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高中数学第二章统计2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征学案(含解析)新人教A版必修3

2.2.2

用样本的数字特征估计总体的数字特征

众数、中位数、平均数

现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中,各抽取 8 件产品,对其使用寿命 进行跟踪调查,其结果如下 (单位:年)
拼十年寒 窗挑灯 苦读不 畏难; 携双亲 期盼背 水勇战 定夺魁 。如果 你希望 成功, 以恒心 为 良友,以 经验为 参谋, 以小心 为兄弟 ,以希 望为哨 兵。

[提出问题]

甲:3,4,5,6,8,8,8,10 乙:4,6,6,6,8,9,12,13 丙:3,3,4,7,9,10,11,12 问题:三家广告中都称其产品的使用寿命为 8 年,利用初中所学的知识,你能说明为什 么吗? 提示:三个厂家是从不同角度进行了说明,以宣传自己的产品.其中甲:众数为 8 年, 乙:平均数为 8 年,丙:中位数为 8 年.

[导入新知] 众数、中位数、平均数的概念 (1)众数:一组数据中出现次数最多的数. (2)中位数:一组数据按大小顺序排列后,处于中间位置的数.如果个数是偶数,则取中 间两个数据的平均数. (3)平均数:一组数据的和除以数据个数所得到的数. [化解疑难] 三种数字特征的比较 名称 优点 ① 体现了样本数据的最大集中点; ② ②容易计算 ① 不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠 中位数 后的数据)的影响; ② ②容易计算,便于利用中间数据的信息 代表性较好,是反映数据集中趋势的量.一 平均数 般情况下,可以反映出更多的关于样本数据 全体的信息 任何一个数据的改变都会引起平均数 的改变.数据越“离群”,对平均数 的影响越大 对极端值不敏感 缺点 ① 它只能表达样本数据中很少的一 部分信息; ②无法客观地反映总体的特征

众数

-1-

方差和标准差 [提出问题] 甲、乙两名战士在相同条件下各射靶 10 次,每次命中的环数分别是: 甲:8,6,7,8,6,5,9,10,4,7; 乙:6,7,7,8,6,7,8,7,9,5. - - 问题 1:甲、乙两战士命中环数平均数 x 甲, x 乙各是多少? - - 提示: x 甲=7 环, x 乙=7 环. - - 问题 2:由 x 甲, x 乙能否判断两人的射击水平? - - 提示:由于 x 甲=7 环, x 乙=7 环,所以不能判断. 问题 3:观察上述两组数据,你认为哪个人的射击水平更稳定? 提示:从数字分布来看,甲命中的环数较分散,乙命中的环数较集中.故乙的射击水平 更稳定.

[导入新知] 标准差、方差的概念与计算公式 (1)标准差: 标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用 s 表示,s= 1

n

x1- x

2

+ x2- x

2

+…+ xn- x

2

].

(2)方差: 标准差的平方 s 叫做方差.
2

s2= [(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2], n
其中,xn 是样本数据,n 是样本容量, x 是样本平均数. [化解疑难] 对方差与标准差概念的理解 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离 散程度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小. (2)标准差、方差的取值范围:[0,+∞). 标准差、方差为 0 时,样本各数据全相等,表明数据没有波动幅度,数据没有离散性. (3)因为方差与原始数据的单位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以虽然方差与 标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的,但在解决实际问题时,一般多采用标准差.

1

-2-

众数、中位数、平均数的计算

[例 1] (1)已知一组数据按从小到大排列为-1,0,4, x,6,15, 且这组数据的中位数是 5, 那么数据的众数是________,平均数是________. (2)下面是某快餐店所有工作人员一周的收入表: 老板 6 000 元 大厨 900 元 二厨 700 元 采购员 800 元 杂工 640 元 服务生 640 元 会计 820 元

①计算所有人员的周平均收入; ②这个平均收入能反映打工人员的周收入的一般水平吗?为什么? ③去掉老板的收入后,再计算平均收入,这能代表打工人员的周收入的水平吗? [解] (1)∵中位数为 5, ∴ 4+x =5,即 x=6. 2

