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2018届苏锡常镇高三二模数学试卷及答案(word)


2017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一) 数学Ⅰ试题
1.已知集合 A ? {?1,1} , B ? {?3, 0,1} ,则集合 A ? B ? . 2.已知复数 z 满足 z ? i ? 3 ? 4i ( i 为虚数单位) ,则 z ? .

2018.3

一、填空题:本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上 . ........

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为. 3.双曲线 4 3
4.某中学共有 1800 人,其中高二年级的人数为 600 .现用分层抽样的方法在全校抽取 n 人,其中高二年级被抽取的 人数为 21 ,则 n ? . 5.将一颗质地均匀的正四面体骰子(每个面上分别写有数字 1 ,2 ,3 ,4 )先后抛掷 2 次,观察其朝下一面的数字, 则两次数字之和等于 6 的概率为. 6.如图是一个算法的流程图,则输出 S 的值是.

7.若正四棱锥的底面边长为 2cm ,侧面积为 8cm ,则它的体积为 cm . 8.设 Sn 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a2 ? a4 ? 2 , S2 ? S4 ? 1 ,则 a10 ? . 9.已知 a ? 0 , b ? 0 ,且

2

3

2 3 ? ? ab ,则 ab 的最小值是. a b tan A 3c ? b ? ,则 cos A ? . tan B b

10.设三角形 ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知

?a ? e x , x ? 1 ? 11.已知函数 f ( x) ? ? ( e 是自然对数的底).若函数 y ? f ( x) 的最小值是 4 ,则实数 a 的取值范围为. 4 x ? , x ? 1 ? x ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2? 12.在 ?ABC 中,点 P 是边 AB 的中点,已知 CP ? 3 , CA ? 4 , ?ACB ? ,则 CP ? CA ? . 3
13.已知直线 l : x ? y ? 2 ? 0 与 x 轴交于点 A ,点 P 在直线 l 上,圆 C : ( x ? 2) ? y ? 2 上有且仅有一个点 B 满
2 2

足 AB ? BP ,则点 P 的横坐标的取值集合为.

f (1) 的取值范围为. a 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答应写出文字说明、证明 .......
14.若二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c (a ? 0) 在区间 [1, 2] 上有两个不同的零点,则

过程或演算步骤. ? ? ? 15.已知向量 a ? ( 2 sin ? ,1) , b ? (1,sin(? ? )) . 4
(1)若角 ? 的终边过点 (3, 4) ,求 a ? b 的值; (2)若 a / / b ,求锐角 ? 的大小.

AC 的中点,点 D 16.如图,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的高为 6 ,其底面边长为 2 .已知点 M , N 分别是棱 AC 1 1,
是棱 CC1 上靠近 C 的三等分点.

求证: (1) B1M / / 平面 A 1BN ; (2) AD ? 平面 A 1BN .

1 x2 y 2 3 17.已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 经过点 ( 3, ) , (1, ) ,点 A 是椭圆的下顶点. 2 a b 2
(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)过点 A 且互相垂直的两直线 l1 , l2 与直线 y ? x 分别相交于 E , F 两点,已知 OE ? OF ,求直线 l1 的斜率.

18.如图,某景区内有一半圆形花圃,其直径 AB 为 6 , O 是圆心,且 OC ? AB .在 OC 上有一座观赏亭 Q ,其中

?AQC ?

2? ? .计划在 BC 上再建一座观赏亭 P ,记 ?POB ? ? (0 ? ? ? ) . 3 2

(1)当 ? ?

?
3

时,求 ?OPQ 的大小;

(2)当 ?OPQ 越大,游客在观赏亭 P 处的观赏效果越佳,求游客在观赏亭 P 处的观赏效果最佳时,角 ? 的正弦值.

19.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? c , g ( x) ? ln x . (1)若 a ? 0 , b ? ?2 ,且 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 c 的取值范围; (2)若 b ? ?3 ,且函数 y ? f ( x) 在区间 (?1,1) 上是单调递减函数. ①求实数 a 的值; ②当 c ? 2 时,求函数 h( x) ? ?

? f ( x), f ( x) ? g ( x) 的值域. g ( x ), f ( x ) ? g ( x ) ?

