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《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习:必修部分 开卷速查25 平面向量基本定理及坐标表示


开卷速查(二十五)

平面向量基本定理及坐标表 示

A 级 基础巩固练 1.[2014· 北京]已知向量 a=(2,4),b=(-1,1),则 2a-b=( A.(5,7) C.(3,7) B.(5,9) D.(3,9) )

解析: 因为 a=(2,4), b=(-1,1), 所以 2a-b=(2×2-(-1), 2×4 -1)=(5,7),选 A. 答案:A → =3a,则点 B 的坐标为 2.已知点 A(-1,5)和向量 a=(2,3),若AB ( ) A.(7,4) C.(5,4) B.(7,14) D.(5,14)

→ =(x+1,y-5). 解析:设点 B 的坐标为(x,y),则AB

?x+1=6, ?x=5, → 由AB=3a,得? 解得? y - 5 = 9 , ? ?y=14.
答案:D 3.已知向量 a=(-1,1),b=(3,m),a∥(a+b),则 m=( A.2 C.-3 B.-2 D.3 )

解析: a+b=(2, m+1), 由 a∥(a+b), 得(-1)×(m+1)-2×1=0, 解得 m=-3.

-1-

答案:C → =2PC → ,点 Q 是 AC 的中点, 4.在△ABC 中,点 P 在 BC 上,且BP → =(4,3),PQ → =(1,5),则BC → 等于( 若PA A.(-2,7) C.(2,-7) ) B.(-6,21) D.(6,-21)

→ =3PC → =3(2PQ → -PA → )=6PQ → -3PA → =(6,30)-(12,9)=(- 解析:BC 6,21). 答案:B → =2DB →, → =rAB → +sAC →, 5. 已知△ABC 中, 点 D 在 BC 边上, 且CD CD 则 r+s 的值是( 2 A.3 C.-3 → =2DB →, 解析:∵CD → =2CB → =2(AB → -AC → ). ∴CD 3 3 → =2AB → -2AC, ∴CD 3 3 → =rAB → +sAC → ,∴r=2,s=-2. 又CD 3 3 ∴r+s=0.故选 D. 答案:D 1 ? ? 6.已知向量 a=?8,2x?,b=(x,1),其中 x>0,若(a-2b)∥(2a+
? ?

) 4 B.3 D.0

b),则 x 的值为(

)

-2-

A.4 C.0
?

B.8 D.2
?

1 ? ? 解析:a-2b=?8-2x,2x-2?,2a+b=(16+x,x+1), 由已知(a-2b)∥(2a+b),显然 2a+b≠0, 1 ? ? 故有?8-2x,2x-2?=λ(16+x,x+1),λ∈R,
? ?

? ?8-2x=λ?16+x?, ∴?1 ? ?2x-2=λ?x+1?
答案:A

?x=4(x>0).

→ =1NC → P 是 BN 上的一点, → =mAB → 7. 如图, 在△ABC 中, AN 若AP 3 , 2→ +11AC ,则实数 m 的值为__________. → =AB → +BP → =AB → +kBN → 解析:因为AP 1 → →? → +k(AN → -AB → )=AB → +k? ? AC ? =AB 4 -AB
? ?

→ +kAC → =(1-k)AB 4 , → =mAB → + 2 AC → 且AP 11 ,

-3-

k 2 所以 1-k=m,4=11, 8 3 解得 k=11,m=11. 3 答案:11 8.△ABC 的三内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,设向量 m =(3c-b,a-b),n=(3a+3b,c),m∥n,则 cosA=________. 解析:∵m∥n,∴(3c-b)· c=(a-b)(3a+3b), 即 bc=3(b2+c2-a2). b2+c2-a2 1 b2+c2-a2 1 ∴ =3,∴cosA= 2bc =6. bc 1 答案:6 m 9.已知向量 a=(2,3),b=(-1,2),若 ma+nb 与 a-2b 共线,则 n =______. 解析:ma+nb=(2m,3m)+(-n,2n)=(2m-n,3m+2n), a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1). 2m-n 3m+2n 由于 ma+nb 与 a-2b 共线,则有 4 = . -1 m 1 ∴n-2m=12m+8n,∴ n =-2. 1 答案:-2 10.已知 a=(1,0),b=(2,1).求: (1)|a+3b|;
-4-

(2)当 k 为何实数时, ka-b 与 a+3b 平行, 平行时它们是同向还是 反向? 解析:(1)∵a=(1,0),b=(2,1),∴a+3b=(7,3). 故|a+3b|= 72+32= 58.