∴该组数据的众数为 6, -1+0+4+6+6+15 平均数为 =5. 6 1 (2)①周平均收入 x 1= (3 000+450+350+400+320+320+410)=750(元). 7 ②这个平均收入不能反映打工人员的周收入水平,可以看出打工人员的收入都低于平均 收入,因为老板收入特别高,这是一个异常值,对平均收入产生了较大的影响,并且他不是 打工人员. ③去掉老板的收入后的周平均收入

x 2= (450+350+400+320+320+410)=375(元).
这能代表打工人员的周收入水平. 答案:(1)6 5 [类题通法] 利用样本数字特征进行决策时的两个关注点 (1)平均数与每一个数据都有关,可以反映更多的总体信息,但受极端值的影响大;中位 数是样本数据所占频率的等分线,不受几个极端值的影响;众数只能体现数据的最大集中点, 无法客观反映总体特征. (2)当平均数大于中位数时,说明数据中存在许多较大的极端值;反之,说明数据中存在
-3-

1 6

许多较小的极端值. [活学活用] 从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶 图表示(如图所示).设甲、乙两组数据的平均数分别为 x 甲, x 乙,中位数分别为 m 甲,m 乙, 则( )

A. x 甲< x 乙,m 甲>m 乙 B. x 甲< x 乙,m 甲<m 乙 C. x 甲> x 乙,m 甲>m 乙 D. x 甲> x 乙,m 甲<m 乙 解析:选 B 由茎叶图知,甲的平均数为 (5+6+8+10+10+14+18+18+22+25+27+30+30+38+41+43)÷16=21.562 5, 乙的平均数为 (10 + 12 + 18 + 20 + 22 + 23 + 23 + 27 + 31 + 32 + 34 + 34 + 38 + 42 + 43 + 48)÷16=28.562 5, 所以 x 甲< x
乙.

甲的中位数为(18+22)÷2=20, 乙的中位数为(27+31)÷2=29, 所以 m 甲<m 乙. 标准差(方差)的计算及应用 [例 2] 从甲、乙两种玉米苗中各抽 10 株,分别测得它们的株高如下(单位:cm): 甲:25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙:27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 问:(1)哪种玉米苗长得高? (2)哪种玉米苗长得齐? [解] (1)∵ x 甲= 1 10 1 1 (25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)= ×300=30(cm), 10 10 1 10

x 乙= (27+16+44+27+44+16+40+40+16+40)= ×310=31(cm).

-4-

∴ x 甲< x 乙, 即乙种玉米苗长得高. (2)s甲=
2 2

1 2 2 2 2 2 2 [(25-30) +(41-30) +(40-30) +(37-30) +(22-30) +(14-30) +(19 10
2 2 2

-30) +(39-30) +(21-30) +(42-30) ] = 1 1 (25+121+100+49+64+256+121+81+81+144)= ×1 042=104.2, 10 10 1 10 1 10

2 2 2 2 2 s2 [(2×27 +3×16 +3×40 +2×44 )-10×31 ]= ×1 288=128.8, 乙=

∴s甲<s乙,即甲种玉米苗长得齐. [类题通法] 1.计算标准差的算法

2

2

2.标准差(方差)的两个作用 (1)标准差(方差)较大,数据的离散程度较大;标准差(方差)较小,数据的离散程度较小. (2)在实际应用中,常常把平均数与标准差结合起来进行决策.在平均值相等的情况下, 比较方差或标准差以确定稳定性. [活学活用] 1.(安徽高考)若样本数据 x1,x2,…,x10 的标准差为 8,则数据 2x1-1,2x2-1,…,2x10 -1 的标准差为( A.8 C.16 ) B.15 D.32
2

解析:选 C 已知样本数据 x1,x2,…,x10 的标准差为 s=8,则 s =64,数据 2x1-1,2x2 -1,…,2x10-1 的方差为 2 s =2 ×64,所以其标准差为 2 ×64=2×8=16,故选 C. 2.(广东高考)某工厂 36 名工人的年龄数据如下表. 工人编号 1 2 3 年龄 40 44 40 工人编号 10 11 12 年龄 36 31 38 工人编号 19 20 21 年龄 27 43 41 工人编号 28 29 30 年龄 34 39 43
2 2 2 2

