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高一数学人教B版必修1课后强化作业:3.1.2 第1课时《指数函数的图象与性质》


第三章

3.1

3.1.2

第 1 课时

一、选择题 1.若函数 y=(2a-1)x+a-2 为指数函数,则 a 的值为( A.0 C.1 [答案] D 2a-1>0 ? ? [解析] 要使函数 y=(2a-1)x+a-2 为指数函数,应满足?2a-1≠1 ? ?a-2=0 2.函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1)对于任意的实数 x、y 都有( A.f(xy)=f(x)f(y) C.f(x+y)=f(x)f(y) [答案] C [解析] ∵f(x)=ax,∴f(x+y)=ax y,f(x)· f(y)=ax· ay=ax y,
+ +

)

1 B. 2 D.2

,解得 a=2.

)

B.f(xy)=f(x)+f(y) D.f(x+y)=f(x)+f(y)

∴f(x+y)=f(x)· f(y). 3. (2013~2014 学年度福建北斗中学高一期中测试)函数 y=ax 在[0,1]上的最大值与最小 值的和为 3,则 a=( 1 A. 2 C.4 [答案] B [解析] 本题主要考查指数函数的单调性在求最值中的应用.因为函数 y=ax 在 R 上单 调,所以最大值与最小值的和即为 a0+a1=3,得 a=2,故选 B. 4.函数 y=2 x 的图象是下图中的(


) B .2 1 D. 4

)

[答案] B 1 1 - [解析] ∵y=2 x=( )x,∴函数 y=( )x 是减函数,且过点(0,1),故选 B. 2 2
x ? ?2 +1,x<1 5.(2013~2014 学年度人大附中高一月考)已知函数 f(x)=? 2 ,若 f[f(0)]= ?x +ax,x≥1 ?

4a,则实数 a 等于( 1 A. 2 C.2 [答案] C

) 4 B. 5 D.9

[解析] ∵f(0)=20+1=2, ∴f[f(0)]=f(2)=4+2a=4a,解得 a=2. 6.若函数 y=(1-a)x 在 R 上是减函数,则实数 a 的取值范围是( A.(1,+∞) C.(-∞,1) [答案] B [解析] ∵函数 y=(1-a)x 在(-∞,+∞)上是减函数, ∴0<1-a<1,∴0<a<1. 二、填空题 7.(2013~2014 学年度湖南张家界高一联考)比较大小:2.12014________2.12013.(填“>”或 “<”) [答案] > [解析] ∵指数函数 y=2.1x,x∈R 单调递增, ∴2.12014>2.12013. 8. 已知 f(x)、 g(x)都是定义在 R 上的函数, 且满足以下条件: ①f(x)=ax· g(x)(a>0, 且 a≠1); B.(0,1) D.(-1,1) )

f?1? f?-1? 5 ②g(x)≠0.若 + = ,则 a 等于________. g?1? g?-1? 2 1 [答案] 2 或 2 [解析] 由 f(x)=ax· g(x),得 ∵ f?x? =ax. g?x?

f?1? f?-1? 5 5 - + = ,∴a+a 1= . 2 g?1? g?-1? 2

1 解得 a=2 或 . 2 三、解答题 1 - 9.(2013~2014 学年度广东湛江一中高一上学期期中测试)函数 f(x)= (ax+a x),(a>0 2 且 a≠1). (1)讨论 f(x)的奇偶性; (2)若函数 f(x)的图象过点(2, 41 ),求 f(x). 9

[解析] (1)函数 f(x)的定义域为(-∞,+∞), 1 - f(-x)= (a x+ax)=f(x), 2 ∴函数 f(x)为偶函数. (2)∵函数 f(x)的图象过点(2, ∴ 41 ), 9

41 1 2 1 1 - = (a +a 2)= (a2+ 2), 9 2 2 a

整理得 9a4-82a2+9=0, 1 ∴a2= 或 a2=9. 9 1 ∴a= 或 a=3. 3 1 - 故 f(x)= (3x+3 x). 2

一、选择题 1.下图是指数函数:①y=ax;②y=bx;③y=cx;④y=dx 的图象,则 a、b、c、d 与 1 的大小关系是( )

A.a<b<1<c<d C.1<a<b<c<d [答案] B

B.b<a<1<d<c D.a<b<1<d<c

[解析] 直线 x=1 与四个指数函数图象交点的坐标分别为(1,a)、(1,b)、(1,c)、(1, d),由图象可知纵坐标的大小关系. 2.若函数 f(x)=3x+3 x 与 g(x)=3x-3 x 的定义域为 R,则(
- -

)

