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高二数学晚间小练习7


古之立大事者,不惟有超世之才,亦必有坚忍不拔之志!! !

高二数学晚间小练习(018)
班级 姓名 成绩
一 填空题(每小题 5 分共 25 分,请将答案直填入答题纸中的相应空档内)
1.设 M ? ? 围是

? 1 ?? 1 ?? 1 ? ,则 ? 1?? ? 1?? ? 1? ,且 a ? b ? c ? 1( a,b,c 均为正数) M 的取值范 ? a ?? b ?? c ?


? 2 . Rt△ ABC 中 , 若 ?C ? 90 , AC ? b , BC ? a , 则 △ ABC 的 外 接 圆 半 径 为

r?

a 2 ? b2 ,将此结论类比到空间,得到相类似的结论为 2



3.观察下列各式:1 ? 12 ;2 ? 3 ? 4 ? 32 ;3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 52 ;4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ? 72 ; ?,由此可以得出的一般结论为 . 4.图中由火柴杆拼成的一列图形中,第 n 个图形由 n 个正方形组成:

通过观察可以发现:第四个图形中,火柴杆有

根;第 n 个图形中,火柴杆有

根.

2) 5.函数 y ? f ( x) 在 (0, 上是增函数,函数 y ? f ( x ? 2) 是偶函数,则 f (1) 、 f (2.5) 、 f (3.5) 的大小关系是


二、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

b2 ? ac 6. (本小题 15 分)判断命题“若 a ? b ? c 且 a ? b ? c ? 0 ,则 ? 3 ”是真命题 a
还是假命题,并证明你的结论.
[来源:学科网]

与其用泪水悔恨今天,不如用汗水拼搏今天。高二数学晚间练习

古之立大事者,不惟有超世之才,亦必有坚忍不拔之志!! !

高二数学晚间小练习(018)答案
1 答案: ?8, ?? ? 2 答案:在三棱锥 A ? BCD 中,若 AB , AC , AD 两两互相垂直,且 AB ? a , AC ? b ,

AD ? c ,则此三棱锥外接球半径为 R ?

a 2 ? b2 ? c 2 2

3 答案: n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? (3n ? 2) ? (2n ?1)2 4 答案: 13 ; 3n ? 1 5 答案: f (2.5) ? f (1) ? f (3.5) 6 解:此命题是真命题. ? a ? b ? c ? 0 , a ? b ? c ,? a ? 0 , c ? 0 . 要证

b2 ? ac ? 3 成立, a
2 2

只需证 b2 ? ac ? 3a ,即证 b ? ac ? 3a , 也就是证 (a ? c)2 ? ac ? 3a2 , 即证 (a ? c)(2a ? c) ? 0 . 因为 a ? c ? 0 , 2a ? c ? (a ? c) ? a ? ?b ? a ? 0 , 所以 (a ? c)(2a ? c) ? 0 成立. 故原不等式成立.即命题为真命题.

与其用泪水悔恨今天,不如用汗水拼搏今天。高二数学晚间练习

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高二数学晚间小练习(019)
一 填空题(每小题 5 分共 25 分,请将答案直填入答题纸中的相应空档内) 1 1 1 ? n(n ? N?且n ? 1) , 第 一 步 即 证 不 等 式 1 . 用 数 学 归 纳 法 证 明 1? ? ?? ? n 2 3 2 ?1
成立. 2.用数 学归纳法证明命题: 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? (?1)
2 2 2 2 n ?1

n 2 ? (?1) n ?1

n(n ? 1) ( n ? N? ) , 2
项. .

从“第 k 步到 k ? 1 步”时,两边应同时加上 3.已知 f (n) ?



1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 (n ? N? ) ,则 f (n) 中共有 n n ?1 n ? 2 n

4.设 f (n) ? 62n?1 ? 1 ,则 f (k ? 1) 用含有 f ( k ) 的式子表示为
3

5. 用数学归纳法证明 n ? 5n 能被 6 整除” “ 的过程中, n ? k ? 1 时, 当 式子 (k ? 1)3 ? 5(k ? 1) 应变形为 .
?

二、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
6.(15 分)求证: an?1 ? (a ? 1)2n?1 能被 a ? a ? 1 整除(其中 n ? N ) .
2

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高二数学晚间小练习(019)答案
1 答案: 1 ?

