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【解析】山西大学附中2014年高三上学期期中考试数学文试题

山西大学附中 2014 年高三第一学期月考

数学试题(文科)
考查内容:高中全部 【试卷综述】本试卷是高三文科试卷,以基础知识和基本技能为载体,以能力测试为主导,在注重考查学 科核心知识的同时,突出考查考纲要求的基本能力,重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常 规、注重主干知识,兼顾覆盖面试题重点考查:集合、不等式、向量、三视图、导数、简单的线性规划、 直线与圆、数列、充要条件等;考查学生解决实际问题的综合能力,是份较好的试卷. 【题文】一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) . 【题文】1.若 U ? ?1, 2,3, 4,5? , A ? ?1, 2,3?, B ? ?2, 4 ? ,则 A ? Cu B ? ( A. ?2, 4? B. ?1,3? C. ?1, 2,3, 4? D. ?1, 2,3, 4,5? 【知识点】集合运算 A1 【答案】 【解析】B 解析:因为 U ? ?1, 2,3, 4,5? , A ? ?1, 2,3?, B ? ?2, 4 ? ,所以 Cu B ? {1,3,5} 因此 A ? Cu B ? {1,3} ,故选 B. 【思路点拨】根据集合的运算直接求解即可. 【题文】2.已知命题 p :对任意的 x ? R ,有 ln x ? 1 ,则 ?p 是( A.存在 x0 ? R ,有 ln x0 ? 1 C.存在 x0 ? R ,有 ln x0 ? 1 【知识点】全称命题 A3 【答案】 【解析】C 解析:命题 p :对任意的 x ? R ,有 ln x ? 1 ,由全称命题的否定是特称命题可得: ?p 是 “存在 x0 ? R ,有 ln x0 ? 1 ”.故选 C. 【思路点拨】由全称命题的否定是特称命题直接可得. B.4 C.8 【知识点】等比数列 D3 D.16 【题文】3.若公比为 2 且各项均为正数的等比数列 ?an ? 中, a4 ? a12 ? 64 ,则 a7 的值等于( )A.2 B.对任意的 x ? R ,有 ln x ? 1 D.对任意的 x ? R ,有 ln x ? 1 ) )

【答案】 【解析】B 解析:因为 a4 ? a12 ? 64 所以 a8 ? 8 ? a7 ? 4 .故选 B. 【思路点拨】因为 a4 ? a12 ? 64 ,由等比数列性质可得 a4 ? a12 ? a8 ? 64 ,可求 a8 ,从而可求 a7 . 【题文】4.设 x ? R ,则“ x ? 1 ”是“复数 z ? ( x ? 1) ? ( x ? 1)i 为纯虚数”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【知识点】充分、必要条件 A2
2 2 2



【答案】 【 解 析 】 C 解 析 : 当 x ? 1 时 , z ? 2i , 充 分 性成 立 ; 当 z ? ( x ? 1) ? ( x ? 1)i 为 纯 虚 数 时 ,

? x 2 ? 1 ? 0 ? x ? ?1 ?? ? x ? 1 ,必要性成立.故选 C. ? x ? ? 1 x ? 1 ? 0 ? ?
【思路点拨】判断充要条件时,应先明确条件和结论,由条件能推出结论,充分性满足,由结论能推出条 件,则必要性满足.
页 1第

【题文】5.已知角 ? 的终边过点 P ( ?4k ,3k ) (k ? 0) ,则 2sin ? ? cos ? 的值是( A.



2 5

B. ?

2 5

C.

2 2 或? 5 5

D.随着 k 的取值不同其值不同

【知识点】三角函数定义 C1 【答案】 【解析】B 解析:因为角 ? 的终边过点 P ( ?4k ,3k ) (k ? 0) 所以 r ?

(?4 k) 2 ? (3k) 2 ? ?5k ,所

3k 3 ?4 k 4 ? ? , cos ? ? ? , ?5k 5 ?5k 5 3 4 2 2sin ? ? cos ? ? 2 ? ( ? ) ? ? ? ,故选 B. 5 5 5 y x 【思路点拨】由三角函数定义 sin ? ? , cos ? ? 即可求得. r r 【题文】6.已知直线 m, n 及平面 ? , ? ,则下列命题正确的是
以 sin ? ? A. m / /? ? ? ? ? / /? n / /? ? B.

( D.



m / /? ? ? ? n / /? m / /n ?