20.已知 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和, a1 ? 3 ,且 2Sn ? an?1 ? 3 (n ? N ) .
*

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)对于正整数 i , j , k (i ? j ? k ) ,已知 ? a j , 6ai , ? ak 成等差数列,求正整数 ? , ? 的值; (3) 设数列 {bn } 前 n 项和是 Tn , 且满足: 对任意的正整数 n , 都有等式 a1bn ? a2bn?1 ? a3bn?2 ???? ?anb1 ? 3n?1 ?3n ? 3 成立.求满足等式

Tn 1 ? 的所有正整数 n . an 3

2017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一) 数学Ⅱ(附加题)
21.【选做题】在 A,B,C,D 四小题中只能选做两题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区 域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A. 选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是圆 O 的直径, D 为圆 O 上一点,过点 D 作圆 O 的切线交 AB 的延长线于点 C ,且满足 DA ? DC .

(1)求证: AB ? 2 BC ; (2)若 AB ? 2 ,求线段 CD 的长.

B. 选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 A ? ?

? 4 0? ?1 2 ? ?a ? ,B?? ,列向量 X ? ? ? . ? ? ?0 1? ?0 5 ? ?b ?

(1)求矩阵 AB ; (2)若 B ?1 A?1 X ? ? ? ,求 a , b 的值.

?5? ?1?

C. 选修 4-4:坐标系与参数方程 在极坐标系中, 已知圆 C 经过点 P (2 2, D. 选修 4-5:不等式选讲 已知 x , y 都是正数,且 xy ? 1 ,求证: (1 ? x ? y )(1 ? y ? x ) ? 9 .
2 2

?

), 圆心为直线 ? sin(? ? ) ? ? 3 与极轴的交点, 求圆 C 的极坐标方程. 4 3

?

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出 ....... 文字说明、证明过程或演算步骤.
22.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PD 垂直于底面 ABCD , PD ? AD ? 2 AB ,点 Q 为线段

PA (不含端点)上一点.

(1)当 Q 是线段 PA 的中点时,求 CQ 与平面 PBD 所成角的正弦值; (2)已知二面角 Q ? BD ? P 的正弦值为

2 PQ ,求 的值. 3 PA

23.在含有 n 个元素的集合 An ? {1, 2, ???, n} 中, 若这 n 个元素的一个排列 ( a1 , …, 满足 ai ? i(i ? 1, 2, ???, n) , a2 , an ) 则称这个排列为集合 An 的一个错位排列(例如:对于集合 A3 ? {1, 2,3} ,排列 (2,3,1) 是 A3 的一个错位排列;排列

(1,3, 2) 不是 A3 的一个错位排列).记集合 An 的所有错位排列的个数为 Dn .
(1)直接写出 D1 , D2 , D3 , D4 的值; (2)当 n ? 3 时,试用 Dn?2 , Dn?1 表示 Dn ,并说明理由; (3)试用数学归纳法证明: D2n (n ? N * ) 为奇数.

2017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一) 数学Ⅰ试题参考答案 一、填空题
1. {1} 2. 5 3. y ? ?

3 x 2

4. 63

5.

3 16 1 3

6. 25

7.

4 3 3

8. 8

9. 2 6

10.

11. a ? e ? 4

12. 6

13. ? ,5?

?1 ?3

? ?

14. [0,1)

二、解答题
15.解: (1)由题意 sin ? ? 所以 a ? b ?

4 3 , cos ? ? , 5 5

2 sin ? ? sin(a ? ) ? 2 sin ? ? sin ? cos ? cos ? sin 4 4 4

?

?

?

?

4 2 4 2 3 2 3 2 . ? ? ? ? ? 5 5 2 5 2 2

(2)因为 a / / b ,所以 2 sin ? sin( a ?

?
4

) ? 1 ,即 2 sin ? (sin ? cos

?

? cos ? sin ) ? 1 ,所以 4 4

?

sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 1 ,
2 2 则 sin ? cos ? ? 1 ? sin ? ? cos ? ,对锐角 ? 有 cos ? ? 0 ,所以 tan ? ? 1 ,

所以锐角 ? ?

?
4

.

