
.

函数 y ? f ?1 ? ?2x ? ? 1 的图像一定过点

7.如图 A, B, C 是球面上三点, 且 OA, OB, OC 两两垂直, 若 P 是球 O 的大 圆所在弧 BC 的中点,则直线 AP 与 OB 所成角的大小为 8.无穷数列 ? . .
C D A B

n? ? ?1 sin ? 前 n 项和的极限为 n 2 ? ?3

D 在斜边 BC 上, ?A ? 90 ,AB ? 3 , 9.如图, 在 ?ABC 中, 且 CD ? 2 DB ,
则 AB ? AD 的值为 10.解方程 x
x log3 log3 a

.

?

x , x ? __________ a

2

11.(理)直线 l 的参数方程是 ? 是

? x ? ?1 ? 2t , (t ? R, t 是参数),试写出直线 l 的一个方向向量 ? y ? 2 ? 3t

.(答案不唯一)

? x ? y, ? ( 文 ) 已知实数 x、 y 满足线性约束条件 ? x ? y -1 ? 0, 则目标函数 z ? 2 x ? y ? 1 的最大值 ? y ? 0. ?
是 .

12.(理)函数 f ( x) ? x 2 ? cos x , x ? ?? 是 .

? ? ? ?? , ? ,则满足 f (2 x ) ? f ( ) 的 x 的取值范围 3 ? 2 2?

0] 上为减函数,则不等式 (文)若 f ( x) 是定义在 (?4, 4) 上的奇函数,且在 (?4, f ( x ? 2) ? f (4 ? x) ≤0 的解集为
.

13 . ( 理 ) 已 知 三 个 实 数 a, b, c 成 等 比 数 列 , 且 满 足 a ? b ? c ? 2 , 则 b 的 取 值 范 围 是 . (文)在等差数列 ?a n ? 中, a1 ? a2 ? a3 ?
2 2 2 的最小值为 _____. ? a9 ? 36 ,则 a2 ? a5 +a8
2 2

14.(理) (理)当 a 和 b 取遍所有实数时, f (a, b) ? (2a ? 5 ? cos b ) ? (2a ? sin b ) 的最 小值为 (文)若 y ? .

x 2 ? 6 x ? 25 ? x 2 ? 4 x ? 13 ,则 y 的最小值为

.

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.

“x ? 1 ? 0” 15. 是 “( x ? 1)( x ? 2) ? 0” 的……………………………………………(

) .

A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也非必要条件
16. x1、x2 是方程 x ? (a ? 2) x ? (a ? 3a ? 5) ? 0 ( a 为实数)的二实根,则 x12 ? x12 的最
2 2

大值为………………………………………………………………………………(

) .

A. 20

B .19

C .18

D . 不存在

17 .函数 f ( x) 的图像无论经过怎样平移或沿直线翻折,函数 f ( x) 的图像都不能与函数

y ? log 1 x 的图像重合,则函数 f ( x) 可以是…………………………………(
2

) .

1 A . y ? ( )x 2

B . y ? log2 (2 x)

C . y ? log2 ( x ? 1)

D . y ? 22 x ?1

18. (理)对于定义在 R 上的函数 f ( x) ,有下述命题: ①若 f ( x) 是奇函数,则 f ( x ? 1) 的图像关于点 A(1,0)对称; ②若函数 f ( x ? 1) 的图像关于直线 x ? 1 对称,则 f ( x) 为偶函数; ③若对 x ? R ,有 f ( x ? 1) ? ? f ( x), 则f ( x) 的周期为 2; ④函数 y ? f ( x ? 1)与y ? f (1 ? x) 的图像关于直线 x ? 0 对称. 其中正确结论有……………………………………………………………………( ) .

A.1个

B . 2个

C . 3个

D . 4个

(文)等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S7 ? S8 ? S6 ,则下列结论: ① a7 ? 0 ,② a8 ? 0 ,③ S13 ? 0 ,④ S14 ? 0 ,其中正确的结论有……………( ) .

A.1个

B . 2个

C . 3个

D . 4个

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19.(本题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? a ?

2 ,a?R . 2 ?1
x

判断函数 f (x) 的奇偶性,并说明理由;

20.(本题满分 14 分)本题共 2 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分. 甲、乙两地相距 1000km ,货车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过 80 km ,已知货车每 小时的运输成本(单位:元)由可变成本和固定成本组成,可变成本是速度平方的 固定成本为 a 元. (1)将全程运输成本 y (元)表示为速度 v (km / h) 的函数,并指出这个函数的定义域; (2)为了使全程运输成本最小,货车应以多大的速度行驶.

