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高中数学 第一章 第三节 空间几何体的表面积和体积(4)教学设计 新人教A版必修2


1.3 空间几何体的表面积与体积(第 4 课时)
设计者:田许龙 教学内容 球的体积和表面积 1.外接球的表面积和体积公式的应用. 2.通过对与球组合体球体的研究 ,掌握内切球的表面积和体积的求法。 3.掌握与球有关的几何体的几何量的求法。 4.培养学生空间想象能力和思维能力。 通过对几何体的内切球、外接球有关的几何体的求法研究,培养学生学会 教学目标 过程与方法 观察、分析、推理、论证的思维方法,培养学生空间想象能力,领悟数形结合 的数学思想。 情感、态度与价值 观 通过对生活中事物联系课本知识, 培养学生主动探索、 勇于发现的求知 精神;养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯.

知识与技能

教学重点

与球有关的几何体的表面积和体积公式的应用.

教学难点 教学方法 教学准备 教学步骤

关于球的组合体的计算 自主学习、分组讨论法、师生互动法。 导学、课件。 教什么 复习球 的相关 概念、 公 式 怎样教 新课引入, 通过对球及球的相关概念以及球的表面积 和体积公式的回顾, 引出与球有关的几何体的表面积及体 积。 (出示《课件 1》 ) 1. 球的半径为 R,它的体积和表面积只与半径 R 有关, 是以 R 为自变量的函数.事实上,如果球的半径为 R,那 如何组织教学 同学们, 我们已经学习 了球面、球体、及球的表面积 及体积公式等相关知识,要求 大家掌握概念、公式,并且加 深对球心、截面、半径的理解, 利用转化为直角三角形的方法 找到它们之间的关系,看多媒 体(出示《课件 1》)

一、温故 (情境导入) (5 分钟)

4 3 么球的表面积为 S=4π R ,体积为 V ? ? R . 3
2

1

球的性质:(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面。 (如上
2 2 左图)(2) r ? R ? d 讨论: (1)若 d=0 则 r=R.这时截得的圆叫大圆; (2)若 0<d<R,则这时截得的圆叫小圆; (3)若 d=R,则 r=0,和球只有一个公共点,此平面与 球相切。

了解与球有关的几何体的面积、 体积等几何 长方体、 看书两分钟, 量的求法; 掌握长方体、正方体相接或相切球问题。 正方体 出示课件 2-1 相接或 思考: 1.如果一个长方体的一个顶点上的棱长分别是 3,4,5,且 相切球 它的八个顶点都在同一个球面上, 那么这个球的表面积是 问题。 50 ? 。 2.如果是一个球在棱长是 4 的正方体内, 且和正方体的八 个面都相切,那么这个球的表面积是 16

同学们,现在看完书并解决 以下几个问题: (1)长方体的外接球问题? (2)正方体的内切球问题? (3)与正方体各条棱都相切的 球的问题? 一会儿找学生回答。 刚才几个同学回答的对吗?请 讨论。

125 2 ? 3 ,体积是

?

,体积是

32 ? 3
二、知新 (自主学习 合作探究展 示能力) (35 分钟) 这个球的表面积是 32 ? ,体积是

3.如果一个球和棱长为 4 的正方体的八条棱都相切, 那么 1.注意:球心在长方体的体对

64 2 ? 3

角线上 2.注意:正方体的棱长是球的 直径 3.注意:正方体的面对角线是 球的直径 现在我们看多媒体(出示课件 2-1)

四面体 的外接 球问题

学生思考从球与正方体、长方体的组合体类比四面体 的外接球问题。 教师巡回指导, 然后各个学习小组选一名 学生代表回答,之后老师出示《课件 2-2》 。 题目:求棱长为 a 的正四面体的外接球与内切球的半径

