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2.1.1曲线与方程


第二章

圆锥曲线与方程
圆双 锥曲 曲线因 线、此 。抛, 物通 线常 统把 称椭 为圆 、

一、创设情境、引入新课

请同学们独立思考,迅速回答

思考1:如图:直线l与方程x-y=0之间有什么关系?

(1)l 上点的坐标都是方程x-y=0的解
(2)以方程x-y=0的解为坐标的点都 y 在 l 上 l
1 O1 x-y=0 x

∴说直线 l 的方程是 x ? y ? 0 , 又说方程 x ? y ? 0 表示的直线是 l .

一、创设情境、引入新课

请同学们独立思考,迅速回答

思考2:画出函数y=2x2(?1 ? x ? 2)的图象C, 考察曲线C与方程2x2 ?y=0 ①的关系?曲线 C与方程2x2 ?y=0(?1 ? x ? 2) ②的关系呢?
结论:
y 8

1、曲线C上的点 的坐标都是方程 ①的解。
2、以方程② 的 解为坐标的点都 是曲线上的点。
-1

C
y=2x2(?1 ? x ? 2)

2 O 2

x

一、创设情境、引入新课
M(x0,y0)是l上的点 (x0,y0)是方程x?y=0的解. 直线l叫方程x-y=0的直线,方程x-y=0叫直线l的方程.
M(x0,y0)是C上的点 (x0,y0)是方程2x2 ? y=0 (?1 ? x ? 2) 的解
y

l
1 O1 x-y=0 x -1

8

C
y=2x2(?1 ? x ? 2)

2 O 2 x

二、探究规律、形成概念
定义:在直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条 件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数 解建立了如下的关系: ①曲线上的点的坐标都是这个方程的解; ②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。 那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲 线。 如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么 p(x0,y0) 在曲线C上的 充要条件是 f(x ,y )=0
0 0

说明: 曲线的方程——反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线——反映的是数量关系所表示的图形.

二、探究规律、形成概念
练习1:请标出下列方程所对应的曲线
请同学们迅速动手,写出答案,同桌对照,举手回答

(1) x ? y ? 0

(2)x2?y2=0 (3)|x|?y=0

y

y

y

O

x

O

?

x

O

x

A

B

这是“曲线”!

C

二、探究规律、形成概念
练习:请标出下列方程所对应的曲线
请同学们迅速动手,写出答案,同桌对照

(1) x ? y ? 0

(2)x2?y2=0 (3)|x|?y=0

y

y

y

O

x

O

x

O

x

A

B

C

二、探究规律、形成概念

请同学们独立思考,举手回答

例1.证明与两条坐标轴的距离的积是常数 k(k>0)的点的轨迹方程是xy=±k.

证明: (1)如图,设M ( x0 , y0 ) 是轨迹上的任意一点,
?点M 与x轴的距离为 y0 , 与y轴的距离为 x0 ,

y

M
o x

? x0 ? y0 ? k ,即( x0 , y0 ) 是方程 xy ? ? k 的解。

(2)设点 M 1的坐标 ( x1 , y1 )是方程 xy ? ? k的解, 即x1 y1 ? ? k ,即 x1 ? y1 ? k
而 x1 , y1 正是点M 1到 纵轴、横轴的距离, 因此点M 1到两条直线 的距离的积是常数k , ?点M 1是曲线上的点. 由(1), (2)可知,xy ? ?k是与两条坐标轴的
o y

M
x

距离的积为常数 k (k ? 0)的点的轨迹方程 .

二、探究规律、形成概念
请同学们思考,必要的可以进行小组讨论,统一答案, 派代表回答

证明已知曲线的方程的方法和步骤: 1.设M(x0,y0)是曲线C上任一点,

证明(x0,y0)是方程f(x0,y0)=0的解.
2.设(x0,y0)是方程f(x,y)=0的解,证

明点M(x0,y0)在曲线C上.

三、探索新知、拓展思维

例2.设A,B两点的坐标分别是(-1,-1), (3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。
y B

思考1: 我们有哪些 可以求直线方程的方 法?
0

x

A

三、探索新知、拓展思维
例2.设A,B两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7), 求线段AB的垂直平分线的方程。

7 ? (?1) 解:∵ kAB ? ? 2 ,∴所求直线的斜率 k =-1/2 3 ? (?1) y

法一:运用直线方程的知识来求.

