2014-2015 学年上海市南洋模范中学高一（上）期中数学试卷 一、填空题（本大题满分 36 分） 1． （3 分）设 U=R，M={x|x2﹣2x＞0}，则?UM= 2． （3 分）函数 ， ． ． ． ，f（x）?g（x）= 3． （3 分）函数 f（x+1）的定义域为[﹣1，1]，则函数 f（x）的定义域为 4． （3 分）已知：f（x﹣ ）=x2+ ，则 f（x）= ． 5． （3 分）已知函数 f（x）为定义在 R 上的奇函数，且当 x＞0 时，f（x）=x3+2x2 ﹣1，则当 x＜0 时 f（x）= 6． （3 分）设函数 值范围是 ． ． ，则使得 f（x）≥1 的自变量 x 的取 7． （3 分）已知函数 f（x）=2ax2+4（a﹣3）x+5 是在区间（﹣∞，3）上的减函 数，则 a 的取值范围是 ． 8． （3 分）若两个正实数 x、y 满足 + =1，并且 x+2y＞m2+2m 恒成立，则实数 m 的取值范围是 ． 9． （ 3 分） y=f （ x ）是定义在 R 上的偶函数且在 [0 ， + ∞）上递增，不等式 的解集为 ． 10． （3 分）定义在 R+上的函数 f（x）满足： （1）f（2）=1； （2）f（xy）=f（x） +f（y） ； （3）x＞y 时，f（x）＞f（y） ； （4）f（x）+f（x﹣3）≤2 则 x 的取值范围 是 ． 11． （3 分）如图，已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角锈蚀，其中 AE=4 米， CD=6 米．为了合理利用这块钢板，将在五边形 ABCDE 内截取一个矩形块 BNPM， 使点 P 在边 DE 上．则矩形 BNPM 面积的最大值为 平方米． 第 1 页（共 16 页） 12． （3 分）在平面直角坐标系中，若点 A，B 同时满足：①点 A，B 都在函数 y=f （x）图象上；②点 A，B 关于原点对称，则称点对（A，B）是函数 y=f（x）的 一个“姐妹点对”（规定点对（A，B）与点对（B，A）是同一个“姐妹点对”） ．那 么函数 的“姐妹点对”的个数为 ． 二、选择题（本大题满分 18 分） 13． （3 分）“ ”是“不等式|x﹣1|＜1 成立”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分亦非必要条件 ） 14． （3 分）若 a＜b＜0，则下列不等式中成立的是（ A． B． C．|a|＞|b| D．a2＜b2 15． （3 分）有下列四个命题： ①“若 xy=1，则 x，y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题； ③“若 m≤1，则 x2﹣2x+m=0 有实数解”的逆否命题； ④“若 A∩B=B，则 A? B”的逆否命题． 其中为真命题的是（ A．①② B．②③ ） C．④ D．①②③ 的定义域是全体实数，那么 m 的取值范 16． （3 分）已知函数 围是（ A． ） B． C． D． 17． （3 分）某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各 班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y=[x]（[x]表示不大于 x 的最大整数） 可以表示为（ A．y=[ ） ] C．y=[ ] D．y=[ ] ] B．y=[ 第 2 页（共 16 页） 18． （3 分）设集合 A=[0， ） ，B=[ ，1]，函数 f （x）= x0∈A，且 f[f （x0）]∈A，则 x0 的取值范围是（ A． （0， ] B．[ ， ] C． （ ， ） D．[0， ] ） ，若 三、解答题（本大题共有 5 题，满分 46 分） 19． （8 分）已知集合 A={x|（x﹣2）[x﹣（3a+1）]＜0}， （1）当 a=2 时，求 A∩B； （2）当 时，求使 B? A 的实数 a 的值． ． 20． （8 分）已知二次函数 f（x）的二次项系数为 a，满足不等式 f（x）＞﹣2x 的解集为（1，3） ，且方程 f（x）+6a=0 有两个相等实根，求 f（x）的解析式． 21． （10 分）已知函数 f（x）=ax2+（a﹣1）x（常数 a∈R） ． （1）讨论函数 f（x）的奇偶性，并用奇偶性的定义加以证明． （2）设 的定义加以证明． 22． （10 分）某生产旅游纪念品的工厂，拟在 2010 年度将进行系列促销活动．经 市场调查和测算， 该纪念品的年销售量 x 万件与年促销费用 t 万元之间满足 3﹣x 与 t+1 成反比例． 若不搞促销活动， 纪念品的年销售量只有 1 万件． 已知工厂 2010 年生产纪念品的固定投资为 3 万元，每生产 1 万件纪念品另外需要投资 32 万 元．当工厂把每件纪念品的售价定为：“年平均每件生产成本的 150%”与“年平均 每件所占促销费一半”之和时，则当年的产量和销量相等． （利润=收入﹣生产成 本﹣促销费用） （1）求出 x 与 t 所满足的关系式； （2）请把该工厂 2010 年的年利润 y 万元表示成促销费 t 万元的函数； （3）试问：当 2010 年的促销费投入多少万元时，该工厂的年利润最大？ 23． （10 分）已知函数 f（x）=（|x|﹣b）2+c，函数 g（x）=x+m． （1）当 b=2，m=﹣4 时，f（x）≥g（x）恒成立，求实数 c 的取值范围； （2）当 c=﹣3，m=﹣2 时，方程 f（x）=g（x）有四个不同的解，求实数 b 的取 值范围． 第 3 页（共 16 页） ，判断函数 g（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性 第 4 页（共 16 页） 2014-2015 学年上海市南洋模范中学高一（上）期中数学 试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题满分 36 分） 1． （3 分）设 U=R，M={x|x2﹣2x＞0}，则?UM= [0，2]