C.

m? ? ? ? ? m / /? ?? ? ?

m? ? ? ? ? m? n n / /? ?

【知识点】命题的真假判断 A2 【答案】 【解析】D 解析:A 中 ? , ? 还可能相交,B 中还可能 n ? ? ,C 中还可能 m ? ? , 故选 D. 【思路点拨】由空间中线面的位置关系即可求得结果. 【题文】7.曲线 y ? x 上的点 P 处的切线的倾斜角为
2

? ,则点 P 的坐标为 4
D. ( 1 , 1 ) 2 4





(0, 0) A.
【知识点】导数应用 B12

(2, 4) B.

C. ( 1 , 1 ) 4 16
2

【答案】 【解析】D 解析:因为 y ? x 所以 y ' ? 2 x , tan 得y?

1 ,因此点 P 的坐标为 ( 1 , 1 ) ,故选 D. 4 2 4

? 1 ? 2 x ? x ? ,代入 y ? x 2 , 4 2

【思路点拨】由 y ' ? 2 x ? k ,可得点 P 横坐标,代入 y ? x 可求纵坐标. 【题文】8.“ a ? 2 ”是“函数 f ( x ) ? x ? ax ? 1 在区间 [ ?1, ? ?) 上为增函数”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 【知识点】充分、必要条件 A2 【答案】 【解析】A 解析:当 a ? 2 时, f ( x ) ? x ? 2 x ? 1 ,此函数在区间 [ ?1, ? ?) 上为增函数,充分性 成立;当函数 f ( x ) ? x ? ax ? 1 在区间 [ ?1, ? ?) 上为增函数时,它的单调增区间为 ? ?
2
2

2

2



C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

? a ? , ?? ? ,所以 ? 2 ?

?

a ? ?1? a ? 2 ,因此必要性不成立,故选 A 2

【思路点拨】判断充要条件时,应先明确条件和结论,由条件能推出结论,充分性满足,由结论能推出条 件,则必要性满足. 【题文】9. 下列函数中周期是 2 的函数是 ( )
页 2第

A. y ? 2 cos ? x ? 1
2

B. y ? sin 2? x ? cos 2? x D. y ? sin ? x cos ? x

C. y ? tan(

? ? x? ) 2 3

【知识点】函数周期 C8 【答案】 【解析】C 解析:A 中 y ? 2 cos ? x ? 1 ? cos ? 2? x ? 周期为 1;
2

B 中 y ? sin 2? x ? cos 2? x ? C 中 y ? tan(

?? ? 2 sin ? 2? x ? ? 周期为 1; 4? ?

? ? x ? ) 周期为 2; 2 3 1 D 中 y ? sin ? x cos ? x ? sin 2? x 周期为 1.故选 C. 2 2? ? 【思路点拨】正弦余弦函数的周期为 ,正切函数的周期为 . ? ?
【题文】10.椭圆 ax ? by ? 1 与直线 y ? 1 ? x 交于 A, B 两点,过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为
2 2

3 a , 的值为 2 b
A.





3 2

B.

2 3 3

C.

9 3 2
2 2

D.

2 3 27
2

【知识点】椭圆的应用 H5

b 1 ? x) ? 1 , 【答案】 【解析】A 解析:把 y ? 1 ? x 代入椭圆 ax ? by ? 1 得 ax ? (
整理得 (a ? b)x ? 2bx ? b ? 1 ? 0 ,
2

2

(x1,y1),( B x2,y2) 设A ,则 x1 ? x2 ?

a a 3 b a ∴线段 AB 的中点坐标为 ( .答 , ),∴过原点与线段 AB 中点的直线的斜率 k ? a ? b ? ? b b 2 a?b a?b a?b
案:A.

2b 2b , y1 ? y2 ? 2 ? , a?b a?b

b 1 ? x) ? 1 ,由根与系数的关系可以推出线段 【思路点拨】把 y ? 1 ? x 代入椭圆 ax ? by ? 1 得 ax ? (
AB 的中点坐标为 (

2

2

2

2

3 b a a ,再由过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 ,能够导出 的值. , ), a?b a?b 2 b
*

【题文】11.数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且对于任意的 n ? N 都有 an ?1 ? a1 ? an ? n, 则

1 1 1 等于( ) ? ?? ? a1 a2 a2013 2012 4026 A. B. 2013 2014
【知识点】数列递推式;数列的求和 D1 D4


C.