1 倍, 4

21. (本题满分 14 分)本题共 2 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 sn , a1 ? 1 且 s n ? s n ?1 ? a n ?1 ? (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? an ?是公比为

1 ,数列 ?bn ? 满足 b1 ? ?30 。 2

1 的等比数列,求 ?bn ? 前 n 项和 Tn 的最小值; 2

22.(本题满分 18 分)本题共 3 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分. 已知函数 f ( x), g ( x) 满足关系 g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? ? ) ,其中 ? 是常数. (1)设 f ( x) ? cos x ? sin x , ? ?

?
2

,求 g ( x) 的解析式;

(2)设计一个函数 f ( x) 及一个 ? 的值,使得 g ( x) ? 2cos x(cos x ? 3sin x) ; (3) a , b , c 分别为 ?ABC 的三个内角 A , B , C 对应的边长, a ? 2 ,若

g ( x) ? 2cos x(cos x ? 3sin x) ,且 x ?
b ? c 的取值范围.

A 时 g ( x) 取得最大值,求当 g ( x) 取得最大值时 2

23.(本题满分 18 分)本题共 3 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分. 已知函数

f ( x) ?| x ?

1 1 | ?| x ? |. x x
x

(1)作出函数 f ( x ) 的图像,并求当 x ? 0 时 a ? f ( x) 恒成立的 a 取值范围; (2)关于 x 的方程 kf ( x) ? 3kf ( x) ? 6(k ? 5) ? 0 有解,求实数 k 的取值范围;
2

(3)关于 x 的方程 取值范围.

f 2 ( x) ? m f ( x) ? n ? 0 ( m, n ? R )恰有 6 个不同的实数解,求 m 的

参考答案及评分标准 1. ?1, 2,3, 4,6,12? ; 3. ?1, ? ; 2.

2014.11

5? 6

? 3? ? 2? ? 9 ?

4. (?1,0)

(0,1)

5. ? ? , 0 ? ; 8 7.

? ?

6.

?1,3?
3 10
2 3

? ; 3

8.

9. 6 ; 11. (理) ? ?2,3?

10. a 或a 答案不唯一

(文) 1 (文) ? ?1,0? (文) 48

12. (理) ? ? , ? ? ? 4 6? 13. (理) [ ?2, 0)

? ?

? ? ?? ? ?
2 (0, ] 3

? , ? ? 6 4?

14. (理) 8

(文) 5 2

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答案纸的相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. B 16.C 17. D 18.(理)C(文)B 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 . 19. (本题满分 14 分)本题共 2 小题,第(1)小题 8 分,第(2)小题 6 分. 解: (1) y ? f ( x) 的定义域 R 关于原点中心对称 若 y ? f ( x) 为奇函数,则 f (0) ? 0 此时, f ( x) ? 1 ? ……………………………1 分 ………………………………3 分

? a ? 1,

2 2 ?1
x

? f ( ? x) ? 1 ?
又 f (1) ? a ?

2 2 ? 2x 2 ? 1 ? ? ?1 ? x ? ? f ( x) 满足…………………5 分 ?x x 2 ?1 1? 2 2 ?1

2 4 f ( ?1) ? a ? ,? f (?1) ? f (1) ……………………………6 分 , 3 3

?当a ? 1时 , f (x) 是奇函数;?当a ? 1时 , f (x) 是非奇非偶函数;………8 分

(2)任取 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ……………………………10 分

?a?

2 2 2 2 2(2 x1 ? 2 x2 ) ? a ? ………12 分 ? ? ? ? 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 2 x1 ? 1 2 x2 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x2 ? 1)

x1 ? x2 ? 0 ? 2 x1 ? 2 x2 , ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ………………………13 分
所以函数 f ( x ) 在 R 上单调递增 .………………………………………………14 分 20.(本题满分 14 分)本题共 2 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分.

1000 1 2 4a ( v ? a) ? 250(v ? ) v ? ? 0,80? ………………………6 分 v 4 v 1000 1 2 4a ( v ? a) ? 250(v ? ) v ? ? 0,80? , y 在 0,2 a ? (2) y ? ? 上递减,在 v 4 v
解: (1) y ?

?

?2 a, +? 上递增, (单调性结论 1 分,需给出证明 2 分) ………………………9 分 ?
y? 1000 1 2 4a ( v ? a ) ? 250(v ? ) ? 1000 a ,当且仅当 v ? 2 a 时等号成立…10 分 v 4 v

?

? 当 2 a ? 80 时,即 a ? 1600时,v ? 2 a,ymin ? 1000 a ……………………12 分
当 a ? 1600时,v ? 80,y min ? 20000 ?

