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1.4.2正弦函数和余弦函数的性质(3)


曹县三中高一数学导学案

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(3)
制作人:胡效尊 审核人:高一数学组 时间 2016/5/3 学习目标:1.掌握 y=sin x,y=cos x 的单调性,并能利用单调性比较大小. 2.会求函数 y=Asin(ω x+φ )及 y=Acos(ω x+φ )的单调区间. 问题探究: 思路:正弦函数和余弦函数都是周期函数,且周期都是 2π ,首先研究它们在一个周期区间 上函数值的变化情况,再推广到整个定义域. 【探究点一】正弦函数和余弦函数的对称性 观察正弦函数和余弦函数的图像可知:

推广到整个定义域可得: 当 x∈___________________________时, 正弦函数 y=sin x 是增函数, 函数值由-1 增大到 1; 当 x∈___________________________时,正弦函数 y=sin x 是减函数,函数值由 1 减小到-1. (2)函数 y=cos x,x∈[-π ,π ]的图象如图所示: 观察图象可知: 当 x∈__________时,曲线逐渐上升,是增函数,cos x 的值由-1 增大到 1; 当 x∈__________时,曲线逐渐下降,是减函数,cos x 的值由 1 减小到-1. 推广到整个定义域可得: 当 x∈___________________________时, 正弦函数 y=cos x 是增函数, 函数值由-1 增大到 1; 当 x∈___________________________时,正弦函数 y=cos x 是减函数,函数值由 1 减小到-1. 【探究点四】函数 y=Asin(ω x+φ )(或 y=Acos(ω x+φ ))(A>0)的单调性 确定函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0)单调区间的方法是: 当 ω >0 时, 把 ω x+φ 看成一个整体, 视为 X。 若把 ω x+φ 代入到 y=sin X 的单调增区间, π π 则得到 2kπ - ≤ω x+φ ≤2kπ + (k∈Z), 从中解出 x 的取值区间就是函数 y=Asin(ω x+φ ) 2 2 π 3 的增区间.若把 ω x+φ 代入到 y=sin X 的单调减区间,则得到 2kπ + ≤ω x+φ ≤2kπ + 2 2 π (k∈Z),从中解出 x 的取值区间就是函数 y=Asin(ω x+φ )的减区间. 当 ω <0 时,先利用诱导公式把 x 的系数转化为正数后,再根据复合函数确定单调区间的原则 (即同增异减)求解. 余弦函数 y=Acos(ω x+φ )的单调区间类似可求. 例 2.利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小.

(1)y=sinx 对称轴为, 对称中心为 ; (2)y=cosx 对称轴为, 对称中心有 。 【探究点二】研究形如 y=Asin(ω x+φ )或 y=Acos(ω x+φ ) (A>0,ω >0)的对称性 把 ω x+φ 看成一个整体,视为 X,把 ω x+φ 代入到 y=sin X 的对称轴 x ?

? 23 ? ? 17 ? cos?- π ?与 cos?- π ?. ? 5 ? ? 4 ?
变式:利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小. 49 ? π? ? π? ? 37 ? (1)sin?- ?与 sin?- ?;(2)sin 196°与 cos 156°;(3)sin?- π ?与 sin π ; 18 10 6 3 ? ? ? ? ? ? 例 3.求函数 y=sin(

k? ?

?
2

,k ? Z

0) 从中解出 x 的值就是函数 y=Asin(ω x+φ )的对称轴;代入到 y=sin X 的对称中心( k? , ,对
称中心。余弦函数依然。 例 1:求函数 y ? sin( 2x ?

?
3

1 ? x ? )的单调增区间. 2 3 1 ? 1 ? x ? ) ,x∈[-2π ,2π ](2) y ? sin( ? x ? )的单调增 2 3 2 3

)的对称轴和对称中心
变式:求函数(1)y=sin( 区间.

【探究点三】正、余弦函数的单调性

? π 3π ? (1)函数 y=sin x,x∈?- , ?的图象如图所示: 2 ? ? 2
观察图象可知:当 x∈__________时,曲线逐渐上升,是增函数,sin x 的值由-1 增大到 1; 当 x∈__________时,曲线逐渐下降,是减函数,sin x 的值由 1 减小到-1.

课堂小结:今天你的收获是什么? 作业布置:P46 A 组 4 题


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