4024 2014
3第

D.

2013 2014

【答案】 【解析】B 解析:因为 an ?1 ? a1 ? an ? n ? 1 ? an ? n ,? an ?1 ? an ? n ? 1

(a2 ? a1) ??? (an ? an ?1) ? 1? 2 ??? n ? 用叠加法: an ? a1 ?
所以

n ? n ? 1? 2



1 2 1 1 , ? ?( 2 ? ) an n ? n ? 1? n n ?1 1 ? 1 1 1 1 1 ? ? ? 1 1 1 1 1 ? ??? ? 2 ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ?1 ? a1 a2 a2013 2013 2014 ? ? 2014 ? ? 2 2 3 3 4

所以

?

4026 ,故答案为:B. 2014

【思路点拨】先找递推关系 an ?1 ? an ? n ? 1 并求通项公式,再利用通项的特征求和,即可得到结论. 【题文】 12. 已知函数 f ( x ) ? ? 则实数 b 的取值范围是( A. ( 2,?? )

? lg(? x) ,
2

x?0

? x ? 6 x ? 4, x ? 0
) C. ( 2,

若关于 x 的函数 y ? f ( x ) ? bf ( x ) ? 1 有 8 个不同的零点,

2

B. [ 2,?? )

17 ) 4 x?0

D. ( 2,

17 ] 4

【知识点】根的存在性及根的个数判断 B1 【答案】 【解析】D 解析:∵函数 f ( x ) ? ?

? lg(? x) ,
2

? x ? 6 x ? 4, x ? 0

,作出 ( 的简图,如图所示: f x)

由图象可得当 ( 在 的值对应. f x) (0, 4] 上任意取一个值时,都有四个不同的 x 与 ( f x) 再结合题中函数 y ? f ( x ) ? bf ( x ) ? 1 有 8 个不同的零点, 可得关于 k 的方程 k ? bk ? 1 ? 0 有两个不同的实数根 k1、k2 ,且 0<k1 ? 4, 0<k2 ? 4 .
2 2

? ? ? ? ∴应有 ? ? ? ? ? ?


??? b 2 ? 4>0 b 0< <4 2 0 ? b ? 0 ? 1>0 16 ? 4b ? 1 ? 0 ?,解得 ?2<b ? 17 ,故选 D. 4

4第

【思路点拨】方程 y ? f ( x ) ? bf ( x ) ? 1 ? 0 有 8 个不同实数解,即要求对应于 ( 等于某个常数 k,有 2 f x) 个不同的 k,再根据函数对应法则,每一个常数可以找到 4 个 x 与之对应,就出现了 8 个不同实数解故先 根据题意作出 ( 的简图:由图可知,只有满足条件的 k 在开区间 f x) (0, 4] 时符合题意.再根据一元二次方 程根的分布的理论可以得出答案. 【题文】二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在答题纸相应位置上) . 【题文】13.某单位共有老、中、青职工 430 人,其中青年职工 160 人,中年职工人数是老年职工人数的 2 倍。为了解职工身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有青年职工 32 人,则该样本 中的老年职工人数为_______. 【知识点】简单随机抽样 I1 【答案】 【解析】18 解析:由题意可得中年职工 180 人,老年职工 90 人,青年职工与老年职工的比例为 16:9,所以样本中的老年职工人数为 18.故答案为 18. 【思路点拨】分层抽样中要保持总体和样本中原有比例不变.

2

?x ? y ? 0 y ? 【题文】14.设实数 x, y 满足 ? x ? 2 y ? 10 ? 10 ,则 的最大值为 x ?x ? 2 ? 0 ?
【知识点】简单线性规划 E5



9 【答案】 【解析】 2

?x ? y ? 0 ? 解析:由题意作出 ? x ? 2 y ? 10 ? 10 所对应的可行域, (如图) : ?x ? 2 ? 0 ?

