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高一数学之分离参数法(含答案)


高中重要解题方法——分离变量法
分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中,求参数的范围常常与 分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结 合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都 可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用, 越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 分离变量法:是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端,使两 端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在(有)解和方程有解中参数取值范围 的一种方法.两个变量,其中一个范围已知,另一个范围未知. 解决问题的关键 : 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题 .分离变量 后,对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知 x 的范围,求 a 的范 围: 定理 1 不等式 f ( x) ? g (a) 恒成立 ? ? f ( x)?min ? g (a)(求解 f ( x ) 的最小值) ; 不等 式 f ( x) ? g (a) 恒成立 ? ? f ( x)?max ? g (a) (求解 f ( x ) 的最大值). 定理 2 不等式 f ( x) ? g (a) 存在解 ? ? f ( x)?max ? g (a) (求解 f ( x ) 的最大值) ;不

等式 f ( x) ? g (a) 存在解 ? ? f ( x)?min ? g (a) (即求解 f ( x ) 的最小值). 定理 3 方程 f ( x) ? g (a) 有解 ? g (a ) 的范围 ? f ( x ) 的值域(求解 f ( x ) 的值域). 解决问题时需要注意: (1)确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个; (2)确定 是求最大值、最小值还是值域. 再现性题组: 1、 已知当 x ? R 时, 不等式 4sin x ? cos x ? sin x ? ?a ? 5 恒成立, 求实数 a 的取值范围。
2 2

2.若 f(x)= x ? 3x ? 3 在 x ? [?1, 4] 上有 f ( x) ? x ? 2a ? 1 恒成立,求 a 的取值范围。
2

2 3,、若 f(x)= x ? 3x ? 3 在 x ? [?1, 4] 上有 f ( x) ? x ? 2a ? 5a ?1 恒成立,求 a 的取值范围。
2

2 ? 1 ? 0 有解,请求 a 的取值范围。 4、若方程 4 ? 2a?
x x

答案:

1、 解:原不等式 ? 4sin x ? cos2 x ? sin 2 x ? ?a ? 5 当 x ? R 时,不等式 ? ?a+5 >(4sinx+cos2x)max ,设 f(x)= 4sinx+cos2x 则

f(x)= 4sinx+cos2x = ?2sin2 x+4sinx+1= ?2(sinx ? 1)2 +3 ∴ ?a+5>3 ? a<2
2、解: x ? 3x ? 3 ? x ? 2a ? 1 恒成立,即 2a ? x ? 4 x ? 2 在 x ? [?1, 4] 上恒成立,
2 2

只需 2a ? ( x2 ? 4x ? 2)min ,解得 a ? ?3 3、解: x ? 3x ? 3 ? x ? 2a ? 5a ? 1 在 x ? [?1, 4] 上恒成立 ? 2a ? 5a ? x ? 4 x ? 2
2 2 2 2

在 x ? [?1, 4] 上恒成立 ? 2a ? 5a ? ?3 ? 1 ? a ?
2

3 2 1 t

4、解:令 t ? 2

x

(t>0),则 t ? 2at ? 1 ? 0 ? 2a ? t ? ? 2 ? a ? 1
2

【例题】

例 1. 已知函数 f ? x ? ? x ? ax ?1, x ? (0,1] ,且 | f ? x ? |? 3 恒成立,求 a 的取值范围.
2

【分析】法一 ( 二次函数 ): 问题转化为不等式组 ?

2 ? ? x ? ax ? 1 ? 3 , x ? (0,1] 恒成立 2 x ? ax ? 1 ? ? 3 ? ?

?

f ( x) ? x2 ? ax ? 1 在 x ? (0,1] 上的最大值与最小值 ? 以对称轴与定义域端点进行比较
分类,研究单调性.正确率较低.

?4 ? x 2 2 ? x2 ?a? 在 x ? (0,1] 上恒成立(除 x 时注意符号), x x ? ?4 ? x 2 ? ? 2 ? x2 ? ? 由定理 1 得 ? ? a ? ? ? x ? .求相应函数最值,正确率较高. ? x ? max ? ? min
法二(分离变量):问题转化为 例 2.已知 a 是实数, 函数 f ( x) ? 2ax ? 2 x ? 3 ? a. 如果函数 y ? f ( x) 在区间 [?1,1] 上有零 点,求 a 的取值范围. 【分析】 方法一(根的分布):这个题目是一个标准的根的分布问题,解题时需要考虑: 开口方 向,判别式,对称轴,特殊点的函数值.解题时需要分为大 3 类,小 5 类.学生能够部分得分,很 难列出所有不等式组.
2

方法二 ( 分离变量 ): 问题转化为 2ax ? 2 x ? 3 ? a ? 0 在 x ?[?1,1] 上恒有解
2

?

