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【优化方案】2015高考数学总复习(湖北理科)课后达标检测:第7章 第6课时]


[基础达标] 一、选择题 1 1.已知 a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b= x-2a,则 x 等于( ) 2 A.(0,3,-6) B.(0,6,-20) C.(0,6,-6) D.(6,6,-6) 1 解析:选 B.由 b= x-2a, 2 得 x=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4) =(0,6,-20). 2.设 A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),AB 的中点为 M,则|CM|等于( ) 53 53 A. B. 4 2 53 13 C. D. 2 2 解析:选 C.设 M(x,y,z), 3+1 3+0 3 1+5 则 x= =2,y= = ,z= =3, 2 2 2 2 3 2, ,3?, 即 M? ? 2 ? 3 ?2 53 2 |CM|= ?2-0?2+? ?2-1? +?3-0? = 2 . → → → → 3.已知正方体 ABCDA1B1C1D1 中,点 E 为上底面 A1C1 的中心,若AE=AA1+xAB+yAD, 则 x,y 的值分别为( ) 1 A.x=1,y=1 B.x=1,y= 2 1 1 1 C.x= ,y= D.x= ,y=1 2 2 2 解析:选 C.

1 1 → → → → 1 → → 1 → → 如图,AE=AA1+A1E=AA1+ A1C1=AA1+ (AB+AD),所以 x= ,y= . 2 2 2 2 → → → → → 4.已知AB=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若AB⊥BC,BP=(x-1,y,-3),且 BP⊥平面 ABC,则实数 x,y,z 分别为( ) 33 15 40 15 A. ,- ,4 B. ,- ,4 7 7 7 7 40 40 C. ,-2,4 D.4, ,-15 7 7 → → → → 解析:选 B.∵AB⊥BC,∴AB· BC=0, 即 3+5-2z=0,得 z=4. → 又 BP⊥平面 ABC,∴BP⊥AB,BP⊥BC,BC=(3,1,4),

??x-1?+5y+6=0, ? 则? 解得 ?3?x-1?+y-12=0, ?

?x= 7 , ? 15 ?y=- 7 .

40

→ → 1→ 5.(2014· 山东青岛调研)正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,点 M 在AC1上且AM= MC1, 2 → N 为 B1B 的中点,则|MN|为( ) 21 6 A. B. 6 6 15 15 C. D. 6 3

→ → → 解析:选 A.如图,设AB=a,AD=b,AA1=c, 则 a· b=b· c=c· a=0. 1 1 2 1 1 → → → → 由条件知MN=MA+AB+BN=- (a+b+c)+a+ c= a- b+ c, 3 2 3 3 6 4 1 1 21 → ∴MN2= a2+ b2+ c2= , 9 9 36 36 21 → ∴|MN|= . 6 二、填空题 6.在空间直角坐标系中,点 P(1, 2, 3),过点 P 作平面 yOz 的垂线 PQ,点 Q 在平面 yOz 上,则垂足 Q 的坐标为________. 解析:由题意知点 Q 即为点 P 在平面 yOz 内的射影, 所以垂足 Q 的坐标为(0, 2, 3). 答案:(0, 2, 3) 7.(2014· 江苏徐州模拟)给出下列命题: ①|a|-|b|=|a+b|是 a,b 共线的充要条件;②若 a 与 b 共面,则 a 与 b 所在的直线在同一 → 1→ 1→ 平面内;③若OP= OA+ OB,则 P,A,B 三点共线.其中不正确命题的序号是__________. 2 3 解析:只有当向量 a,b 共线反向且|a|>|b|时成立,故①不正确;当 a 与 b 共面时,向量 1 1 a 与 b 所在的直线平行、 相交或异面, 故②不正确; 由 + ≠1 知, 三点不共线, 故③不正确. 综 2 3 上可得①②③均不正确. 答案:①②③ 8.(2014· 浙江杭州模拟)在空间直角坐标系中,以点 A(4,1,9),B(10,-1,6),C(x,4,3)为顶 点的△ABC 是以 BC 为斜边的等腰直角三角形,则实数 x 的值为__________. → → 解析:由题意知AB=(6,-2,-3),AC=(x-4,3,-6). → → → → 又AB· AC=0,|AB|=|AC|,可得 x=2. 答案:2 三、解答题 → → 9.已知空间三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 a=AB,b=AC, (1)求 a 和 b 的夹角 θ 的余弦值; (2)若向量 ka+b 与 ka-2b 互相垂直,求 k 的值. 解:∵A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),