又∵线段 AB 的 中点坐标是(1,3),
∴线段 AB 的垂直 平分线的方程为 1 y ? 3 ? ? ( x ? 1) . 2 即 x+2y-7=0

B

0

x

A

三、探索新知、拓展思维

例2.设A,B两点的坐标分别是(-1,-1), (3,7),求线段AB的垂直平分线的方程。 法二:若没有现成的结论怎么办 ──需要寻找一般性的方法
y B M

0

x

A

三、探索新知、拓展思维
例2.设A,B两点的坐标分别是(-1,-1),(3,7),求线 段AB的垂直平分线的方程。
我们的目标就是要找x与y的关系式

法二:一般性的方法
则 |MA|=|MB|

解:设 M(x,y)是线段 AB 的垂直平分线上的任一点,
需要尝试、摸索
先找曲线上的点满足的几何条件

2 2 2 2 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? ( x ? 3) ? ( y ? 7) ∴

坐标化

∴ x ? 2x ? 1 ? y ? 2 y ? 1 ? x ? 6x ? 9 ? y ?14 y ? 49
2 2 2 2

∴ x ? 2y ? 7 ? 0

化简

综上所述,线段 AB 的垂直平分线的方程是 x ? 2 y ? 7 ? 0 .

下面证明线段AB的垂直平分线的方程是x+2y-7=0.

证明: ⑴由上面过程可知,垂直平分线上的任
一点的坐标都是方程 x ? 2 y ? 7 ? 0 的解; ⑵设点 M 1 的坐标 ( x1 , y1 ) 是方程(Ⅰ)的解, 即 x1 ? 2 y1 ? 7 ? 0 从而, x1 ? 7 ? 2 y1 点 M 1 到 A、B 的距离分别是
M1 A ?

? x1 ? 1? ? ? y1 ? 1?
2

2

?

?8 ? 2 y1 ? ? ? y1 ? 1?
2

2

? 5 ? y12 ? 6 y1 ? 13? ; M1B ?

? x1 ? 3? ? ? y1 ? 7 ?
2

2

?

? 4 ? 2 y1 ? ? ? y1 ? 7 ?
2

2

? 5 ? y12 ? 6 y1 ? 13? ;

所以, M1 A ? M1B

综上,线段 AB 的垂直平分线的方程是 x ? 2 y ? 7 ? 0 .

三、探索新知、拓展思维

第一种方法运用现成的结论当然快 , 但它需要你对研 究的曲线要有一定的了解;第二种方法虽然有些走弯路,但 这种方法有一般性. 请同学们小组讨论,总结出求曲线的方程的步骤。

√ √ 2.写出适合条件 P 的几何点集: P ? ?M P ( M )? ; √ 3.用坐标表示条件 P(M ) ,列出方程 f ( x, y) ? 0 ; √ 4.化简方程 f ( x, y) ? 0 为最简形式; √ 5.证明(查漏除杂).

求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤: 1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点 M 的坐标 ( x, y ) ;

以上过程可以概括为一句话:建设现 ( 限 ) 代化 . ... . . . ..

16

三、探索新知、拓展思维 例 3, 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F, 点 F 到 l 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方,它上面的每 一点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2,建立 适当的坐标系 ,求这条曲线的方程 .

y

请同学们独立思考,效仿例题, 完成本题

.M
0

( x, y )

F.(0, 2)
l
B
17

x

例 2 已知一条直线 l 和它上方的一个点 F,点 F 到 l 的距离是 2.一条曲线也在 l 的上方,它上面的每一 点到 F 的距离减去到 l 的距离的差都是 2,建立适 当的坐标系,求这条曲线的方程.

y

.M
0

( x, y )

F(0, . 2)
l
B

x
18

方法小结
求曲线的方程(轨迹方程),一般有下面几个步骤: 1.建立适当的坐标系,设曲线上任一点 M 的坐标 ( x, y ) ;

√ √ 2. 写出适合条件 P 的几何点集: P ? ?M P ( M )? ; √ 3. 用坐标表示条件 P(M ) ,列出方程 f ( x, y) ? 0 ; √ 4. 化简方程 f ( x, y) ? 0 为最简形式; √ 5.证明(查漏除杂).
建立坐标系 设点的坐标

以上过程可以概括为一句话:建设现 ( 限 ) 代化 . ... . . . ..