-5-

4 5 6 7 8 9

41 33 40 45 42 43

13 14 15 16 17 18

39 43 45 39 38 36

22 23 24 25 26 27

37 34 42 37 44 42

31 32 33 34 35 36

38 42 53 37 49 39

(1)用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽 到的年龄数据为 44,列出样本的年龄数据. (2)计算(1)中样本的均值 x 和方差 s . (3)36 名工人中年龄在 x - s 与 x + s 之间有多少人?所占的百分比是多少 ( 精确到 0.01%)? 解:(1)36 人分成 9 组,每组 4 人,其中第一组的工人年龄为 44,所以它在组中的编号 为 2, 所以所有样本数据的编号为 4n-2(n=1,2,…,9), 其年龄数据为:44,40,36,43,36,37,44,43,37. 44+40+…+37 (2)由均值公式知: x = =40, 9 1 100 2 2 2 2 由方差公式知:s = [(44-40) +(40-40) +…+(37-40) ]= . 9 9 100 10 2 (3)因为 s = ,s= , 9 3 所以 36 名工人中年龄在 x -s 和 x +s 之间的人数等于年龄在区间[37,43]上的人数, 即 40,40,41,…,39,共 23 人. 23 所以 36 名工人中年龄在 x -s 和 x +s 之间的人数所占的百分比为 ×100%≈63.89%. 36
2

数字特征的综合应用 [例 3] 从高三抽出 50 名学生参加数学竞赛,由成绩得到如下的频率分布直方图.

-6-

由于一些数据丢失,试利用频率分布直方图求: (1)这 50 名学生成绩的众数与中位数; (2)这 50 名学生的平均成绩. [解] (1)由众数的概念可知,众数是出现次数最多的数.在直方图中高度最高的小长方 形的底边中点的横坐标即为所求,所以众数应为 75.

由于中位数是所有数据中的中间值,故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边 频数应相等,即频率也相等,从而就是小矩形的面积和相等.因此在频率分布直方图中将所 有小矩形的面积一分为二的垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标所对应的成绩即为所求. ∵0.004×10+0.006×10+0.02×10=0.04+0.06+0.2=0.3, ∴前三个小矩形面积的和为 0.3. 而第四个小矩形面积为 0.03×10=0.3,0.3+0.3>0.5, ∴中位数应约位于第四个小矩形内. 设其底边为 x,高为 0.03,∴令 0.03x=0.2 得 x≈6.7, 故中位数应约为 70+6.7=76.7. (2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”,即所有数据的平均值,取每个小矩形底 边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可. ∴平均成绩为 45×(0.004×10)+55×(0.006×10)+65×(0.02×10)+75×(0.03×10) +85×(0.021×10)+95×(0.016×10)=73.65. [类题通法] 众数、中位数、平均数与频率分布直方图的关系 众数 众数是最高长方形底边的中点所对应的数据,表示样本数据的中心值 ① 在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图面积相等,由此可以估计 中位数 中位数的值,但是有偏差; ② ②表示样本数据所占频率的等分线 平均数 ①平均数等于每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和; ②平均数是频率分布直方图的重心,是频率分布直方图的平衡点

[活学活用] 为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了 20 位工人某天生产该产品的数量得 到频率分布直方图如图,则

-7-

(1)这 20 名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是________. (2)这 20 名工人中一天生产该产品数量的中位数为________. (3)这 20 名工人中一天生产该产品数量的平均数为________.

解析:(1)(0.040×10+0.025×10)×20=13. (2)设中位数为 x,则 0.2+(x-55)×0.04=0.5,

x=62.5.
(3)0.2×50+0.4×60+0.25×70+0.1×80+0.05×90=64. 答案:(1)13 (2)62.5 (3)64

7.数字特征的计算失误 [典例] 对一组样本数据 xi(i=1,2,…,n),如将它们改为 xi-m(i=1,2,…,n),其 中 m≠0,则下面结论正确的是( A.平均数与方差都不变 B.平均数与方差都变了 C.平均数不变,方差变了 D.平均数变了,方差不变 [解析] 若 x1, x2, …, xn 的平均数为 x , 方差为 s , 则 ax1+b, ax2+b, …, axn+b(a≠0) 的平均数为 a x +b,方差为 a s ,标准差为 a s ,于是知道正确答案应为 D. [答案] D [易错防范] (1)本题易误认为样本数据变化了,则样本的平均数与方差也会随之改变,从而误选 B. (2)若 x1,x2,x3,…,xn 的平均数为 x ,方差为 s ,标准差为 s,则数据的平均数、方差
2 2 2 2 2 2

