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全国新课标卷文理科数学2012-2015试题分类汇编16统计与概率(理科)


16 统计与概率(理科)
1.(2012 新课标理科 15)某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常 工作,且元件 3 正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均 服从正态分布 N (1000,502 ) ,且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为

3 8

【解析】使用寿命超过 1000 小时的概率为

3 8

三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 N (1000,502 ) 得:三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 p ?

1 2
2

超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率 P 1 ? 1 ? (1 ? p ) ? 那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 p2 ? p1 ? p ?

3 4

3 8

2. (2012 新课标理科 18) (本小题满分 12 分) 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售, 如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理。 (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y (单位:元)关于当天需求量 n (单位:枝, n ? N )的函数解析式。 (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表: 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。 (i)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位:元) ,求 X 的分布列, 数学期望及方差; (ii)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝? 请说明理由。 【解析】 (1)当 n ? 16 时, y ? 16 ? (10 ? 5) ? 80 当 n ? 15 时, y ? 5n ? 5(16 ? n) ? 10n ? 80

得: y ? ?

?10n ? 80( n ? 15) (n ? N ) (n ? 16) ?80

(2) (i) X 可取 60 , 70 , 80

P( X ? 60) ? 0.1, P( X ? 70) ? 0.2, P( X ? 80) ? 0.7
X 的分布列为

X
P

60

70

80

0.1

0.2

0.7

EX ? 60 ? 0.1 ? 70 ? 0.2 ? 80 ? 0.7 ? 76

DX ? 162 ? 0.1 ? 62 ? 0.2 ? 42 ? 0.7 ? 44
(ii)购进 17 枝时,当天的利润为

y ? (14 ? 5 ? 3 ? 5) ? 0.1 ? (15 ? 5 ? 2 ? 5) ? 0.2 ? (16 ? 5 ? 1? 5) ? 0.16 ? 17 ? 5 ? 0.54 ? 76.4
76.4 ? 76 得:应购进 17 枝
3. (2013 新课标Ⅰ卷理科 19) (本小题满分 12 分) 一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取 4 件作检验,这 4 件 产品中优质品的件数记为 n。如果 n=3,再从这批产品中任取 4 件作检验,若都 为优质 品,则这批产品通过检验;如果 n=4,再从这批产品中任取 1 件作检验,若为优质品, 则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验。 假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是 否为优质品相互独立 (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费用为 100 元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品 作质量检验所需的费用记为 X(单位:元) ,求 X 的分布列及数学期望。
3.设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A,第一次取出的 4 件产品中全为优质品 为事件 B,第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 C, 第二次取出的 1 件产品是优质品为事件 D, 这批产品通过检验为事件 E,根据题意有 E=(AB)∪(CD),且 AB 与 CD 互斥, ∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)= C4 ( (Ⅱ)X 的可能取值为 400,500,800,并且 P(X=400)=1- C4 ( ∴X 的分布列为 X P 400 500 800
3 3

1 2 1 1 4 1 4 1 3 ) ? ? ( ) + ( ) ? = .?6 分 2 2 2 2 2 64

1 3 1 1 4 11 1 1 1 3 1 3 ) ? ? ( ) = ,P(X=500)= ,P(X=800)= C4 ( ) ? = , 2 2 2 16 16 2 2 4

11 16

1 16

1 4
??10 分

EX=400×

11 1 1 +500× +800× =506.25 16 16 4

??12 分

4. (2013 新课标卷Ⅱ理科 14)从 n 个正整数 1, 2, …n 中任意取出两个不同的数,若取出的 两数之和等于 5 的概率为

1 ,则 n ? _ ___8____. 14

5. (2013 新课标卷Ⅱ理科 19) (本小题满分 12 分)经销商经销某种农产品,在一个销售季 度内,每售出 1 t 该产品获利润 500 元,未售出的产品,每 1 t 亏损 300 元.根据历史资料, 得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图, 如图所示. 经销商为下一个销售季度购进了

130 t 该农产品,以 X (单位:t,100 ? X ? 150 )表示下一个销售季度内的市场需求量,
T (单位:元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润.
(Ⅰ)将 T 表示为 X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率; (Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入 该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率 (例如: 若 X ? [100,110) , 则取 X ? 105 , 且 X ? 105 的概率等于需求量落入 [100,110) 的概率),求利润 T 的数学期望.
频率 / 组距
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 100 110 120 130 140 150 需求量 x / t

6. (2014 新课标卷Ⅰ理科 5)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则 周六、周日都有同学参加公益活动的概率( D )

A.

1 8

B.

3 8

C.

5 8

D.

7 8

7. (2014 新课标卷Ⅰ理科 18)(本小题满分 12 分)从某企业的某种产品中抽取 500 件,测量 这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:

(Ⅰ)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s (同一组数据用该区间的中点 值作代表) ; (Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N (?, ? ) ,其
2

2

中 ? 近似为样本平均数 x , ? 近似为样本方差 s .
2
2

(i)利用该正态分布,求 P(187.8 ? Z ? 212.2) ;

(ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区 间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求 EX . 附: 150 ≈12.2. 若 Z ~ N (?, ? 2 ) ,则 P( ? ? ? ? Z ? ? ? ? ) =0.6826, P(? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ) =0.9544. (18)解: (I)抽取产品的质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s 分别为
2

x ? 170 ? 0.02 ? 180 ? 0.09 ? 190 ? 0.22 ? 200 ? 0.33
?2 1 0? 0 . 2? 4
=200

2? 20

0? . 0 8 ?2 3 0

0.02

s2 ? (?30)2 ? 0.02 ? (?20)2 ? 0.09 ? (?10)2 ? 0.22
?0 ? 0 . 3? 3 21 ?0 ? 150.
(II) (i)由(I)知, Z ~ N (200,150) ,从而
2 0 ?. 2 4 ? 2 0 ? 0 .2 ? 08

30

0.02

??6 分

P(187.8 ? Z ? 212.2) =P(200 ?12.2 ? Z ? 200 ? 12.2) ? 0.6826.

??9 分

(ii)由(i)知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为 0.682 6, 依题意知 X-B(100,0.682 6),所以 EX ? 100 ? 0.6826 ? 68.26. ??12 分

8. (2014 新课标卷Ⅱ理科 5)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概 率是 0.75,连续两天为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气 质量为优良的概率是( A ) A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 9.(2015 新课标 1 卷理科 4)投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试,已知 某同学每次投篮投中的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概 率为(A) (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312

10.(2015 新课标Ⅱ卷理科 18)(本小题满分 12 分) 某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A , B 两地区分别随机调查了 20 个用户, 得到用户对产品的满意度评分如下:

A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ) 根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两 地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可) ;

(Ⅱ) 根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个不等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 70 分到 89 分 不低于 90 分 不满意 满意 非常满意

记事件 C: “A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”。假 设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据,以事件发生的频率作为相应 事件发生的概率,求 C 的概率。


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