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高中数学函数的奇偶性课件1 新课标 人教版 必修1(B).ppt_图文

函数的奇偶性

复习目标 ? 1.理解函数的奇偶性的概念,并能判断一 些简单函数的奇偶性 ? 2.能利用函数奇偶性与图象的对称性的 关系解题 ? 3.培养数形结合的能力
学习重点:函数奇偶性的分析

学习难点:函数奇偶性的应用

函数的奇偶性
? 要点·疑点·考点 ?课

前 热 身 ? 能力·思维·方法 ? 延伸·拓展 ?误 解 分 析 ? 课堂小结

要点·疑点·考点
1.函数的奇偶性的定义 (1) 如果对于函数 f(x) 定义域内任意一个 x, 都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数. (2)如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x, 都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数 如果函数 f(x) 是奇函数或偶函数,那么 我们就说函数f(x)具有奇偶性

2.具有奇偶性的函数图象特点 一般地,奇函数的图象关于原点对称, 反过来,如果一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数是奇函数;偶函数的图象关于y 轴对称,反过来,如果一个函数的图象关于y 轴对称,那么这个函数是偶函数

3.函数奇偶性的判定方法 (1) 根据定义判定,首先看函数的定义域 是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇 非偶函数 . 若对称,再判定 f(-x)=f(x) 或 f(-x)=f(x). 有时判定 f(-x)=±f(x) 比较困难,可考虑 判定f(-x)±f(x)=0或判定f(x)/f(-x)=±1 (2)利用定理,借助函数的图象判定

(3)重要性质 ①在定义域的公共部分内.两奇函数之 积(商)为偶函数;两偶函数之积(商)也为偶函 数;一奇一偶函数之积 ( 商 )为奇函数 (注意取 商时分母不为零); ②偶函数在区间(a,b)上递增(减),则在 区间(-b,-a)上递减(增);奇函数在区间(a,b) 与(-b,-a)上的增减性相同.

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课前热身
1 . 已 知 函 数 f(x)=ax2+bx+c(2a-3≤x≤1) 是 偶 函 数 , 则 {0} ,c∈___ {1} ,b∈____ a∈___ R 2. 如果奇函数 f(x) 在 [3,7] 上是增函数 , 且最小值是 5, 那 么f(x)在[-7,-3]上是 ( B ) A.增函数且最小值为-5 B.增函数且最大值为-5

C.减函数且最小值为-5

D.减函数且最大值为-5

3. 已知奇函数 f(x) 在 x>0 时的表达式为 f(x)=2x-1/2, 2x+1/2 则当x<0时 ,f(x)=____________
4.已知y=f(x-1)是偶函数,则y=f(x)的图象关于( A ) A.直线x+1=0对称 B.直线x-1=0对称 C.直线x-1/2=0对称 D.y轴对称

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能力·思维·方法
1.判断下列函数的奇偶性:
(1) f ?x ? ? 2 x 4 ? 3x 2
(2) f ?x ? ? lg x ? x 2 ? 1

?

?

【解题回顾】本题还可利用f(-x)+f(x)=0求解较简便
1 (3) f ?x ? ? lg x ? lg 2 ?x ? 0? x
2

【解题回顾】本题应先化简 f(x),再判断 f(x) 的奇偶 性,若直接判断f(x)的奇偶性,即
f ?x ? ? lg ?? x ? ? lg
2

1 1 2 ? lg x ? lg ? f ?x ? 2 2 x ?? x ?

∴f(x)为偶函数,这样就遗漏f(x)也是奇函数

1? x (4) f ?x ? ? ?1 ? x ? 1? x

【解题回顾】判断函数的奇偶性时,应首先注意其 定义域是否关于原点对称.
2.函数f(x),x ? R,若对于任意a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b). 求证:f(x)为奇函数

【解题回顾】数学解题的过程就是充分利用已知条 件实施由条件向结论的转化过程.当条件不能直接推 出结论时就要想方设法创造使用条件的氛围,采用 逐步逼近的手法达到解题目的.

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延伸·拓展
1? ? 1 3.已知 f ?x ? ? x? x ? ? ? 2 ?1 2 ?

其定义域为x≠0的实数

(1)判断f(x)的奇偶性;(2)求证f(x)>0 2x ?1 (1)解:f(x)=x· 其定义域为x≠0的实数 x 2( 2 ? 1) x x ?x 1 ? 2 2 ?1 又f(-x)=-x· 2 ? 1 =-x· = x· x x ?x 2 ( 1 ? 2 ) 2 ( 2 ? 1) 2(2 ? 1)
∴f(x)为偶函数. (2)证明:由解析式易见,当x>0时,有f(x)>0. 又f(x)是偶函数,且当x<0时-x>0, ∴当x<0时f(x)=f(-x)>0, 即对于x≠0的任何实数x,均有f(x)>0. =f(x)

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1 1 【解题回顾】(1)判断 g ?x ? ? x ? 2 ?1 2

的奇偶性要比直

接判断f(x)的奇偶性要简洁; (2)因为f(x)是偶函数,所以求证f(x)>0的关键是证当 x>0时,f(x)>0
1? ? 1 变题1:已知g(x)为奇函数,且 f ?x ? ? g ?x ?? x ? ? , ? 2 ?1 2 ? 判断f(x)的奇偶性 ? 1 ? ? ? f x ? x ? a ? x ?是偶函数,试求a的值. 变题2 已知函数 ? 2 ?1 ?

误解分析
1.判断函数是否具有奇偶性.首先要看函数的定义 域是否关于原点对称.即函数定义域关于原点对称 是函数具有奇偶性的必要条件. 2.判断函数是否具有奇偶性.一般要对解析式进行化 简,这样才能得出正确结论,如判断函数f(x)=√1-x2 +√x2-1的奇偶性,在解答上很容易得出如下结论: ∵f(-x)=√1-(-x)2+√(-x)2-1=f(x), ∴f(x)是偶函数.事实上函数的定义域为{-1,1},将f(x) =√1-x2 +√x2-1化简得f(x)=0.

∴f(x)既是偶函数,又是奇函数.

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课堂小结
1.函数奇偶性的判断方法 ? 2.函数奇偶性的图象特点 ? 3.函数奇偶性的用途
?


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