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2018-2019学年高中数学苏教版必修四教学案:第2章 章末小结小结与测评-含答案


数学 一、平面向量的概念 1.向量的定义 既有大小又有方向的量叫做向量. 2.表示方法 用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方 向.用字母 a,b,?或用 AB , BC ,?表示. 3.模 向量的长度叫向量的模,记作|a|或| AB |. 4.零向量 长度为零的向量叫做零向量,记作 0;零向量的方向是任意的. 5.单位向量 长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量.与 a 平行的单位向量 e=± . |a| ??? ? ??? ? ??? ? a 数学 6.平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,规定零向量与任一向量平行,平行向量又称为共 线向量. 7.相等向量 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. [说明] 向量是区别于数量的一种量,既有大小,又有方向,任意两个向量不能比较大小, 只可以判断它们是否相等,但它们的模可以比较大小. 二、平面向量的线性运算 1.向量的加法 (1)定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法. (2)法则:三角形法则;平行四边形法则. (3)运算律:a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c). 2.向量的减法 (1)定义:求两个向量差的运算,叫做向量的减法. (2)法则:三角形法则. [说明] 要注意三角形法则与平行四边形法则的要素.向量加法的三角形法则的要素是“首 尾相接,指向终点” ;向量减法的三角形法则的要素是“起点重合,指向被减向量” ;平行四边形 法则的要素是“起点重合” . 3.实数与向量的积 (1)定义:实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λ a,规定:|λ a|=|λ ||a|.当 λ >0 时,λ a 的方向与 a 的方向相同;当 λ <0 时,λ a 的方向与 a 的方向相反;当 λ =0 时,λ a =0.由此可见,总有 λ a 与 a 平行. (2)运算律: λ (μ a)=(λ μ )a,(λ +μ )a=λ a+μ a,λ (a+b)=λ a+λ b. 三、两个定理 1.向量共线定理 (1)如果有一个实数 λ , 使 b=λ a(a≠0), 那么 b 与 a 是共线向量; 反之, 如果 b 与 a(a≠0) 是共线向量,那么有且只有一个实数 λ ,使 b=λ a. (2)向量平行的坐标表示:若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b?x1y2-x2y1=0. 2.平面向量基本定理 平面向量基本定理:如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任 意向量 a,有且仅有一对实数 λ 1、λ 2,使 a=λ 1e1+λ 2e2.其中,不共线的向量 e1,e2 叫做表示 这一平面内所有向量的一组基底. 一个平面向量用一组基底 e1,e2 表示成 a=λ 1e1+λ 2e2 的形式,我们称它为向量的分解.当 数学 e1,e2 互相垂直时,就称为向量的正交分解. [说明] 零向量不能作基底,两个非零向量共线时不能作基底,平面内任意两个不共线的向 量都可以作基底,一旦选择了一组基底,则定向量沿基底的分解是唯一的. 四、平面向量的数量积 1.平面向量数量积的概念及意义 (1)向量的夹角: 已知两个非零向量 a 和 b, 作 OA =a, 则∠AOB=θ (0°≤θ ≤180°) OB =b, 叫做向量 a 与 b 的夹角,记作〈a,b〉 . (2)数量积的定义:已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角为 θ ,则数量|a||b|cos θ 叫做 ??? ? ??? ? a 与

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