→ → a=AB,b=AC, ∴a=(1,1,0),b=(-1,0,2). a· b -1+0+0 10 (1)cos θ= = =- , |a||b| 10 2× 5 10 ∴a 和 b 的夹角 θ 的余弦值为- . 10 (2)∵ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2), ka-2b=(k+2,k,-4), 且(ka+b)⊥(ka-2b), ∴(k-1,k,2)· (k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8 2 =2k +k-10=0. 5 则 k=- 或 k=2. 2 10.如图所示,已知空间四边形

ABCD 的每条边和对角线长都等于 1,点 E,F,G 分别是 AB,AD,CD 的中点,计算: → → (1)EF· BA; (2)EG 的长; (3)异面直线 EG 与 AC 所成角的大小. → → → 解:设AB=a,AC=b,AD=c, 则|a|=|b|=|c|=1, → 1→ 1 1 〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60° ,EF= BD= c- a, 2 2 2 → → BA=-a,DC=b-c. → → 1 1 (1)EF· BA=( c- a)· (-a) 2 2 1 1 =- a· c+ a2 2 2 1 1 1 =- + = . 4 2 4 → → → → (2)EG=EB+BC+CG 1→ → → 1 → → = AB+(AC-AB)+ (AD-AC) 2 2 1→ 1→ 1 → 1 1 1 =- AB+ AC+ AD=- a+ b+ c, 2 2 2 2 2 2 1 → 2= (-a+b+c)2 ∴EG 4 1 1 = (a2+b2+c2-2a· b-2a· c+2b· c)= , 4 2 2 2 → ∴|EG|= ,即 EG 的长为 . 2 2 1 1 1 → → (3)由(2)知,EG· AC=(- a+ b+ c)· b 2 2 2 1 1 1 1 =- a· b+ b2+ c· b= , 2 2 2 2

1 → → 2 EG· AC 2 → → ∴cos〈EG,AC〉= = = . 2 → → 2 |EG|· |AC| ×1 2 故异面直线 EG 与 AC 所成的角为 45° . [能力提升] 一、选择题 → → → → → → 1.设 A,B,C,D 是空间不共面的四个点,且满足AB· AC=0,AD· AC=0,AD· AB=0, 则△BCD 的形状是( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.无法确定 → → → → → → 解析:选 C.BC· BD=(AC-AB)· (AD-AB) → → → → → → →2 →2 → → → → =AC· AD-AC· AB-AB· AD+AB =AB >0.同理DB· DC>0,CB· CD>0.故△BCD 为锐角三 角形. 2. 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,P 为正方形 A1B1C1D1 四边上的动点,O 为底面正方形 ABCD 的中心,M,N 分别为 AB,BC 的中点,点 Q 为平面 ABCD 内一点,线段 D1Q 与 OP → → 互相平分,则满足MQ=λMN的实数 λ 的值有( )

A.0 个 B.1 个 C .2 个 D.3 个 解析:选 C.建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为 2,

则 P(x,y,2),O(1,1,0), x+1 y+1 ? ∴OP 的中点坐标为? ? 2 , 2 ,1?. 又知 D1(0,0,2),∴Q(x+1,y+1,0), 而 Q 在 MN 上,∴xQ+yQ=3, ∴x+y=1,即点 P 坐标满足 x+y=1. ∴有 2 个符合题意的点 P,即对应有 2 个 λ. 二、填空题 3.在下列条件中,使 M 与 A、B、C 一定共面的是________. → → → → → 1→ 1→ 1→ → → → → → ①OM=2OA-OB-OC;②OM= OA+ OB+ OC;③MA+MB+MC=0;④OM+OA+ 5 3 2 → → OB+OC=0. → → → → → → → → → 解析:∵MA+MB+MC=0,∴MA=-MB-MC,则MA、MB、MC为共面向量,即 M、 A、B、C 四点共面. 答案:③

4. 如图,正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别是棱 BC,DD1 上的点,如果 B1E ⊥平面 ABF,则|CE|与|DF|的和的值为________.