16.证明: (1)连结 MN ,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 / /CC1 且 AA1 ? CC1 ,则四边形 AAC 1 1C 是平行四边形,

AC 的中点,所以 MN / / AA1 且 MN ? AA1 , 因为点 M 、 N 分别是棱 AC 1 1,
又正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中 AA 1 / / BB 1 且 AA 1 ? BB 1 ,所以 MN / / BB 1 且 MN ? BB 1 ,所以四边形 MNBB 1 是平行

BN ? 平面 A1BN , 四边形,所以 B1M / / BN ,又 B1M ? 平面 A 1BN ,
所以 B1M / / 平面 A 1BN ;

(2)正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ? 平面 ABC ,

BN ? 平面 ABC ,所以 BN ? AA1 ,
正 ?ABC 中, N 是 AB 的中点,所以 BN ? AC ,又 AA1 、 AC ? 平面 AAC 1 1C , AA 1 ? AC ? A ,

AD ? 平面 AAC 所以 BN ? 平面 AAC 1 1C ,又 1 1C ,
所以 AD ? BN ,

AC ? 2 , AN ? 1 , CD ? 由题意, AA 1 ? 6,
又 ?A1 AN ? ?ACD ?

AA1 AN 3 6 ,所以 , ? ? 3 AC CD 2

?
2

,所以 ?A1 AN 与 ?ACD 相似,则 ?AA 1 N ? ?CAD ,

所以 ?ANA 1 ? ?AA 1N ? 1 ? ?CAD ? ?ANA

?
2



BN , A1 N ? 平面 A1BN , 则 AD ? A1 N ,又 BN ? A 1N ? N ,
所以 AD ? 平面 A 1BN .

1 ?3 ?1 1 ? 2 ?1 ? 2 ? ? ?a ? a2 4 4b 17.解: (1)由题意得 ? ,解得 ? , ? 1 ? 3 ?1 ? 1 ?1 ? ? ? a 2 4b 2 ? b2
所以椭圆 C 的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1; 4

(2)由题意知 A(0, ?1) ,直线 l1 , l2 的斜率存在且不为零, 设直线 l1 : y ? k1 x ? 1,与直线 y ? x 联立方程有 ?

? y ? k1 x ? 1 1 1 ,得 E ( , ), k1 ? 1 k1 ? 1 ?y ? x

设直线 l2 : y ? ?

1 1 1 , ), x ? 1 ,同理 F ( 1 1 k1 ? ?1 ? ?1 k1 k1

因为 OE ? OF ,所以 |

1 1 |?| |, k1 ? 1 ? 1 ? 1 k1



1 1 1 ? , k1 ? ? 0 无实数解; 1 k1 ? 1 ? ? 1 k1 k1 1 1 1 ? , k1 ? ? 2 , k12 ? 2k1 ?1 ? 0 ,解得 k1 ? 1 ? 2 , k1 ? 1 ? 1 ? 1 k1 k1



综上可得,直线 l1 的斜率为 1 ? 2 . 18.解: (1)设 ?OPQ ? ? ,由题, Rt ?OAQ 中, OA ? 3 , ?AQO ? ? ? ?AQC ? ? ? 所以 OQ ? 3 ,在 ?OPQ 中, OP ? 3 , ?POQ ? 由正弦定理得

?
2

?? ?

?
2

?

?
3

?

?
6

2? ? ? , 3 3



OQ OP ? , sin ?OPQ sin ?OQP



? 5? 3 3 ??) , ? ,所以 3 sin ? ? sin(? ? ? ? ) ? sin( 6 6 sin ? sin(? ? ? ? ? ) 6
5? 5? 1 3 cos ? ? cos sin ? ? cos ? ? sin ? ,所以 3sin ? ? cos ? , 6 6 2 2

则 3 sin ? ? sin

因为 ? 为锐角,所以 cos ? ? 0 ,所以 tan ? ?

? 3 ,得 ? ? ; 6 3

(2)设 ?OPQ ? ? ,在 ?OPQ 中, OP ? 3 , ?POQ ?

?
2

?? ?

?
2

?

?
3

?

?
6



由正弦定理得

3 3 OQ OP ? ? ,即 , sin ? sin(? ? ? ? ( ? ? ? )) sin ?OPQ sin ?OQP 2

所以 3 sin ? ? sin(? ? ? ? (

?

? ? )) ? sin( ? (? ? ? )) ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? , 2 2

?

从而 ( 3 ? sin ? )sin ? ? cos ? cos ? ,其中 3 ? sin ? ? 0 , cos ? ? 0 , 所以 tan ? ?

cos ? , 3 ? sin ?

记 f (? ) ?

? cos ? 1 ? 3 sin ? , f '(? ) ? , ? ? (0, ) ; 2 2 3 ? sin ? ( 3 ? sin ? )
? 3 3 ,存在唯一 ? 0 ? (0, ) 使得 sin ?0 ? , 2 3 3

令 f '(? ) ? 0 , sin ? ?

