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2017-2018学年高中数学人教A版必修五课件:第2章 数列 2-4 第2课时 精品_图文

第二章 数 列 2.4 等比数列 第2课时 等比数列的性质 1 自主预习学案 2 3 互动探究学案 课时作业学案 自主预习学案 ? 1915年,波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski)创造了一 个美妙的“艺术品”,被人们称为谢尔宾斯基三角形,如 图所示.如果我们来看一看图中那些白色三角形的个数, 并把它们按面积大小,从小到大依次排列起来,可以得到 一列数:1,3,9,27,81,??我们知道,这些数构成等比数 列,那么等比数列具有哪些独特的性质呢? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1.等比数列的项与序号的关系 (1)两项关系 qn-m 通项公式的推广:an=am·____________ (m、n∈N*). (2)多项关系 项的运算性质 apq ·a 若m+n=p+ (q m、n、p、q∈N*), 则am·an=____________. a +n=2p(m、n、p∈N*), 特别地,若m 则am·an=________. 2.等比数列的项的对称性 有穷等比数列中,与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积(若 2 an-1 =a · an-k+1 有中间项则等于中间项的平方),即 a · a =a · ________ ____________ = a n+1 1 n 2 k 2 (n为正奇数). ? 3.等比数列的运算数列的性质 ? (1)若{an}是公比为q的等比数列,则 cq ? ①{c·an}(c是非零常数)是公比为_______的等比数列; |q| ? ②{|an|}是公比为_________的等比数列. ? q(2) 若{an}、{bn}分别是公比为q1、q2的等比数列,则数列 · q 1 2 {an·bn}是公比为__________的等比数列. ? 4.等比数列的单调性 增 ? (1)当a1>0,q>1或a1<0,0<q<1时,等比数列 {an}为递 减 _______数列; ? (2)当a1>0,0<q<1或a1<0,q>1时,等比数列{an}为递 _______数列; ? (3)当q=1时,数列{an}是常数列; ? (4)当q<0时,数列{an}是摆动数列. 1.等比数列{an}中,a4=4,则 a2· a6 等于 导学号 68370450 ( C ) A.4 C.16 B.8 D.32 ? [解析] ∵{an}是等比数列, ? ∴a2a6=a=42=16. 1 2.(2015· 全国Ⅱ文,9)已知等比数列{an}满足a1= 4 ,a3a5=4(a4-1),则a2 = 导学号 68370451 ( C ) A.2 1 C.2 B.1 1 D.8 [ 解析] a4 2 3 由题意可得a3a5=a 4 =4(a4-1)?a4=2,所以q = a =8?q=2,故 1 1 a2=a1q=2,选C. 3.已知{an}是等比数列,且an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5= 导学号 68370452 ( A ) A.5 C.15 B.10 D.20 ? ? ? ? ? [解析] 由等比数列的性质,得a4a6=a,a2a4=a, ∴(a3+a5)2=a+2a3a5+a, =a2a4+2a3a5+a4a6=25, ∴a3+a5=±5. ∵an>0,∴a3+a5=5. 3 4.等比数列{an}中,a1=1,a9=9,则a5=_________ . 导学号 68370453 [ 解析] 由等比数列的性质,得a2 a9,∴a2 3. 5=a1· 5=9,∴a5=± 而a1、a9均为正值,故a5也为正值,∴a5=3. 互动探究学案 ?命题方向1 ?等比数列的性质 ?例题 在等比数列{an}中,已知a4a7=-512,a3+a8=124,且公比为 512 整数,则 . 导学号 68370454 1a10=_________ [ 解析] 由等比数列的性质,得 a3a8=a4a7=-512, ? ?a3+a8=124 由? ,得 ? ?a3a8=-512 ? ?a3=-4 ? ?a3=128 ? 或? . ? ? ?a8=128 ?a8=-4 ∵q为整数,∴a3=-4,a8=128. a8 128 ∴q =a = =-32,∴q=-2. -4 3 5 ∴a10=a8· q2=128×4=512. 1 『规律总结』 (1)若{an}为等比数列,则{ a },{|an|},{a 2 n },{pan}(p≠0), n {anan+k}均为等比数列; an (2)若{an},{bn}均为等比数列,则{anbn},{b }都是等比数列. n (3)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am· an=ap· aq . (4)若等比数列的下标具有某种规律时,应考虑应用性质求解. 〔跟踪练习1〕 导学号 68370455 25 (1)在等比数列{an}中,已知a7a12=5,则a8a9a10a11=_________ ; 1或64 (2){an}为等比数列,且a1a9=64,a3+a7=20,则a11=____________ ; (3)在等比数列{an}中,若a2· a8=36,a3+a7=15,则公比q值的个数可能为 ( D ) A.1个 C.3个 B.2个 D.4个 [ 解析] (1)解法一:∵a7a12=a8a11=a9a10=5,∴a8a9a10a11=52=25. 17 解法二:由已知得a1q6· a1q11=a2 q =5, 1 34 2 17 2 ∴a8a9a10a11=a1q7· a1q8· a1q9· a1q10=a4 · q = ( a q ) =25. 1 1· (2)∵a1a9=a3a7=64,∴a3,a7是方程x2-20x+64=0的两根. ? ? ?a3=4 ?a3=16 解得? 或? . ? ? ?a7=16 ?a7=4 ①若a3=4,a7=

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