目标函数 z ? 而由 ? 则

y 的代表可行域(阴影)内的点与原点连线的斜率,由图可知当直线过点 A 时,斜率最大, x

?x ? 2 ?x ? 2 9?0 9 ? (2, 9) 解得 ? ,所以直线 OA 的斜率为: ,故 ?,即点 A 的坐标为 2?0 2 ? x ? 2 y ? 20 ? 0 ?y ? 9

9 9 y 的最大值为 ,故答案为: . 2 2 x

【思路点拨】由题意作出可行域,目标函数 z ?
3 2 2

y 的代表可行域(阴影)内的点与原点连线的斜率,由图 x


可知当直线过点 A 时,斜率最大,只需解方程组求解 A 的坐标即可得答案. 【题文】15.已知 f ( x ) ? x ? 3ax ? bx ? a 在 x ? ?1 时有极值 0,则 a ? b 的值为 【知识点】导数与极值 B12 【答案】 【解析】 ?7 解析:由题意可得 f '(x) ? 3 x ? 6 ax ? b ,且满足 ?
5第
2

? f '( ?1) ? 0 ? f (?1) ? 0



即?

?3 ? 6a ? b ? 0

?a ? 1 ?a ? 2 ?a ? 1 2 或? ,当 ? 时, f '(x) ? 3 x ? 6 x ? 3 ?? ?b ? 3 ?b ? 9 ?b ? 3 ? ?1 ? 3a ? b ? a ? 0
2

?a ? 2 2 ,因此 a ? b ? ?7 ? 3 ? x ? 1? ? 0 , f '(x) ? 0 ,此时 f (x) 单调递增,无极值;所以 ? ?b ? 9
故答案为-7. 【思路点拨】由导数定义可得 ?

? f '( ?1) ? 0 ,从而可得 a, b 的值. ? f (?1) ? 0

【题文】16.已知下图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为___________。 2

2
2 正视图 【答案】 【解析】 6?

2

2
侧视图

2
俯视图

【知识点】球的体积和表面积;由三视图求面积、体积;球内接多面体 G8 G2 G12 解析:几何体为三棱锥,可以将其补形为一个棱长为 2 的正方体, 该正方体的外接球和几何体的外接球为同一个,故 2 R ? 所以外接球的表面积为: 4? R ? 6? .故答案为:6π.
2

22 ?

? 2?

2

? 6,

【思路点拨】由题意判断几何体的形状,几何体扩展为正方体,求出外接球的半径,即可求出外接球的表 面积. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) . 【题文】17. (本小题满分 12 分) 公差不为零的等差数列 {an } 中, a3 ? 7, 且 a2 , a4 , a9 成等比数列。 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 an ? bn ?1 ? bn , b1 ? 1 ,求数列 {bn } 的通项公式 【知识点】等差数列,等比数列 D2 【答案】 【解析】(Ⅰ) an ? 3n ? 2 解析:(Ⅰ) an ? 3n ? 2 . (Ⅱ) bn ? D3 (Ⅱ) bn ?

3n 2 ? 7 n ? 6 2
……6 分 ……12 分

3n ? 7 n ? 6 . 2

2

【思路点拨】由 a2 , a4 , a9 成等比数列,可求首项与公差,从而可求 {an } 的通项公式; 再由 an ? bn ?1 ? bn , b1 ? 1 可得数列 {bn } 的递推公式,利用叠加法即可求出数列 {bn } 的通项公式. 【题文】18. (本题满分 12 分)已知集合 A ? x ?3 ? x ? 1 , B ? ? x (Ⅰ)在区间 ( ?4 , 4) 上任取一个实数 x ,求“ x ? A ? B ”的概率;
页 6第

?

?

? x?2 ? ? 0? . ? x?3 ?

(Ⅱ)设 ( a, b) 为有序实数对,其中 a 是从集合 A 中任取的一个整数, b 是从集合 B 中任取的一个整数,

求“ b ? a ? A ? B ”的概率. 【知识点】几何概型,古典概型 K2 【答案】 【解析】 (Ⅰ) P 1 ?

K3

3 3 (Ⅱ) P ( E ) ? 8 4 解析: (Ⅰ)由已知 B ? {x ?2 ? x ? 3} , A ? B ? {x ?2 ? x ? 1} ,…………2 分 3 .…………………6 分 8