当 ? ? (0,?0 ) 时 f '(? ) ? 0 , f (? ) 单调增,当 ? ? (? 0 , 所以当 ? ? ?0 时, f (? ) 最大,即 tan ?OPQ 最大, 又 ?OPQ 为锐角,从而 ?OPQ 最大,此时 sin ? ?

?
2

) 时 f '(? ) ? 0 , f (? ) 单调减,

3 . 3

答:观赏效果达到最佳时, ? 的正弦值为

3 . 3

19.解: (1)函数 y ? g ( x) 的定义域为 (0, ??) .当 a ? 0 , b ? ?2 , f ( x) ? x3 ? 2x ? c , ∵ f ( x) ? g ( x) 恒成立,∴ x ? 2 x ? c ? ln x 恒成立,即 c ? ln x ? x ? 2 x .
3 3

令 ? ( x) ? ln x ? x3 ? 2x ,则 ? '( x) ?

1 1 ? 2 x ? 3 x3 (1 ? x)(1 ? 3x ? 3x 2 ) ? 3x 2 ? 2 ? ? , x x x

令 ? '( x) ? 0 ,得 x ? 1 ,∴ ? ( x) 在 (0,1] 上单调递增, 令 ? '( x) ? 0 ,得 x ? 1 ,∴ ? ( x) 在 [1, ??) 上单调递减, ∴当 x ? 1 时, [? ( x)]max ? ? (1) ? 1. ∴c ?1. (2)①当 b ? ?3 时, f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3x ? c , f '( x) ? 3x2 ? 2ax ? 3 . 由题意, f '( x) ? 3x2 ? 2ax ? 3 ? 0 对 x ? (?1,1) 恒成立, ∴?

? f '(1) ? 3 ? 2a ? 3 ? 0 ,∴ a ? 0 ,即实数 a 的值为 0 . ? f '(?1) ? 3 ? 2a ? 3 ? 0

②函数 y ? h( x) 的定义域为 (0, ??) . 当 a ? 0 , b ? ?3 , c ? 2 时, f ( x) ? x3 ? 3x ? 2 .

f '( x) ? 3x2 ? 3 ,令 f '( x) ? 3x2 ? 3 ? 0 ,得 x ? 1 .

x
f '( x) f ( x)

(0,1)
-

1

(1, ??)
+

0
极小值 0

?

?

∴当 x ? (0,1) 时, f ( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,当 x ? (1, ??) 时, f ( x) ? 0 . 对于 g ( x) ? ln x ,当 x ? (0,1) 时, g ( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, g ( x) ? 0 ,当 x ? (1, ??) 时, g ( x) ? 0 . ∴当 x ? (0,1) 时, h( x) ? f ( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, h( x) ? 0 ,当 x ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 .

故函数 y ? h( x) 的值域为 [0, ??) . 20.解: (1) 由 2Sn ? an?1 ? 3 (n ? N * ) 得 2Sn?1 ? an?2 ? 3 , 两式作差得 2an?1 ? an?2 ? an?1 , 即 an?2 ? 3an?1 (n ? N * ) .

a1 ? 3 , a2 ? 2S1 ? 3 ? 9 ,所以 an?1 ? 3an (n ? N * ) , an ? 0 ,则
比为 3 的等比数列, 所以 an ? 3n (n ? N * ) ; (2)由题意 ?a j ? ? ak ? 2 ? 6ai ,即 ?3 j ? ?3k ? 2 ? 6 ? 3i , 所以 ? 3 j ?i ? ? 3k ?i ? 12 ,其中 j ? i ? 1 , k ? i ? 2 , 所以 ? 3
j ?i

an ?1 ? 3 (n ? N * ) ,所以数列 {an } 是首项为 3 公 an

? 3? ? 3 , ? 3k ?i ? 9? ? 9 ,

12 ? ?3 j ?i ? ?3k ?i ? 12 ,所以 j ? i ? 1 , k ? i ? 2 , ? ? ? ? 1 ;
(3)由 a1bn ? a2bn ?1 ? a3bn ?2 ???? ?anb1 ? 3n?1 ?3n ? 3 得,

a1bn?1 ? a2bn ? a3bn?1 ? ??? ?anb2 ? an?1b1 ? 3n?2 ? 3(n ? 1) ? 3 , a1bn?1 ? 3(a1bn ? a2bn?1 ???? ?an?1b2 ? anb1 ) ? 3n?2 ? 3(n ? 1) ? 3 ,

a1bn?1 ? 3(3n?1 ? 3n ? 3) ? 3n?2 ? 3(n ? 1) ? 3 ,
所以 3bn?1 ? 3n?2 ? 3(n ? 1) ?3 ? 3(3 所以 bn?1 ? 2n ? 1 (n ? N ) ,
* n ?1