)

-8-

和标准差有以下规律: 数据 平均数 方差 标准差

x1,x2,x3,…,xn x1+b,x2+b,…, xn+b(b 为常数) ax1,ax2,…,axn
(a 为常数)

x x +b

s2 s2

s s

ax a x +b

a2s2 a2s2

|a|s |a|s

ax1+b,ax2+b,…,axn+b(a,b 为常数)

[成功破障] 一组数据的方差为 s ,平均数为 x ,将这组数据中的每一个数都乘以 2,所得的一组新 数据的方差和平均数为( 1 2 1 A. s , x 2 2 C.4s 2 x
2, 2

) B.2s 2 x D.s , x
2 2 2,

解析:选 C 将一组数据的每一个数都乘以 a,则新数据组的方差为原来数据组方差的 a 倍,平均数为原来数据组的 a 倍.

[随堂即时演练] 1.10 名工人某天生产同一零件,生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其 平均数为 a,中位数为 b,众数为 c,则有( A.a>b>c C.c>a>b )

B.b>c>a D.c>b>a

1 解析: 选 D 将数据从小到大排列为 10,12,14,14,15,15,16,17,17,17, 则平均数 a= (10 10 +12+14×2+15×2+16+17×3)=14.7,中位数 b=15,众数 c=17,显然 a<b<c. 2.在教学调查中,甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图,假设三个班的平均分都 是 75 分,s1,s2,s3 分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差,则有( )

-9-

A.s3>s1>s2 C.s1>s2>s3

B.s2>s1>s3 D.s3>s2>s1

解析:选 D 所给图是成绩分布图,平均分是 75 分,在图 1 中,集中在 75 分附近的数据 最多,图 3 中从 50 分到 100 分均匀分布,所有成绩不集中在任何一个数据附近,图 2 介于两 者之间.由标准差的意义可得 s3>s2>s1. 3.若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和平 均数分别是________.

解析:数据从小到大排列后可得其中位数为 87+89+90+91+92+93+94+96 =91.5. 8 答案:91.5,91.5

91+92 = 91.5 , 平 均 数 为 2

4.样本中共有五个个体,其值分别为 a,0,1,2,3,若该样本的平均值为 1,则样本方差 为________. 1 解析:由题意知 (a+0+1+2+3)=1,解得 a=-1. 5 1 2 2 2 2 2 2 所以样本方差为 s = [(-1-1) +(0-1) +(1-1) +(2-1) +(3-1) ]=2. 5 答案:2 5.甲、乙两人在相同条件下各打靶 10 次,每次打靶的成绩情况如图所示:

(1)请填写下表: 平均数 甲 乙 (2)从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析: ①从平均数和中位数相结合看,谁的成绩好些? 7 中位数 命中 9 环以上的次数(含 9 环)

- 10 -

②从平均数和命中 9 环及 9 环以上的次数相结合看,谁的成绩好些? ③从折线图中两人射击命中环数的走势看,谁更有潜力? 解: (1) 由题图可知,甲打靶的成绩为: 2,4,6,8,7,7,8,9,9,10 ;乙打靶的成绩为: 9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 甲的平均数是 7,中位数是 7.5,命中 9 环及 9 环以上的次数是 3; 乙的平均数是 7,中位数是 7,命中 9 环及 9 环以上的次数是 1. (2)由(1)知,甲、乙的平均数相同. ①甲、乙的平均数相同,甲的中位数比乙的中位数大,所以甲成绩较好. ②甲、乙的平均数相同,甲命中 9 环及 9 环以上的次数比乙多,所以甲成绩较好. ③从折线图中看,在后半部分,甲呈上升趋势,而乙呈下降趋势,故甲更有潜力.