1 1 ? ?2 2 3

2 答案: (?1)k (k ? 1)2 3 答案: n ? n ? 1
2

4 答案: 36 f (k ) ? 35 5 答案: (k 3 ? 5k ) ? 3k (k ? 1) ? 6 6 证明: (1)当 n ? 1 时, a2 ? (a ? 1)1 ? a 2 ? a ? 1 能被 a ? a ? 1 整除,即当 n ? 1 时原命
2

题成立. (2)假设 n ? k (k ?N? ) 时, ak ?1 ? (a ? 1)2k ?1 能被 a ? a ? 1 整除.
2

则当 n ? k ? 1 时, ak ?2 ? (a ? 1)2k ?1 ? a? k ?1 ? (a ? 1)2 ? a ? 1)2k ?1 a (

? a? k ?1 ? a? a ? 1)2k ?1 ? (a2 ? a ? 1)? a ? 1)2k ?1 a ( (
? a?? a k ?1 ? (a ? 1)2 k ?1 ? ? ? a 2 ? a ? 1? ? a ? 1? ? ?
2 2
2 k ?1


2

k ?2 2 k ?1 由归纳假设及 a ? a ? 1 能被 a ? a ? 1 整除可知, a ? (a ? 1) 也能被 a ? a ? 1 整除,

即 n ? k ? 1 命题也成立. 根据(1)和(2)可知,对于任意的 n ? N ,原命题成立.
?

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高二数学晚间小练习(020)
一 填空题(每小题 5 分共 35 分,请将答案直填入答题纸中的相应空档内) 1.设复数 z 满足条件 z ? 1,那么 z ? 2 2 ? i 的最大值是 .

2.设 z ? C 且 z ? i ? z ?1 ,则复数 z 在复平面上的对应点 Z ( x,y) 的轨迹方程 是 , z ? i 的最小值为 .

3. “有斜率的两条直线垂直”是“两条直线的斜率乘积等于-1”的 条件。 4.设 A 是 C 的充分条件,B 是 C 的充分条件,D 是 C 的必要条件,D 是 B 的 充分条件,那么 A 是 B 的__________条件. 5.设 a,b,c∈R,则“b2-4ac<0”是“ax2+bx+c>0”恒成立的 条 件。 6.设 P:-1<a<1,q:方程 x2+(a-2)x+2a-2=0 的一个根大于 1,另一个根小于 1。 则 P 是 q 成立的 条件。 7.设△ABC 的三边分别为 a,b,c,命题“若 a2+b2≠c2,则△ABC 不是直角三角 形”的逆否命题是 ,此逆否命题是 命题(填 “真”“假” 、 ) 二、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
8. (15 分)用数学归纳法证明: 1 ?

1 1 1 ? ??? ? 2 n ( n ? N? ) . 2 3 n

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高二数学晚间小练习(020)答案
1: 4 2: x ? y ? 0 ;

2 2

[来源:学&科&网]

3:充要; 4:充分; 5:既不充分也不必要; 6:充分不必要; 7:若△ABC 是直角三角形,则 a2+b2=c2,假 证明: (1)当 n ? 1 时,左边 ? 1 ,右边 ? 2 , 1 ? 2 ,所以不等式成立. (2)假设 n ? k 时不等式成立,即 1 ?

1 1 1 ? ?? ? ?2 k , 2 3 k

则当 a ? k ? 1 时 , 1 ?

1 1 1 1 1 ? ?? ? ?2 k ? 2 3 k k ?1 k ?1

?

2 k (k ? 1) ? 1 k ?1

?

k ? k ?1?1 ? 2 k ?1 , k ?1
?

即当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. 由(1)(2)可知,对于任意 n ? N 时,不等式成立 、

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高二数学晚间小练习(021)
一 填空题(每小题 5 分共 25 分,请将答案直填入答题纸中的相应空档内)
1、用反证法证明命题“如果 a ? b ,那么 3 a ? 3 b ”时,假设的内容应为 2、如果过原点作曲线 y ? e x 的切线,那么切线方程是 3、已知 2 ? 。 。

2 2 3 3 4 4 a a ,。,若 6 ? ? 6 。。 (a , ? 2 , 3? ? 3 , 4? ? 4 3 3 8 8 15 15 b b
, b=
3

b ? R ) , 则 a=

。 。 。

4、已知函数 f ( x) ? x ? ax 在 R 上有两个极值点,则实数 a 的取值范围是

(x 5 若 f ' ) ? 3x ? 6x ,且 f(0)=4, 则不等式 f(x)>0 的解集是
2

二、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
6.(15 分) 设函数 f ( x) ? x ? 6 x ? 5, x ? R.
3

(1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)的极大值和极小值;

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高二数学晚间小练习(021)答案
1.、
3

a?3b

; 。
2

2、

y=ex

; 3、

a=6 ,

b=35

4、 a<0 ;

5、

?x |

x? ?1 x ? 2? 且
/

6 解: (1). f ( x) ? 3x ? 6 ? 0 ? x ? ? 2.