25a ………………………………………14 分 2
1 ,数列 ?bn ? 满足 b1 ? ?30 。 2

21. (本题满分 14 分)本题共 2 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 sn , a1 ? 1 且 s n ? s n ?1 ? a n ?1 ? (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?bn ? an ?是公比为

1 的等比数列,求 ?bn ? 前 n 项和 Tn 的最小值; 2 1 1 解: (1) s n ? s n ?1 ? a n ?1 ? , an ? an ?1 ? ,……………………………………(2 分) 2 2 n ?1 an ? 所以 ?an ? 为等差数列 ……………………………………(6 分) 2 n ?1 1 n ?1 1 ? (?30 ? 1)( )n ?1 , bn ? ? 31( )n ?1 ,…………………………(8 分) (2) bn ? 2 2 2 2 因为 bn随n的增大而增大, …………………………(10 分) 409 …………(14 分 b 4 ? 0, b 5 ? 0, 所以, (Tn ) min ? T4 ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? ? 8
22.(本题满分 18 分)本题共 3 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分. 解: (1)? f ( x) ? cos x ? sin x , ? ?

?
2

? f ( x ? ? ) ? cos x ? sin x ;

? g ( x) ? cos2 x ……………………………………………………………4 分

(2)? g ( x) ? 2 cos x(cos x ? 3 sin x) ? 4 cos x cos( x ? 若 f ( x) ? 2cos x ,则 f ( x ? ? ) ? f ( x ?

?
3

),

?

??? ? ?

?

(取? ? 2k? ? 中一个都可以) , f ( x) ? 2cos x ……………10 分 3 3

?

) ? 2 cos( x ? ) ……………………8 分 3 3

?

(3) g ( x) ? 2 cos x(cos x ? 3 sin x) ? 2sin(2 x ? 因为且 x ? 且 A?

?

6

) ?1

?
6

A A 时取得最大值,? g ( ) ? g ( x) max ? 3 …………………12 分 2 2

? 2k? ?

?

2

, k ? Z ……………………………………………13 分

因为 A 为三 角形内角,所以 0 ? A ? ? ,所以 A ? 由正弦定理得 b ?

?
3

.……………………14 分

4 3 4 3 4 3 4 3 sin B ? sin C sin B , c ? sin C , b ? c ? 3 3 3 3

?

? 4 3 4 3 2? sin B ? sin( ? B) ? 4 sin( B ? ) ………………………………16 分 6 3 3 3
2? ? 1 ) ,? sin( B ? ) ? ( ,1] , b ? c ? (2 ,4 ] 3 6 2

? B ? (0 ,

所以 b ? c 的取值范围为 (2 ,4 ] ………………………………………………………18 分 23.(本题满分 18 分)本题共 3 小题,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分.

? 2 ? ? x x ? ? ??, ?1? ? ? ?2 x x ? ? ?1, 0 ? 解: (1)解: f ( x ) ? ? ? 2 x x ? ? 0,1? ?2 ? x ? ?1, ?? ? ?x
(作图如下: )

………………………………2 分

…………………………4 分 已知当 x ? 0 时 a ? f ( x) ,即 a x ? f ( x)max ? 2 ? a ? 2 …………………………6 分
x

(2) kf 2 ( x) ? 3kf ( x) ? 6(k ? 5) ? 0 ,令 f ( x) ? t ,则 t ? ? 0, 2? …………………7 分 即方程 k (t ? 3t ? 6) ? 30在t ? ? 0,2? 上有解…………………………………………8 分
2

当 t ? ? 0, 2? 时,

t 2 ? 3t ? 6 ? 0

?k ?

30 30 ? ? ? 5,8? t ? 3t ? 6 (t ? 3 )2 ? 15 ……………………………………………12 分 2 4
2

( 3 )关于 x 的方程

f 2 ( x) ? m f ( x) ? n ? 0( m, n ? R )恰有

6 个不同的实数解即

f 2 ( x) ? mf ( x) ? n ? 0 有 6 个不同的解,…………………………………………13 分
数形结合可知必有 f1 ( x) ? 2 和 f 2 ( x) ? t , t ? ? 0, 2? ………………………………14 分 令 u ? f ( x) ,则关于 u 的方程 g (u) ? u 2 ? mu ? n ? 0 有一根为 2,另一根在 ? 0, 2 ? 间 …………………………………………………………………………………………15 分

? 2m ? n ? 4 ? 0 ? g ?0? ? 0 ? ? ? m ? (?4, ?2) …………………………………………………18 分 ? m ? (0, 2) ? 2 ? 2 ? ? m ? 4n ? 0


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