设事件“ x ? A ? B ”的概率为 P 1 ? 1 ,这是一个几何概型,则 P (Ⅱ)因为 a, b ? Z ,且 a ? A , b ? B ,

所以,基本事件共 12 个: ( ?2, ?1) , ( ?2, 0) , ( ?2,1) , ( ?2, 2) , ( ?1, ?1) , ( ?1, 0) , ( ?1,1) , ( ?1, 2) , …………………2 分 (0, ?1) , (0, 0) , (0,1) , (0, 2) . 设事件 E 为“ b ? a ? A ? B ”,则事件 E 中包含 9 个基本事件,…………10 分 9 3 事件 E 的概率 P ( E ) ? ? .…………………12 分 12 4 【思路点拨】由题意得 A ? B ? {x ?2 ? x ? 1} ,根据几何概型的概率公式即可求解;需要列出符合题意的 基本事件的个数以及满足题意的基本事件的个数,再按公式代入求解. 【题文】19. (本小题满分 12 分) 在如图所示的空间几何体中,平面 ACD ? 平面 ABC , ?ACD 与 ?ACB 是边长为 2 的等边三角形, BE ? 2 , BE 和平面 ABC 所成的角为 60? ,且点 E 在平面 ABC 上的射影落在 ?ABC 的平分线上. (Ⅰ)求证: DE // 平面 ABC ; (Ⅱ)求三棱锥 B ? ACE 的体积

第 19 题 图 【知识点】线面平行的判定,锥体体积求法 G4 G1 【答案】 【解析】 (Ⅰ)略(Ⅱ)1 解析: (Ⅰ)由题意知, ?ABC , ?ACD 都是边长为 2 的等边三角形,取 AC 中点 O ,连接 BO, DO , 则 BO ? AC , DO ? AC ,……………………2 分 又∵平面 ACD ⊥平面 ABC ,∴ DO ⊥平面 ABC ,作 EF ⊥平面 ABC , 那么 EF // DO ,根据题意,点 F 落在 BO 上, ∴ ?EBF ? 60? ,易求得 EF ? DO ? 3 ,…………4 分 ∴四边形 DEFO 是平行四边形,∴ DE // OF ,∴ DE // 平面 ABC ……6 分 (Ⅱ) V B ? ACE ? V E ? ABC ? 1 ……………… 12 分

【思路点拨】由题意取 AC 中点 O ,作 EF ⊥平面 ABC ,点 F 落在 BO 上, 可求四边形 DEFO 是平行四边形,可得 DE // OF ;利用等体积法即可求解.
页 7第

【题文】20. (本小题满分 12 分) 2 x y2 3 椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,长轴端点与短轴端点间的距离为 5 . a b 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设过点 D (0, 4) 的直线 l 与椭圆 C 交于 E , F 两点,O 为坐标原点,若 ?OEF 为直角三角形,求直线 l 的斜率. 【知识点】直线与椭圆 H8 【答案】 【解析】 (1) 解析: (1)由已知
x2 ? y 2 ? 1 (2) ? 19 和 ? 5 4

c 3 ? , a 2 ? b 2 ? 5 ,又 a 2 ? b 2 ? c 2 ,解得 a 2 ? 4, b2 ? 1 , a 2 x2 所以椭圆 C 的方程为 ? y 2 ? 1 ;………………4 分 4 (2) 根据题意,过点 D (0, 4) 满足题意的直线斜率存在,设 l : y ? kx ? 4 , ? x2 2 ? ? y ?1 联立 ? 4 ,消去 y 得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 32kx ? 60 ? 0 , ? y ? kx ? 4 ?

? ? (32k )2 ? 240(1 ? 4k 2 ) ? 64k 2 ? 240 , 15 令 ? ? 0 ,解得 k 2 ? . ………………7 分 4 设 E 、 F 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , 32k 60 ⅰ)当 ?EOF 为直角时,则 x1 ? x2 ? ? , , x1 x2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ??? ? ???? 因为 ?EOF 为直角,所以 OE ? OF ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,所以 (1 ? k 2 ) x1 x2 ? 4k ( x1 ? x2 ) ? 16 ? 0 ,
15 ? (1 ? k 2 ) 32 k 2 ? ? 4 ? 0 ,解得 k ? ? 19 .………………9 分 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ⅱ)当 ?OEF 或 ?OFE 为直角时,不妨设 ?OEF 为直角, y y ?4 此时, kOE ? k ? 1 ,所以 1 ? 1 ? ? 1 ,即 x12 ? 4 y1 ? y12 ……① x1 x1

所以

x12 2 , ? y12 ? 1 …………②将①代入②,消去 x1 得 3 y12 ? 4 y1 ? 4 ? 0 ,解得 y1 ? 或 y1 ? ?2 (舍去) 4 3 y ?4 2 2 将 y1 ? 代入①,得 x1 ? ? ?? 5, 5, 所以 k ? 1 3 3 x1 经检验,所求 k 值均符合题意。 ………………11 分