分离变

3 ? 2x 2 2 ) ? (? , , x ? [?1, ? 2 2x ?1 2 2 3 ? 2x 2 ) ? (? 函数 g ( x ) ? 在 x ? [?1, ? 2 2x ?1 2
量得 a ?

2 2 )?( ,1] 有解 ? 由定理 1.3 得只需求 2 2 2 2 2 2 , )?( ,1] 上的值域即可 , ? 单独 2 2 2 2

考虑.此法思维两较小,运算量较二次函数略大,得分率略有增加. 通过对上述三道题目解答过程中出现的两种做法的比较,不难体会到,分离变方法的优越 性:思维量小,过程简捷明快 ,思维严谨性的要求有所降低 .不足之处:个别时候,分离后产生的 函数,在求解其最值或值域时运算量较大.总体来说,多数时候,应优先使用分离变量法。

【练习】 1、 已知函数 f ? x ? ? lg ? x ? 值范围。

? ?

a ? ? 2 ? ,若对任意 x ??2, ??? 恒有 f ? x ? ? 0 ,试确定 a 的取 x ?

x 2 x 2、已知 x ? ? ??,1? 时,不等式 1 ? 2 ? a ? a ? 4 ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。

?

?

1 ? 2 x ? a?4 x , 其中 a ? R ,如果 x ? (??.1) 时, f ( x) 恒有意义,求 a 的 3、设 f ( x) ? lg 3
取值范围。

4、设函数是定义在 (??, ??) 上的增函数,如果不等式 f (1 ? ax ? x ) ? f (2 ? a) 对于任
2

意 x ? [0,1] 恒成立,求实数 a 的取值范围。

练习答案: 1、解:根据题意得: x ?
2

a ? 2 ? 1 在 x ??2, ??? 上恒成立, x

即: a ? ? x ? 3x 在 x ??2, ??? 上恒成立,

3? 9 ? 设 f ? x ? ? ?x ? 3x ,则 f ? x ? ? ? ? x ? ? ? 2? 4 ?
2

2

当 x ? 2 时, f ? x ?max ? 2
x

所以 a ? 2

2、解:令 2 ? t ,? x ? ? ??,1?

?t ? ? 0 , 2 ? 所以原不等式可化为: a 2 ? a ?

要使上式在 t ? ? 0, 2? 上恒成立,只须求出 f ? t ? ?
2 2

t ?1 在 t ? ? 0, 2? 上的最小值即可。 t2

t ?1 , t2

1 ?1 t ?1 ? 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 ? ? ? ? , ?? ? ? f ?t ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? t ?2 t ? ?t ? t ?t 2? 4
? f ? t ?min ? f ? 2 ? ? 3 4 3 1 ? a2 ? a ? ? ? 4 2 ? a 3 ? 2

3、解:如果 x ? (??.1) 时, f ( x) 恒有意义 ? 1 ? 2x ? a4x ? 0 ,对 x ? (??,1) 恒成立.
?a?? 1 ? 2x ? ?(2? x ? 2?2 x ) x ? (??.1) 恒成立。令 t ? 2? x , g (t ) ? ?(t ? t 2 ) x 4

1 1 又 x ? (??.1) 则 t ? ( , ??) ? a ? g (t ) 对 t ? ( , ??) 恒成立, 2 2 1 1 3 3 又? g (t ) 在 t ? [ , ??) 上为减函数, g(t ) max ? g ( ) ? ? ,? a ? ? 。 2 2 4 4
2 4、解:? f ( x) 是增函数? f (1 ? ax ? x ) ? f (2 ? a) 对于任意 x ? [0,1] 恒成立

? 1 ? ax ? x 2 ? 2 ? a 对于任意 x ? [0,1] 恒成立 ? x2 ? ax ? 1 ? a ? 0 对于任意 x ? [0,1] 恒成立,
令 g ( x) ? x ? ax ? 1 ? a , x ? [0,1] ,所以原问题 ? g ( x)min ? 0 ,
2

?1 ? a,??????a ? 0 ? g (0),??????a ? 0 ? 2 ? a ? a ? ? a ? 1, ?2 ? a ? 0 又 g ( x) min ? ? g (? ), ?2 ? a ? 0 即 g ( x ) min ? ?? 4 2 ? ? ? 2, ??????????? a ? ? 2 ? ? ?2,???????????a ? ?2 易求得 a ? 1 。


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