限(找几何条件) 代(把条件坐标化)

化简

19

建立坐标系的要点是什么? ? 1.如果曲线(或轨迹)有对称中心,通常以 对称中心为原点.

2.如果曲线(或轨迹)有对称轴,通常以对 称轴为坐标轴. 3.尽可能使曲线上的关键点在坐标轴上.

20

? 1.直接法:就是课本中主要介绍的方法。 若命题中所求曲线上的动点与已知条件能 直接发生关系,这时,设曲线上动点坐标 为()后,就可根据命题中的已知条件, 研究动点形成的几何特征,在此基础上运 用几何或代数的基本公式、定理等列出含 有的关系式。从而得到轨迹方程,这种求 轨迹方程的方法称作直接法。
21

一:直接法
练习 1.已知点 M 与 x 轴的距离和点 M 与点 F(0,4) 的距离相等,求点 M 的轨迹方程. 解:设点 M 的坐标为(x,y) 建立坐标系 ∵点 M 与 x 轴的距离为 y , 设点的坐标
FM ? x ? ( y ? 4)
2
2

2

∴ y = x ? ( y ? 4) 2 2 2 ∴ y ? x ? y ? 8 y ? 16 2 ∴ x ? 8 y ?16 这就是所求的轨迹方程.
2

限(找几何条件) 代(把条件坐标化)

化简
22

? 【例2】动点与距离为4的两个定点满足 求动点的轨迹方程。

???? ???? MA ? MB ? 5

23

? 2.转移代入法(或利用相关点法):即利 用动点是定曲线上的动点,另一动点依赖 于它,那么可寻求它们坐标之间的关系, 然后代入定曲线的方程进行求解,就得到 原动点的轨迹。 ? 【例3】已知定点和曲线上的动点,求线段 AB的中点的轨迹方程。

24

例3、已知线段AB, B点的坐标(6,0),A点在曲线 y=x2+3上运动,求AB的中点M的轨迹方程. 解;设AB的中点M的坐标为(x,y), 又设A(X1,Y1),则
x1 + 6 ? x = ? ? x1 = 2x - 6 ? 2 ∴? ? ? y1 = 2y ? y = y1 ? 2 ?
10

y

8

y=x2+3

6

A
4

点A(X1,Y1)在曲线y=x2+3上,则 y1=x1
2+3
2

M

代入,得 2y=(2x-6)2+3

O
-2

整理, 得AB的中点的轨迹方程为 3 2 y = 2?x - 3? + 25 注:这种求轨迹方程的方法叫做相关点法 (坐标转移法) 2
-4

B

x

思考:1. △ABC 的顶点 B、 C 的坐标分别为 (0,0) 、 (4,0),AB 边上的中线的长为 3,求顶点 A 的轨迹方程.
法一 : 设 A 的坐标分别为 ( x, y ) ,AB 的中点 D 的坐标为 x ? ( x1 , y1 ) x1 ? ? ? 2 由中点坐标公式可知 ? ?y ? y 1 A ? ? 2

y

( x, y )

∵AB 边上的中线 CD=3 ∴ ( x1 ? 4)2 ? y12 ? 9

B

化简整理得 ( x ? 8)2 ? y 2 ? 36 0 ∴点 A 的轨迹方程为 ( x ? 8)2 ? y 2 ? 36 . ? y ? 0?

?

D

? ? ? x C M
26

?

注:这种求轨迹方程的方法叫做相关点法(坐标转移法) 法二: 添辅助线 MA,巧用图形性质

思考 2.经过原点的直线 l 与圆 x2 ? y 2 ? 6x ? 4 y ? 9 ? 0 相交 于两个不同点 A、B,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.