综上,k 的值为 ? 19 和 ? 5 .
2

………………12 分

?x 2 ? ? y ?1 【思路点拨】设 l : y ? kx ? 4 ,联立 ? 4 ,消去 y 得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 32kx ? 60 ? 0 , ? y ? kx ? 4 ? 15 令 ? ? 0 ,解得 k 2 ? .然后分 ?EOF 为直角和 ?OEF 或 ?OFE 为直角两种情况时讨论即可. 4

【题文】21.(本题满分 12 分)已知 a ? R ,函数 (Ⅰ)若 a

f ( x ) ? 2 x 3 ? 3( a ? 1) x 2 ? 6ax

? 1 ,求曲线 y ? f ( x ) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程. (Ⅱ) 若 | a |? 1 ,求 f ( x ) 在闭区间 [0, 2 | a |] 上的最小值.
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值 B11 B12 【答案】 【解析】 (Ⅰ) 6 x ? y ? 8 ? 0 (Ⅱ)当 a ? 1 时,函数 当 a ? ?1 时,函数


f ( x ) 的最小值是 3a 2 ? a 3 ,

f ( x ) 的最小值是 3a ? 1 .
8第

解析: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f( ? 2) ? 6? ( f 2) ? 4, ? 曲线 ? x) ? 6 x ? 12 x ? 6 ,所以 f( 在点 处的切线方程为 y ? 6 x ? 8 ; y? ( f x) (2,( f 2)) (Ⅱ)记 ( 为( 在闭区间 [0, g a) f x) 2a ] 上的最小值.

2

f( ? x) ? 6x 2 ? ( 6 a ? 1)x ? 6a ? 6 ? x ? 1 ??x ? a ?
令 f( ? x) ? 0 ,得到 x1 ? 1,x2 ? a 当 a>1 时,

比较 ( 的大小可得 ( f 0) ? 0和 ( g a) ?? f a) ? a(3 ? a) 当 a< ? 1 时,

2

1<a ? 3 ? ?0, ; 2 ? ? a ? 3 ? a ?,a>3

?3a ? 1,a< ? 1 ? 在闭区间 [0, ?( g a) ? 3a ? 1 ? ( f x) 2a ] 上的最小值为 ( g a) ? ?0, 1<a ? 3 . ? a 2 3 ? a ,a>3 ? ? ?
【思路点拨】 (Ⅰ)求导函数,确定切线的斜率,求出切点的坐标,即可求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) ) 处的切线方程; (Ⅱ)分类讨论,利用导数确定函数的单调性,从而可得极值,即可得到最值 【题文】选做题(在 22、23、24 三题中任选一题做答) 【题文】22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲: 如图所示,已知 PA 与⊙ O 相切, A 为切点,过点 P 的割线交圆于 B, C 两点,弦 CD // AP , AD, BC 相 交于点 E , F 为 CE 上一点,且 DE ? EF ? EC . (Ⅰ)求证: CE ? EB ? EF ? EP ; (Ⅱ)若 CE : BE ? 3 : 2, DE ? 3, EF ? 2 ,求 PA 的长.
2



9第

第 22 题图 【知识点】弦切角 N1 【答案】 【解析】 (Ⅰ)略(Ⅱ) PA ?
2

15 3 4

又∵ CD // AP ,∴ ?P ? ?C , ∴ ?EDF ? ?P , ?DEF ? ?PEA EA EP ∴ ?EDF ∽ ?EPA , ∴ , ∴ EA ? ED ? EF ? EP …………4 分 ? EF ED 又∵ EA ? ED ? CE ? EB ,∴ CE ? EB ? EF ? EP .……………………5 分 9 2 (Ⅱ)∵ DE ? EF ? EC , DE ? 3, EF ? 2 ∴ EC ? ,∵ CE : BE ? 3 : 2 ∴ BE ? 3 2 27 .……………………7 分 由(1)可知: CE ? EB ? EF ? EP ,解得 EP ? 4 15 ∴ BP ? EP ? EB ? . ∵ PA 是⊙ O 的切线,∴ PA 2 ? PB ? PC 4 15 3 15 27 9 ∴ PA 2 ? ? ( ? ) ,解得 PA ? .……………………10 分 4 4 4 2 【 思 路 点 拨 】 利 用 ? DEF ∽?CED 与 已 知 可 得 EC 的 长 , 进 而 得 到 BE , 利 用 相 交 弦 定 理 可 得
AE ? ED ? EB ? CE ,得到 AE.再利用 AP ? CD ,可得 ? AEP∽? FED ,得到 PE,进而得到 PB,再利用
切割线定理可得 PA ? PB ? PC 即可得出. 【题文】23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程: 以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线 l 的参
2