列表:

(递增区间: (??, ? 2)、( 2,+?); 递减区间:
y ? 5 ? 4 2; (2).当 x ? ? 2 时, 极大
当x?

2,2).

2 时, y极小 ? 5 ? 4 2 .

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高二数学晚间小练习(022)
班级 姓名 成绩
一 填空题(每小题 5 分共 25 分,请将答案直填入答题纸中的相应空档内)
π π 1.已知函数 f(x)=f′( )sinx+cosx,则 f( )=________. 2 4 3 2 2.函数 f(x)=x +3ax +3[(a+2)x+1]既有极大值又有极小值,则 a 的取值范围是________. 1 3.若 f(x)=- x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是________. 2 x 3 4.若函数 f(x)= 2 (a>0)在[1,+∞)上的最大值为 ,则 a 的值为________. 3 x +a 5 f ? x ? ? ax3 ? 3x ? 1 对于 x?? ?1,1? 总有 f ? x ? ≥0 成立,则 a = .

二、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
6. (本小题 15 分)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD 是边长为 60cm 的正方形硬纸片, 切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 ABCD 四个点重合 于图中的点 P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F 在 AB 上是 D 被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设 AE=FB=xcm (1)若广告商要求包装盒侧面积 S(cm )最大,试问 x 应取何值? (2)若广告商要求包装盒容积 V(cm )最大,试问 x 应取何值? 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。 P
3 2

C

A

x

E

F x

B

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高二数学晚间小练习(022)答案
1 答案:0 2 答案 a>2 或 a<-1 3 答案:b≤-1 4 答案: 3-1 5 答案:4 6 解析: (1) S ? 602 ? 4 x2 ? (60 ? 2 x)2 ? 240 x ? 8x2 (0<x<30),所以 x=15cm 时侧面积最 大, (2) V ? (2 x)
2

2 (60 ? 2 x) ? 4 2 x 2 (30 ? x)(0 ? x ? 30) ,所以, V ' ? 12 2x(20 ? x), 2

当 0 ? x ? 20, 时, V 递增,当20 ? x ? 30时,V 递减 ,所以,当 x=20 时,V 最大。

2 (60-2x) 1 ? 此时,包装盒的高与底面边长的比值为 2 2 2x

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高二数学晚间小练习(023)
班级 姓名 成绩
一 填空题(每小题 5 分共 25 分,请将答案直填入答题纸中的相应空档内)
1 设曲线 y ? xn?1 (n ? N * ) 在点 (1, 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ,则 x1 ? x2 ??? xn 1) 的值为 2.若曲线 f ? x ? ? ax2 ? Inx 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是 3 函数 f ( x) ? x3 ?15x2 ? 33x ? 6 的单调减区间为 4.求曲线 f ?x ? ? x ? 3x ? 2 x 过原点的切线方程
3 2

.

. . .

5.函数 f ?x? ? x 3 ? ax2 ? bx ? a 2 在 x ? 1 处有极值 10 ,求 a ,b 的值

二、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 6. (本小题 15 分).某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品,若该商品零售价为 P 元,
则销售量 Q(单位 : 件) 与零售价 P (单位:元)有如下关系: Q ? 8300 ?170P ? P2 。问 该商品零售价定为多少时,毛利润 L 最大,并求最大毛利润(毛利润 ? 销售收入 ? 进货支 出)

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高二数学晚间小练习(023)答案
1 1 n ?1
2 ? ??,0? 3

(?1,11)
1 x 4

4 y ? 2x 或 y ? ? 5? 6

?a ? ?4 ?b ? 11
解 析 : 设 毛 利 润 为

L ? P?

? P? ? 20Q ? Q ? P ? 20? Q

? ? 8300 ? 170 P ? P 2 ? ? P ? 20 ?

? ? P3 ? 150P2 ? 11700P ? 166000 , ∴ L' ? P? ? ?3P2 ? 300P ?11700 , 令 L' ( x) ? 0 得
' P ? 30 或 P ? ?130 (舍去) ,此时 L ?30? ? 23000 因为在 P ? 30 附近的左侧 L ? P? ? 0 ,

右侧 L ? P? ? 0 ,所以 L ? 30? 是极大值,根据实际问题的意义知 L ? 30? 是最大值,即零售价
'

定为每件 30 元时,最大毛利润最大为 23000 元。

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