A.f(x)与 g(x)均为偶函数 B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数 C.f(x)与 g(x)均为奇函数 D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数 [答案] B [解析] f(-x)=3 x+3x=f(x),∴f(x)为偶函数,


g(-x)=3 x-3x=-(3x-3 x)=-g(x),
- -

∴g(x)为奇函数,故选 B. 3.函数 f(x)=3x-x-4 的零点,所在的大致区间为( A.(-1,0) C.(1,2) [答案] C 1 14 - [解析] ∵f(-1)=3 1-1-4= -1-4=- <0, 3 3 f(0)=30-4=1-4=-3<0, f(1)=3-1-4=-2<0, f(2)=32-2-4=9-2-4=3>0, ∴函数 f(x)的零点所在的大致区间为(1,2).
?a,a≤b ? 1 4.定义运算:a*b=? ,则函数 f(x)=1*( )x 的图象为( 2 ?b,a>b ?

)

B.(0,1) D.(2,3)

)

[答案] D 1 ?x≤0? ? ? [解析] 由题意,得 f(x)=? 1 x . ? ??2? ?x>0? ∵x≤0 时,f(x)=1,排除 A、C, 1 又∵x>0 时,f(x)=( )x, 2 1 ∴f(1)= <1,排除 B,故选 D. 2 二、填空题 5.已知 a>b,ab≠0,下列不等式①a2>b2;②2a>2b; 1 1 - - ③0.2 a>0.2 b;④( )a<( )b 中恒成立的有________. 3 3 [答案] ②③④ [解析] ①若 0>a>b,则 a2<b2,故①不正确; ②y=2x 为增函数,∴2a>2b,②正确; ③y=0.2x 为减函数,∴0.2 a>0.2 b,③正确;
- -

1 1 1 ④y=( )x 为减函数,∴( )a<( )b,④正确. 3 3 3 2x-1 6.函数 y= x 的奇偶性是__________. 2 +1 [答案] 奇函数 2 x-1 1-2x 2x-1 [解析] f(-x)= -x = =- =-f(x), 2 +1 1+2x 2x+1


∴f(x)为奇函数. 三、解答题 7. 已知 a>0 且 a≠1, y1=a3x 1, y2=a
+ -2x

, 问当 x 取何范围内的值时, ①y1=y2; ②y1>y2.

[解析] (1)若 y1=y2,则 a3x 1=a


-2x



1 即 3x+1=-2x,解得 x=- , 5

1 因此当 x=- 时,y1=y2. 5 (2)由 y1>y2 得 a3x 1>a
+ -2x



1 当 a>1 时,由 3x+1>-2x,得 x>- , 5 1 当 0<a<1 时,由 3x+1<-2x,得 x<- , 5 1 综上可知:当 a>1,x>- 时,y1>y2; 5 1 0<a<1,x<- 时,y1>y2. 5 1 1 8.(2013~2014 学年度甘肃兰州一中高一期中测试)已知 f(x)=x( x + )(x≠0). 2 -1 2 (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)求证:f(x)>0. 1 1 [解析] (1)f(-x)=-x?2-x+1+2? ? ? 2x 1 =-x?1-2x+2?

?

?

2x 1 =x?2x-1-2?

?

?

=x?

?2 -1+1-1? 2? ? 2x-1 ? ? ?

x

1 1 =x?2x-1+2?=f(x) ∴f(x)是偶函数. (2)当 x>0 时,2x-1>0, 1 1 ∴f(x)=x?2x-1+2?>0,

?

?

又∵函数 f(x)是偶函数,其图象关于 y 轴对称, ∴当 x≠0 时,总有 f(x)>0. ex a 9.设 a>0,f(x)= + x(e>1)是 R 上的偶函数. a e (1)求 a 的值; (2)证明: f(x)在(0,+∞)上是增函数. [解析] (1)依题意,对一切 x∈R,都有 f(-x)=f(x), ex a 1 1 1 ∴ + x= x+aex,∴(a- )(ex- x)=0, a e ae a e 1 ∴a- =0,即 a2=1,又 a>0,∴a=1. a

(2)设任意实数 x1∈R,x2∈R,且 x1<x2, ∴Δx=x1-x2<0, 1-e x1 x2 1 1 1 x2 x1 x1 x2-x1 Δy=f(x1)-f(x2)=e -e + - =(e -e )· ( x1+x2-1)=e (e -1)· x1+x2 , ex1 ex2 e e


x1

x2

∵Δx=x1-x2<0,∴x2-x1>0, 又 x1+x2>0,e>1, ∴e x2
-x + 1-1>0,1-e x1 x2<0,

∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), ∴函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数.


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