解析: (Ⅰ)∵ DE ? EF ? EC , ?DEF ? ?DEF ∴ ?DEF ∽ ?CED ,∴ ?EDF ? ?C ……………………2 分

? x ? 1 ? t cos ? 2 ( t 为参数, 0 ? ? ? ? ),曲线 C 的极坐标方程为 ? sin ? ? 4 cos ? . ? y ? t sin ? (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,当 ? 变化时,求 AB 的最小值.
数方程为 ? 【知识点】简单曲线的极坐标方程 N3 【答案】 【解析】 (Ⅰ) y ? 4 x (Ⅱ) AB 的最小值为 4 解析: (Ⅰ)由 ? sin ? ? 4 cos ? ,得 ( ? sin ? ) ? 4 ? cos ?
2 2 2

所以曲线 C 的直角坐标方程为 y ? 4 x .……………………5 分 (Ⅱ)将直线 l 的参数方程代入 y ? 4 x ,得 t sin ? ? 4t cos ? ? 4 ? 0 .
2 2 2

2

设 A 、 B 两点 对应的参数分别为 t1 、 t 2 ,则 t1 ? t 2 ?
页 10第

4 cos ? 4 , t1 t 2 ? ? , 2 sin ? sin 2 ?

∴ AB ? t1 ? t 2 ? 当? ?

(t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1t 2 ?

? 时, AB 的最小值为 4. ……………………10 分 2
? x ? ? cos? 即可化为直角坐标方程; ? y ? ? sin?
2

16 cos 2 ? 16 4 , ? ? 4 2 sin ? sin ? sin 2 ?

【思路点拨】 (1)利用 ?

(2)将直线 l 的参数方程代入 y ? 4 x ,利用根与系数的关系、弦长公式及参数的几何意义即可得出. 【题文】24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲: 已知函数 f ( x ) ?| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 | . (Ⅰ)求不等式 f ( x ) ? 6 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x ) ? log 2 ( a ? 3a ) ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【知识点】带绝对值的函数 B1 【答案】 【解析】 (Ⅰ) {x | ?1 ? x ? 2} (Ⅱ) ? 1 ? a ? 0 或 3 ? a ? 4 解析: (Ⅰ)原不等式等价于
2

1 3 3 ? ? ? 1 ?x ? ? ?x ? ?? ? x ? 于? 或? 2 或? 2 2 2 ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ? ?? (2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 3 1 3 1 解得: ? x ? 2或 ? ? x ? 或 ? 1 ? x ? ? . 2 2 2 2 即不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? 2} . ……………………5 分
(Ⅱ)不等式 f ( x ) ? log 2 ( a ? 3a ) ? 2 等价于 log 2 ( a ? 3a ) ? 2 ? | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 | , 因为 | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 |?| ( 2 x ? 1) ? ( 2 x ? 3) |? 4 ,所以 f ( x ) 的最小值为 4,
2 2 ? ?a ? 3a ? 0 于是 log 2 ( a ? 3a ) ? 2 ? 4 即 ? 所以 ? 1 ? a ? 0 或 3 ? a ? 4 .…10 分 2 ? ?a ? 3a ? 4 ? 0 2 2

3 3 ? ? 1 ?x ? ?? ? x ? 【 思 路 点 拨 】( Ⅰ ) 不 等 式 等 价 于 ? 或 ? 2 或 2 2 ? ? ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 ?(2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6 1 ? ?x ? ? 分别求出这 3 个不等式组的解集,再取并集,即得所求. 2 ? ? ?? (2 x ? 1) ? (2 x ? 3) ? 6
(Ⅱ)不等式 f ( x ) ? log 2 ( a ? 3a ) ? 2 等价于 log 2 ( a ? 3a ) ? 2 ? | 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 | ,
2 2

f ( x) 的最小值为 4,于是 log 2 (a 2 ? 3a ) ? 2 ? 4 即可求解.



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