同学们,前边我们学习了长方 体、正方体的外接球,正方体 的内切球,用类比的方法求正 四面体的外接球和内切球,考 虑外接球和内切球半径与正四

6 a 外接球半径 4

6 a ,内切球半径 12

2

面体的棱长。 思考后,学习小组进行讨论回 答, 回答的很好,请看多媒体(出 示《课件 2-2》 ) 例题解 答 学生看导学案完成例题, 难度大的小组讨论, 完成导 学内容, 并派代表说出小组结论, 教师参与小组讨论指导 个别小组或学生并汇总结果并反馈。 之后,老师出示《课件 3》 例题.有一个轴截面为正三角形的圆锥容器,内放一个半 径为 R 的内切球, 然后将容器注满水, 现把球从容器中取 出, 水不损耗, 且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆 台体,问容器中水的高度为多少? 分析:转化为求水的体积.画出轴截面,充分利用轴截面 中的直角三角形来解决. 解:作出圆锥和球的轴截面图如图所示, 圆锥底面半径 前面我们学习了长方体、 正方体相接或相切球问题,四 面体的外接球问题求法,接下 来大家看导学案的例题并给出 解答。 好了,例题是一个圆锥与 球的相切以及圆台的综合题 目、可先求出圆锥的底面半径 和高,再求圆锥和球的体积, 之后由圆台的体积公式求解, 四面体的外接球问题看多媒体 订正自己的答案。 看多媒体 (出 示课件 3)

r?

R ? 3R , tan30?

圆锥母线 l ? 2r ? 2 3R ,圆锥高为

h ? 3r ? 3R ,
V1 ?

?
3

r 2h ?

4? 3 ? 4? 3 5? 3 , R ? ? 3R 2 ? 3R ? R ? R 3 3 3 3

球取出后,水形成一个圆台,下底面半径 r 上底面半径为 r′,

? 3 R ,设

h? ? (r ? r?) tan 60? ? 3( 3R ? r ') ,

5? 3 ? R ? h '(r 2 ? rr? ? r?2 ) 3 3

5R3 ? 3( 3R ? r ')(r '2 ? 3Rr '? 3R 2 )
R3 ? 3(3 3R3 ? r '3 ) ,

3

解得

r? ? 3

4 16 , R?6 R 3 3

∴( h? ? (3 ? 3 12)R ).。
3 答:容器中水的高度为( 3 ? 12 )R.

巩固提 高

学生先独立思考完成导学案, 之后小组交流老师参与 其中指导个别组和学生。然后教师出示《课件 4》 ,学生 与课件内容对比,订正自己思路和步骤。

接下来, 考验大家的时候到了, 请同学们独立思考完成题目, 之后学习小组互相交流,看自

1.三个球半径之比是 1∶2∶3,那么最大球的表面积是 己能否得到准确答案。 其余两个球的表面积之和的 ( B ) 这两个题目有一定难度,要认 A.1 倍 B. 9 倍 5 C.2 倍 D.3 倍 真思考, 。 分析;1 利用球的表面积 2.湖面上漂着一个小球, 湖水结冰后将球取出, 冰面上留 下一个直径为 12cm,深 2cm 的空穴,则该球的表面积 2 为__400 ? ___cm . 公式可以求解 2 这个题目考虑球缺的问 题,由小圆半径和小圆到到圆 心的距离可求解。解这类题目 需要发挥空间想象能力,使用 补形(补成半球或球)来解决 问题。 好,请同学们看多媒体 ( 《课件 4》内容) : 课堂练 习: 学生看书本 36 页复习题的 8、 9 学生独立思考解决, 后同 桌交流,提问学生并师生一起得出准确答案。 大家看课本 36 页复习题的 8、 9 ,独立思考后把答案写在书 上,一会儿找几个同学分别说 出答案。 很好!

4

总结、 布 置作业

三、总结 (归纳总结 课堂检测) (4 分钟)

同学们,这节课我们共同学 习了:球的表面积及体积的求 对学生出现的问题进行点拨; (2)强调本节课的重难点。 法,大家根据例题和练习题总 对学习过程中出现的问题做好整理反思, 教师出示 《课件 结一下求与球有关的组合体量 时所采用的方法。 5》使全体学生记忆校对自己的总结. 好, 看多媒体 (出示 《课件 5》 ) , 和你的总结一样吗! 同学们,求几何体表面积需要 学习总结: 提醒学生对本节课所学内容进行总结, (1) 注意的问题: 1、外接球问题; 2.内切球问题; 3.与球有关的组合体的求法: 相切问题一般采用切割手段, 外 接 问 题 考 虑 补 形 求 球的 直 径。

同学们, 根据我们今天学习 的内容,课后完成作业:课后 后作业, 预习下一课《空间点、直线、平面之间的位置关系》 习题 37 页复习题 B 组第 3、4 四、作业 提出拓 拓展问题: 结合例题和练习题, 思考与球其它组合体 题小题写在作业本上。 (布置作业) 同时思考今天的拓展问 展问题。 的几何量的求法。 题, 将你的答案写在作业本上。 (1 分钟) 预习下一课时《空间点、 布置课 适当的布置课后作业。 《出示课件 5》 直线、平面之间的位置关系》 。

5


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