? 3n ? 3) ,即 3bn?1 ? 6n ? 3 ,

又因为 a1b1 ? 31?1 ? 3 ?1 ? 3 ? 3 ,得 b1 ? 1 ,所以 bn ? 2n ? 1 (n ? N ) ,
*

从而 Tn ? 1 ? 3 ? 5 ???? ? (2n ? 1) ?

1 ? 2n ? 1 T n2 n ? n 2 (n ? N * ) , n ? n (n ? N * ) , 2 an 3

当 n ?1时

T 1 T1 1 T 4 ? ;当 n ? 2 时 2 ? ;当 n ? 3 时 3 ? ; a1 3 a2 9 a3 3 Tn 1 ? , an 3
n n ?1

下面证明:对任意正整数 n ? 3 都有
n ?1

Tn?1 Tn ?1? ? ? (n ? 1)2 ? ? an?1 an ? 3?

?1? ?1? ?n2 ? ? ? ? ? ? 3? ? 3?

?1? ((n ? 1)2 ? 3n2 ) ? ? ? ? 3?

n ?1

(?2n2 ? 2n ? 1) ,

2 2 当 n ? 3 时, ?2n ? 2n ? 1 ? (1 ? n ) ?n(2 ? n) ? 0 ,即

Tn?1 Tn ? ?0, an?1 an

所以当 n ? 3 时,

Tn T T 1 递减,所以对任意正整数 n ? 3 都有 n ? 3 ? ; an a3 3 an Tn 1 ? 的正整数 n 的值为1 和 3 . an 3

综上可得,满足等式

2017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一) 数学Ⅱ(附加题)参考答案 21.【选做题】
A. 选修 4-1:几何证明选讲 证明: (1)连接 OD , BD .因为 AB 是圆 O 的直径,所以 ?ADB ? 90 , AB ? 2OB .
?

因为 CD 是圆 O 的切线,所以 ?CDO ? 90 ,
?

又因为 DA ? DC ,所以 ?A ? ?C , 于是 ?ADB ? ?CDO ,得到 AB ? CO , 所以 AO ? BC ,从而 AB ? 2 BC .

CA ? 3 .由切割线定理,CD2 ? CB ? CA ? 1? 3 ? 3 , (2) 解: 由 AB ? 2 及 AB ? 2 BC 得到 CB ? 1 , 所以 CD ? 3 .
B. 选修 4-2:矩阵与变换 解: (1) AB ? ?

? 4 0 ? ?1 2 ? ? 4 8 ? ?? ??? ?; ? 0 1 ? ? 0 5 ? ? 0 5? ?5? ?1? ?5 ? ?1? ?4 8? ?5? ?28? ?a ? ? ? ? ,又因为 X ? ? ? ,所以 a ? 28 , b ? 5 . ? ? ? ?0 5? ?1? ? 5 ? ?b ?

(2)由 B ?1 A?1 X ? ? ? ,解得 X ? AB ? ? ? ? C. 选修 4-4:坐标系与参数方程 解:在 ? sin(? ?

?
3

) ? ? 3 中,令 ? ? 0 ,得 ? ? 2 ,

所以圆 C 的圆心的极坐标为 (2, 0) . 因为圆 C 的半径 PC ? (2 2) ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 2 ? cos
2 2

?
4

? 2,

于是圆 C 过极点,所以圆的极坐标方程为 ? ? 4cos ? . D. 选修 4-5:不等式选讲

证明:因为 x , y 都是正数,
2 2 2 2 所以 1 ? x ? y ? 3 3 xy ? 0 , 1 ? y ? x ? 3 3 yx ? 0 ,

(1 ? x ? y 2 )(1 ? y ? x2 ) ? 9xy ,又因为 xy ? 1 ,
所以 (1 ? x ? y 2 )(1 ? y ? x2 ) ? 9 .