解析:以 D1A1、D1C1、D1D 分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系(图略), 设|CE|=x,|DF|=y, → 则易知 E(x,1,1),B1(1,1,0),∴B1E=(x-1,0,1). → 又 F(0,0,1-y),B(1,1,1),∴FB=(1,1,y), 由于 AB⊥B1E,故若 B1E⊥平面 ABF, → → 只需FB· B1E=(1,1,y)· (x-1,0,1)=0?x+y=1. 答案:1 三、解答题 5. 如图,在棱长为 a 的正方体 OABCO1A1B1C1 中,E,F 分别是棱 AB,BC 上的动点, 且 AE=BF=x,其中 0≤x≤a,以 O 为原点建立空间直角坐标系 Oxyz.

(1)写出点 E,F 的坐标; (2)求证:A1F⊥C1E;

→ 1 → → (3)若 A1,E,F,C1 四点共面,求证:A1F= A1C1+A1E. 2 解:(1)E(a,x,0),F(a-x,a,0). (2)证明:∵A1(a,0,a),C1(0,a,a), → → ∴A1F=(-x,a,-a),C1E=(a,x-a,-a), → → ∴A1F· C1E=-ax+a(x-a)+a2=0, → → ∴A1F⊥C1E,∴A1F⊥C1E. (3)证明:∵A1,E,F,C1 四点共面, → → → ∴A1E,A1C1,A1F共面. → → 选A1E与A1C1为一组基向量,则存在唯一实数对(λ1,λ2), → → → 使A1F=λ1A1C1+λ2A1E, 即(-x,a,-a)=λ1(-a,a,0)+λ2(0,x,-a) =(-aλ1,aλ1+xλ2,-aλ2), -x=-aλ1 ? ? ∴?a=aλ1+xλ2 ? ?-a=-aλ2 1 ,解得 λ1= ,λ2=1. 2

→ 1 → → 于是A1F= A1C1+A1E. 2

6. (选做题)如图,在底面为直角梯形的四棱锥 PABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90° ,PD ⊥平面 ABCD,AD=1,AB= 3,BC=4.

(1)求证:BD⊥PC; → → (2)设点 E 在棱 PC 上,PE=λPC,若 DE∥平面 PAB,求 λ 的值.

解:(1)证明:如图,在平面 ABCD 内过点 D 作直线 DF∥AB,交 BC 于点 F,以 D 为坐 标原点,DA、DF、DP 所在的直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系 Dxyz,则 A(1,0,0), B(1, 3,0),D(0,0,0),C(-3, 3,0). → 设 PD=a,则 P(0,0,a),BD=(-1,- 3,0), → PC=(-3, 3,-a). → → ∵BD· PC=3-3=0,∴BD⊥PC. → → → → (2)由题意知,AB=(0, 3,0),DP=(0,0,a),PA=(1,0,-a),PC=(-3, 3,-a), → → → ∵PE=λPC,∴PE=(-3λ, 3λ,-aλ), → → → DE=DP+PE=(0,0,a)+(-3λ, 3λ,-aλ) =(-3λ, 3λ,a-aλ). 设 n=(x,y,z)为平面 PAB 的法向量, → ? n=0, ?AB· ? 3y=0, 则? 即? → ?x-az=0. ? n=0, ?PA· 令 z=1,得 x=a,∴n=(a,0,1). → ∵DE∥平面 PAB,∴DE· n=0,∴-3aλ+a-aλ=0, 1 即 a(1-4λ)=0,∵a≠0,∴λ= . 4


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