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2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角


绍兴市柯桥区高中数学学科导学案

《必修 4》第二章 平面向量

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【学习目标】 1.通过探究平面向量的数量积的坐标运算,掌握两个向量数量积的坐标表示方法. 2.掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长 度、角度、垂直等几何问题. 【复习回忆】 1.平面向量数量积的定义. 2.两个向量的数量积的性质. 【课堂导学】 一、新课导入 平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也会 改变.向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节, 我们学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数量积的表示方式又会带 来哪些变化呢? 二、新知探究 问题 1.在平面直角坐标系中,平面向量可以用有序实数对来表示,两个平面向量共线的条 件也可以用坐标运算的形式刻画出来,那么学习了平面向量的数量积之后,它能否用坐标来表 示?若能,如何通过坐标来实现呢?平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗? 1.平面向量数量积的坐标表示:已知两个非零向量 a =(x1,y1), b =(x2,y2)。 ∵ a =x1 i +y1 j , b =x2 i +y2 j , ∴a· b=(x1 i +y1 j )· (x2 i +y2 j ) =x1x2 i +x1y2 i ? j +x2y1 j ? i +y1y2 j . 又∵ i =1, j =1, i ? j = j ? i =0, ∴ a ? b =x1x2+y1y2. 问题 2.平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢? 2.向量模的坐标表示
2 2 若 a =(x,y),则 a =x2+y2,或 a = x ? y .

2

2

2

2

2

如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),那么

a =(x2-x1,y2-y1), a = ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 .
3.两向量垂直的坐标表示 设 a =(x1,y1), b =(x2,y2),则

a ? b ? x1x2+y1y2=0.
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绍兴市柯桥区高中数学学科导学案

4.两向量夹角的坐标表示 设 a 、b 都是非零向量, a =(x1,y1), b =(x2,y2),θ 是 a 与 b 的夹角,根据向量数量积的定义及坐 标表示,可得 cosθ=

a ?b ? | a || b |

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x ? y12 ? x2 ? y2 2 1

三、巩固与反馈 例 1 已知 A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC 的形状,并给出证明. 答案:△ABC 是直角三角形 变式训练 在△ABC 中, AB =(2,3), AC =(1,k),且△ABC 的一个内角为直角,求 k 的值.

答案:k 的值为 ?

2 11 3 ? 13 或 或 3 3 2

例 2 (1)已知三点 A(2,-2),B(5,1),C(1,4),求∠BAC 的余弦值; (2) a =(3,0), b =(-5,5),求 a 与 b 的夹角.

答案:(1)

3? 5 74 . (2) 4 74

变式训练 设 a =(5,-7), b =(-6,-4),求 a ? b 及 a 、 b 间的夹角 θ.(精确到 1° ) 答案:θ ≈92° 例 3 已知 a =3, b =(2,3),试分别解答下面两个问题: (1)若 a ? b ,求 a ; (2)若 a // b ,求 a .

9 6 9 6 13, 13 )或 a = ( 13, ? 13). 13 13 13 13 6 9 6 9 13 , 13 )或 a = (? 13 ,? 13 ) (2) a = ( 13 13 13 13
答案:(1) a = (?
高一数学(必修 4)第 2 页 共 3 页 2

绍兴市柯桥区高中数学学科导学案

变式训练 求证:一次函数 y=2x-3 的图象(直线 l1)与一次函数 y= ?

1 x 的图象(直线 l2)互相垂直. 2

答案: 四、随堂训练 课本 P107 页练习.

课堂小结 1.在知识层面上,先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示 ,向量的模,两向量的夹角,向量 垂直的条件.其次引导学生总结数量积的坐标运算规律,夹角和距离公式、两向量垂直的坐标 表示. 2.在思想方法上,教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法,定义法,待 定系数法等. 【课后巩固】 课本习题 2.4 A 组 8、9、10.

高一数学(必修 4)第 3 页 共 3 页

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