[课时达标检测] 一、选择题 1.下列说法不正确的是( A.方差是标准差的平方 B.标准差的大小不会超过极差 C.若一组数据的值大小相等,没有波动变化,则标准差为 0 D.标准差越大,表明各个样本数据在样本平均数周围越集中;标准差越小,表明各个样 本数据在样本平均数周围越分散 答案:D 2.下图为甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况的茎叶图,则甲和乙得分的中位数的 和是( ) )

A.56 分 C.58 分 答案:B

B.57 分 D.59 分

3.将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分,去掉 1 个最低分,7 个剩余分数的平均分为 91. 现场作的 9 个分数的茎叶图后来有 1 个数据模糊,无法辨认,在图中以 x 表示:

- 11 -

则 7 个剩余分数的方差为( A. 116 9

) 36 B. 7 6 D. 7 7

C.36 答案:B

4.如图,样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为 x A 和 x B,样 本标准差分别为 sA 和 sB,则( )

A. x A> x B,sA>sB C. x A> x B,sA<sB 答案:B

B. x A< x B,sA>sB D. x A< x B,sA<sB

5.为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取 30 名学生参加环保知识测试, 得分(十分制)如图所示.假设得分值的中位数为 me,众数为 m0,平均值为 x ,则( )

A.me=m0= x C.me<m0< x

B.me=m0< x D.m0<me< x

- 12 -

答案:D 二、填空题 6.五个数 1,2,3,4,a 的平均数是 3,则 a=_____________________________________, 这五个数的标准差是________. 1+2+3+4+a 解析:由 =3 得 a=5; 5 1 2 2 2 2 2 2 由 s = [(1-3) +(2-3) +(3-3) +(4-3) +(5-3) ]=2 得,标准差 s= 2. 5 答案:5 2 2,则 xy=________.
2 2

7.已知样本 9,10,11,x,y 的平均数是 10,标准差是

解析:由平均数得 9+10+11+x+y=50,∴x+y=20,又由(9-10) +(10-10) +(11 -10) +(x-10) +(y-10) =( 2) ×5=10,得 x +y -20(x+y)=-192,(x+y) -2xy- 20(x+y)=-192,xy=96. 答案:96 8.对一个做直线运动的质点的运动过程观测了 8 次,得到如下表所示的数据:
2 2 2 2 2 2 2

观测序号 i 观测数据 ai

1 40

2 41

3 43

4 43

5 44

6 46

7 47

8 48

在上述统计数据的分析中, 一部分计算见如图所示的算法流程图(其中 a 是这 8 个数据的 平均数),则输出的 S 的值是________.

解析: a =(40+41+43+43+44+46+47+48)÷8=44,该程序框图是计算这 8 个数据 的方差,经计算得 S=7,则输出 7. 答案:7 三、解答题 9.某中学举行电脑知识竞赛,现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图

- 13 -

所示的频率分布直方图,已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是 0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.

求:(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数. (2)高一参赛学生的平均成绩. 解:(1)由图可知众数为 65, 又∵第一个小矩形的面积为 0.3, ∴设中位数为 60+x,则 0.3+x×0.04=0.5,得 x=5, ∴中位数为 60+5=65. (2)依题意,平均成绩为 55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67, ∴平均成绩约为 67.

10.(全国乙卷)某公司计划购买 1 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易 损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间, 如果备件不足再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为 此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:

记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数, y 表示 1 台机器在购买易损零件 上所需的费用(单位:元),n 表示购机的同时购买的易损零件数. (1)若 n=19,求 y 与 x 的函数解析式; (2)若要求“需更换的易损零件数不大于 n”的频率不小于 0.5,求 n 的最小值; (3)假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件,或每台都购买 20 个易损 零件,分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购 买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件?
- 14 -

解:(1)当 x≤19 时,y=3 800; 当 x>19 时,y=3 800+500(x-19)=500x-5 700, 所以 y 与 x 的函数解析式为

y={3 800,x≤19,

x-5 700,x>19 (x∈N).

(2)由柱状图知,需更换的零件数不大于 18 的频率为 0.46,不大于 19 的频率为 0.7,故

n 的最小值为 19.
(3)若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件,则这 100 台机器中有 70 台在购买易损 零件上的费用为 3 800(元),20 台的费用为 4 300(元),10 台的费用为 4 800(元),因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 =4 000(元). 若每台机器在购机同时都购买 20 个易损零件,则这 100 台机器中有 90 台在购买易损零 件上的费用为 4 000(元),10 台的费用为 4 500(元),因此这 100 台机器在购买易损零件上所 1 需费用的平均数为 (4 000×90+4 500×10)=4 050(元).比较两个平均数可知,购买 1 100 台机器的同时应购买 19 个易损零件. 1 (3 800×70+4 300×20+4 800×10) 100

- 15 -


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