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【金版学案】高中数学人教A版选修1-1练习:2.1.2第1课时椭圆的简单几何性质(含答案解析)

第二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭圆 2.1.2 第 1 课时 椭圆的简单几何性质 椭圆的简单几何性质 A 级 基础巩固 一、选择题 1.下面是关于曲线 4x2=12-3y2 对称性的一些叙述: ①关于 x 轴对称;②关于 y 轴对称;③关于原点对称;④关于直线 y=x 对称.其中正 确叙述的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 x2 y2 解析:曲线方程 4x2=12-3y2 可化为 + =1,故该曲线为焦点在 y 轴上的椭圆,由 3 4 椭圆的性质,知该曲线关于 x 轴、y 轴、原点对称,将曲线方程中的 x 换成 y,y 换成 x,得 y2 x2 + =1,与原曲线方程不同,故该曲线不关于直线 y=x 对称. 3 4 答案:C x2 y2 x2 y2 2.曲线 + =1 与曲线 + =1(k<9)的( 25 9 25-k 9-k A.长轴长相等 C.离心率相等 B.短轴长相等 D.焦距相等 ) 解析:两方程都表示椭圆,由方程可知 c2 都为 16,所以焦距 2c 相等. 答案:D 3.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点 坐标为( ) B.(0,±10) D.(0,± 69) A.(± 13,0) C.(0,±13) 解析:由题意知椭圆焦点在 y 轴上,且 a=13,b=10, 则 c= a2-b2= 69,故焦点坐标为(0,± 69). 答案:D 1 4. 已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1, 0), 离心率等于 , 则椭圆 C 的方程是( 2 ) x2 y2 A. + =1 3 4 x2 y2 C. + =1 4 2 x2 y2 B. + =1 4 3 x2 y2 D. + =1 4 3 x2 y2 解析:设椭圆 C 的方程为 2 + 2=1(a>b>0), a b c 1 则 c=1,e= = ,所以 a=2,b= 3, a 2 x2 y2 所以 椭圆 C 的方程是 + =1. 4 3 答案:D 5.已知椭圆 x2+my2=1 的焦点在 y 轴上,且长轴长是短轴长的 2 倍,则 m=( 1 A. 4 1 B. C.2 D.4 2 ) y2 解析:将椭圆方程化为标准方程为 x2+ =1. 1 m 因为焦点在 y 轴上,所以 由方程得 a= 1 ,b=1. m 1 >1,所以 0<m<1, m 1 因为 a=2b,所以 m= . 4 答案:A 二、填空题 x2 y2 6. 设椭圆 C: 2 + 2=1(a>b>0)的左右焦点为 F1, F2, 过 F2 作 x 轴的垂线与 C 交于 A, a b B 两点,F1B 与 y 轴交于点 D,若 AD⊥F1B,则椭圆 C 的离心率等于________. 解析:因为 AB⊥x 轴,所以点 D 为 F1B 的中点, b2 且|AF2|= .又 AD⊥F1B, a b2 2b2 所以 AF1=AB,所以 2a- = , a a 所以 b2 2 2 b2 1 3 . 2 = ,e =1- 2 = ,所以 e= a 3 a 3 3 3 3 3 .则长轴长的取值范围为________. 2 答案: 7.已知椭圆的短半轴长为 1,离心率 0<e≤ 解析:因为 0<e≤ 3 3 ,所以 0<e2≤ . 2 4 b2 1 3 又因为 e2=1- 2 ,b=1,而 0<1- 2≤ , a a 4 3 1 所以 - ≤ 2-1<0, 4 a 1 1 所以 ≤ 2<1, 4 a 所以 1<a2≤4,而 1<a≤2 所以 长轴长 2a∈(2,4]. 答案:(2,4] x2 y2 1 8.若椭圆 + =1 的离心率 e= ,则 k 的值等于____. 9 2 k+8 解析:分两种情况进行讨论: 当焦点在 x 轴上时,a2=k+8,b2=9,得 c2=k-1, 1 又因为 e= ,所以 2 k-1 1 = ,解得 k=4。 k+8 2 当焦点在 y 轴上时,a2=9,b2=k+8,得 c2=1-k, 1 又因为 e= ,所以 2 5 所以 k=4 或 k=- 4 5 答案:4 或- 4 三、解答题 9.分别求适合下列条件的椭圆的标准方程: 2 (1)离心率是 ,长轴长是 6; 3 (2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为 6. 解:(1)设椭圆的方程为 x2 y2 y2 x2 2 + 2=1(a>b>0)或 2 + 2=1(a>b>0). a b a b c 2 由已知得 2a=6,e= = ,所以 a=3,c=2. a 3 所以 b2=a2-c2=9-4=5. x2 y2 x2 y2 所以 椭圆方程为 + =1 或 + =1. 9 5 5 9 x2 y2 (2)设椭圆方程为 2 + 2=1(a>b>0). a b 1-k 1 5 = ,解得 k=- . 2 4 9 如图所示,△A1FA2 为一等腰直角三角形,OF 为斜边 A1A2 上的中线(高),且|OF|=c, x2 y2 |A1A2|=2b,所以 c=b=3 所以 a2=b2+c2=18,故所求椭圆的方程为 + =1. 18 9 10.如图所示,F1,F2 分别为椭圆的左,右焦点,M 为椭圆上一点,且 MF2⊥F1F2,∠ MF1F2=30° .试求椭圆的离心率. 解:设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为 a,b,c,因为 MF2⊥F1F2,所以△ MF1F2 为直角三角形. 又∠MF1F2=30° , 所以|MF1|=2|MF2|,|F1F2|= 3 |MF1|. 2 而由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=2a, 4a 2a 因此|MF1|= ,|MF2|= , 3 3 所以 2c= 3 4a c 3 × ,即 = , 2 3 a 3 3 . 3 B 级 能力提升 x y 1.已知点(3,2)在椭圆 2+ 2=1 上,则( a b A.点(-3,-2)不在椭圆上 B.点(3,-2)不在椭圆上

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