【必做题】
22.解: (1)以 D 为原点, DA , DC , DP 为坐标轴,建立如图所示空间直角坐标系;设 AB ? t ,则 D(0, 0, 0) ,

A(2t ,0,0) , B(2t , t ,0) , C (0, t , 0) , P(0,0, 2t ) , Q(t , 0, t ) ;
所以 CQ ? (t , ?t , t ) , DB ? (2t , t ,0) , DP ? (0,0, 2t ) ,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ?? ?? ? ? DB ? n1 ? 0 设平面 PBD 的法向量 n1 ? ( x, y, z) ,则 ? ??? , ? ?? ? ? DP ? n1 ? 0
即?

?? ?2tx ? ty ? 0 ?2 x ? y ? 0 ,解得 ? ,所以平面 PBD 的一个法向量 n1 ? (1, ?2,0) , ?2tz ? 0 ?z ? 0 ?? ??? ? ?? ??? ? n1 ? CQ 3t 15 , cos ? n1 , CQ ?? ?? ??? ? ? ? 5 5 ? 3t n1 CQ

15 . 5 ?? ??? ? ?? ? ? ???? ??? ? ??? ? PQ ? ? (0 ? ? ?1) ,则 PQ ? ?PA , DQ ? DP ? PQ (2)由(1)知平面 PBD 的一个法向量为 n1 ? (1, ?2,0) ,设 PA ?? ? ??? ? ? (0,0, 2t ) ? ? (2t ,0, ?2t ) ? (2t? ,0, 2t (1 ? ? )) , DB ? (2t , t ,0) ,设平面 QBD 的法向量 n2 ? ( x, y, z) ,则
则 CQ 与平面 PBD 所成角的正弦值为

???? ?? ? ? ?2t? x ? 2t (1 ? ? ) z ? 0 ?? x ? (1 ? ? ) z ? 0 ? DQ ? n2 ? 0 ,即 ? ,解得 ? ,所以平面 QBD 的一个法向量 ? ?? ? ? ??? 2 tx ? ty ? 0 2 x ? y ? 0 DB ? n ? 0 ? ? ? ? 2 ?? ? n2 ? (1 ? ?,2? ? 2, ??) ,
?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 2 2 由题意得 1 ? ( ) ? cos ? n1 , n2 ? ? ?? ?? ? ? 3 n1 n2
2 5 5(1 ? ? ) 2 所以 ? ,即 (? ? 2)(? ? ) ? 0 , 2 3 9 6? ? 10? ? 5
因为 0 ? ? ? 1 ,所以 ? ?

5(1 ? ? ) 5 (1 ? ? ) ? (2? ? 2) 2 ? (?? ) 2
2



2 PQ 2 ? . ,则 3 PA 3

23. 解: (1) D1 ? 0 , D2 ? 1 ,

D3 ? 2 ,

D4 ? 9 ,
(2) Dn ? (n ?1)( Dn?1 ? Dn?2 ) , 理由如下: 对 An 的元素的一个错位排列( a1 , a2 ,…, an ) ,若 a1 ? k (k ? 1) ,分以下两类: 若 ak ? 1 ,这种排列是 n ? 2 个元素的错位排列,共有 Dn?2 个; 若 ak ? 1 ,这种错位排列就是将 1 , 2 ,…, k ? 1 , k ? 1 ,…, n 排列到第 2 到第 n 个位置上, 1 不在第 k 个位置, 其他元素也不在原先的位置,这种排列相当于 n ? 1 个元素的错位排列,共有 Dn?1 个; 根据 k 的不同的取值,由加法原理得到 Dn ? (n ?1)( Dn?1 ? Dn?2 ) ; (3)根据(2)的递推关系及(1)的结论, Dn 均为自然数; 当 n ? 3 ,且 n 为奇数时, n ? 1 为偶数,从而 Dn ? (n ?1)( Dn?1 ? Dn?2 ) 为偶数, 又 D1 ? 0 也是偶数, 故对任意正奇数 n ,有 Dn 均为偶数. 下面用数学归纳法证明 D2 n (其中 n ? N )为奇数.
*

当 n ? 1 时, D2 ? 1 为奇数; 假设当 n ? k 时, 结论成立, 即 D2 k 是奇数, 则当 n ? k ? 1 时,D2( k ?1) ? (2k ? 1)( D2k ?1 ? D2k ) , 注意到 D2 k ?1 为偶数, 又 D2 k 是奇数,所以 D2k ?1 ? D2k 为奇数,又 2k ? 1 为奇数,所以 D2( k ?1) ? (2k ? 1)( D2k ?1 ? D2k ) ,即结论对 n ? k ? 1 也成立; 根据前面所述,对任意 n ? N ,都有 D2 n 为奇数。
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