解:设 M ( x, y ) ,A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 )
x1 ? x2 ? x? ? ? 2 则? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2
2 1 2 1

? ? x ? y ? 6 x1 ? 4 y1 ? 9 ? 0 ① 且? 2 2 x ? y ? ? 2 2 ? 6 x2 ? 4 y2 ? 9 ? 0 ②

y
M

由①─②得 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 )

B

?6( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 ) ? 0 y y1 ? y2 0 ∵ kOM ? k AB 即 ? (易知 x1 ? x2 ) x x1 ? x2 y y ∴ 2 x ? ? 2 y ? 6 ? 4 ? 0 ∴化简得 x2 ? y 2 ? 3x ? 2 y ? 0
x x

? ?C

A

l

x

∴所求轨迹方程为 x2 ? y2 ? 3x ? 2 y ? 0 (在已知圆内部一段弧对应的方程)

27

2、 长为2的线段AB的两端点分别在两条互相垂

直的直线上滑动,求线段AB的中点M的轨迹方程.

y B O M A

x 2+y 2=1
x

28

? 4.参数法:有时很难直接找出动点的横、 纵坐标之间关系。如果借助中间量(参 数),使之间的关系建立起联系,然后再 从所求式子中消去参数,这便可得动点的 轨迹方程。 ? 例4:过不在坐标轴上的定点M(5,8),的 动直线交两坐标轴于点A、B,过A、B作坐 标轴的垂线交于点P,求交点P的轨迹方程。
29

? 说明:本题由把联系在一起,称之为参数。 由于P点是直线的交点,则P的坐标一定会 满足这两条动直线的方程,解出,消去参 数就得到了的关系,这种求曲线方程的方 法称为参数法。

30

( P 练习第 3 题)

37

如图,已知点 C 的坐标是(2 , 2) , 过点 C 直线 CA 与 x 轴交于点 A,过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 y 轴交于点 B,设点 M 是线段 AB 的中点,求点 M 的轨 迹方程. y

B

活用几何性质来找关系

思维漂亮!

M
0

( x, y ) C
A

?

x
31

例3、已知直角坐标平面上点Q(2,0) 和圆O: x ? y ? 1.
2 2

动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数
y

? (? ? 0),

求动点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线?
M

N 0 Q

x

32

课外拓展
高考真题: 如图,圆O1与圆O2的半径 都是1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1、 圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切 点),使得 PM ? 2PN .试建立适当的 坐标系,并求动点P的轨迹方程.
y
P

M O1

N

o

O2

x
33

求曲线方程的一般步骤:

(1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y) 表示曲线上任意一点M的坐标 (2)写出适合条件P的点M的集合 P={M|p(M)} (3)用坐标表示条件P(M),列出方程f(x,y)=0. (4)画方程f(x,y)=0为最简形式。 (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在 曲线上。
34

四:参数法
2 例4、抛物线x =4y的焦点为

F,过点(0,-1)作直线交 抛物线于不同的两点A、B, 以AF、BF为邻边作平行四 边形FARB,求顶点R的轨 迹方程。
35

三、研探新知、拓展思维

练习 1.已知点 M 与 x 轴的距离和点 M 与点 F(0,4) 的距离相等,求点 M 的轨迹方程.请同学们独立完成,举手
展示。

解:设点 M 的坐标为(x,y) ∵点 M 与 x 轴的距离为 y ,
FM ? x 2 ? ( y ? 4) 2
2 2 x ? ( y ? 4) ∴ y=

建立坐标系 设点的坐标

限(找几何条件) 代(把条件坐标化

∴ y ? x ? y ? 8 y ? 16 2 ∴ x ? 8 y ?16 这就是所求的轨迹方程.
2 2 2

化简

36

本节内容回顾:
1.曲线的方程、方程的曲线

2.点在曲线上的充要条件
3.证明已知曲线的方程的方法和步骤

4.求曲线方程的一般步骤

三:相关点代入法
2 例3、已知抛物线y =x+1,

定点A(3,1),B为抛物线 上任意一点,点P在线段AB 上,且有BP:PA=1:2,当 点B在抛物线上运动时,求 点P的轨迹方程。
38

二:定义法。

例2、已知动圆P过定点A (-3,0),且在定圆B: 2 2 (x-3) +y =64的内部 与其相内切,求动圆圆 心P的轨迹方程。
39

1、设A,B两点的坐标分别是 (-1,-1),(3,7).求 线段AB的垂直平分线的方程
练习40页 第2题
40


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