(2)ka-b=(k-2,-1),a+3b=(7,3), ∵ka-b 与 a+3b 平行, 1 ∴3(k-2)+7=0,即 k=-3
? 7 ? 此时 ka-b=(k-2,-1)=?-3,-1?, ? ?

a+3b=(7,3),则 a+3b=-3(ka-b), 即此时向量 a+3b 与 ka-b 方向相反. B级 能力提升练

11.如图所示,A,B,C 是圆 O 上的三点,CO 的延长线与线段 → =mOA → +nOB → ,则 m+n 的取值 BA 的延长线交于圆 O 外一点 D,若OC 范围是( ) B.(1,+∞) D.(-1,0)

A.(0,1) C.(-∞,-1)

-5-

→ =λBA → (λ>1),则OD → =OB →+ 解析:由点 D 是圆 O 外一点,可设BD → =λOA → +(1-λ)OB →. λBA → =-μOC → (μ>1), 又 C,O,D 三点共线,令OD → =-λ OA → -1-λOB → (λ>1,μ>1), 则OC μ μ 1-λ λ λ 1-λ 1 所以 m=-μ,n=- μ ,且 m+n=-μ- μ =-μ∈(-1,0). 答案:D → =(1,-2),OB → =(a,-1),OC → =(-b,0),a>0,b>0, 12.设OA 1 2 O 为坐标原点,若 A,B,C 三点共线,则a+b的最小值为__________. → =OB → -OA → =(a-1,1),AC → =OC → -OA → =(-b-1,2).∵A, 解析:AB B,C 三点共线, → ∥AC →. ∴AB ∴2(a-1)-(-b-1)=0. ∴2a+b=1. 1 2 ?1 2? ∴a+b=?a+b?(2a+b) ? ? b 4a =4+a+ b ≥4+2 b 4a a·b =8.

b 4a 1 1 当且仅当a= b ,即 b=2,a=4时取等号. 1 2 ∴a+b的最小值是 8.
-6-

答案:8 13.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量 a=(2,1), A(1,0),B(cosθ,t). → ,且|AB → |= 5|OA → |,求向量OB → 的坐标; (1)若 a∥AB → ,求 y=cos2θ-cosθ+t2 的最小值. (2)若 a∥AB → =(cosθ-1,t), 解析:(1)∵AB → ,∴2t-cosθ+1=0.∴cosθ-1=2t.① 又 a∥AB → |= 5|OA → |,∴(cosθ-1)2+t2=5.② 又∵|AB 由①②得,5t2=5,∴t2=1.∴t=± 1. 当 t=1 时,cosθ=3(舍去),当 t=-1 时,cosθ=-1, → =(-1,-1). ∴B(-1,-1),∴OB cosθ-1 (2)由(1)可知 t= 2 , ?cosθ-1?2 ∴y=cos θ-cosθ+ 4
2

5 3 1 =4cos2θ-2cosθ+4 6 ? 1 5? =4?cos2θ-5cosθ?+4
? ?

3? 5? 4 =4?cosθ-5?2-20,
? ?

3 4 1 ∴当 cosθ=5时,ymin=-20=-5. 14. [2014· 陕西]在直角坐标系 xOy 中, 已知点 A(1,1), B(2,3), C(3,2),
-7-

→ =mAB → +nAC → (m, 点 P(x, y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上, 且OP n∈R). 2 → |; (1)若 m=n=3,求|OP (2)用 x,y 表示 m-n,并求 m-n 的最大值. 2 → → =(2,1), 解析:(1)∵m=n=3,AB =(1,2),AC → =2(1,2)+2(2,1)=(2,2), ∴OP 3 3 → |= ∴|OP 22+22=2 2.

→ =m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n), (2)∵OP

?x=m+2n, ∴? ?y=2m+n,
两式相减,得 m-n=y-x. 令 y-x=t,由图知,当直线 y=x+t 过点 B(2,3)时,t 取得最大值 1,故 m-n 的最大值为 1.

-8-


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