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江西省南昌市2017届高三第二次模拟测试(文数)

江西省南昌市 2017 届高三第二次模拟测试 数学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自已的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的 条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致. 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案标号.第Ⅱ卷用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作 答.若在试题卷上作答,答题无效. 3.考试结束后,监考员将答题卡收回.

第Ⅰ卷(选择题部分,共 60 分)
一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.已知集合 A ? {x ? N 3 ? 2x ? 0} , B ? {x x ? 4}, 则 A ? B ? ( )
2

A. {x ? 2 ? x ? 1}

B. {x x ? 2}

C. {0,1}

D. {1, 2}

2.若 a ? i ? (1 ? 2i) ? t i ( i 为虚数单位, a, t ? R ) ,则 t ? a 等于( ) A. ? 1 B. 0 C. 1 D. 2 3.某人到甲、乙两市各 7 个小区调查空置房情况,调查得到的小区空置房的套数绘成了如图的茎叶图, 则调查中甲市空置房套数的中位数与乙市空置房套数的中位数之差为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

1 x 1 4.命题“ ?x ? 1 , ( ) ? ”的否定是( ) 2 2 1 x 1 1 x 1 A. ?x ? 1 , ( ) ? B. ?x ? 1 , ( ) ? 2 2 2 2 1 x 1 1 x 1 C. ?x0 ? 1 , ( ) 0 ? D. ?x0 ? 1 , ( ) 0 ? 2 2 2 2 5.执行如右图程序框图,输出的 S 为( ) 1 2 4 6 A. B. C. D. 7 7 7 7
6.已知函数 f ( x) ? sin x ? x ,则不等式 f ( x ? 2) ? f (1 ? 2 x) ? 0 的解集是( ) A. (??, ? ) C. (3, ??)





0 9 4 3 2 1 1

6 7 8 9

9 4 5 6 2 3 0

1 3

B. (? , ??) D. (??,3)

1 3

1

7.已知等腰梯形 ABCD 中 AB // CD , AB ? 2CD ? 4, ?BAD ? 60? ,双曲线以 A, B 为焦点,且经过

C , D 两点,则该双曲线的离心率 5 等于( )
A. 2 B. 3 C. 5 D. 3 ? 1

8.已知直线 m, n 与平面 ? , ? , ? 满足 ? ? ? , ? ? ? ? m, n ? ? , n ? ? ,则下列判断一定正确的是( ) A. m //? , ? ? ? B. n // ? , ? ? ? C. ? //? , ? ? ? D. m ? n, ? ? ?

9. 《九章算术》卷第六《均输》中,有问题“今有竹九节,下三节容量四升,上四节容量三升.问中间 .. 二节欲均容,各多少?”其中“欲均容”的意思是:使容量变化均匀,即由下往上均匀变细.在这个问 题中的中间 两节容量和是( ) .. A. 1

61 升 66

B. 2 升

C. 2

3 升 22

D. 3 升

) , (0,1,1), ( ,1, 0) ,绘制 10.一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O ? xyz 中的坐标分别是 (0, 0, 0), (1, 0,1
该四面体三视图时, 按照如下图所示的方向画正视图,则得到左视图可以为(
z

1 2



o x
正(主)视方向

y

A

B


C

D

11.函数 y ?

2sin x 3? 3? ( x ?[? ,0) ? (0, ]) 的图像大致是( 1 4 4 1? 2 x
y
y

y

y
π 2

o

π 2

x

o

π 2

x

o

π 2

x

o

x

A.
2 2

B.

C.

D.

12. 若对圆 ( x ?1) ? ( y ?1) ? 1 上任意一点 P( x, y) , | 3x ? 4 y ? a | ? | 3x ? 4 y ? 9 | 的取值与 x, y 无关, 则实数 a 的取值范围是( ) A. a ? ?4 B. ?4 ? a ? 6 C. a ? ?4 或 a ? 6 D. a ? 6

第Ⅱ卷(非选择题部分,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两个部分. 第13题~第21题为必考题,每个考生都必须作答. 第22题~第 23题为选考题,考生根据要求作答. 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
2

13.已知向量 a ? (3, 4) , b ? ( x,1) ,若 (a ? b) ? a ,则实数 x 等于 14.已知 sin ? ? 2 cos ? ? 0 ,则

?

?

? ?

?



1 ? sin 2? ? cos 2 ?

. .

15.等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,前 n 项和为 Sn ,满足 S7 ? 4S6 ? 3S5 ? 0 ,则 S4 ?

16.网店和实体店各有利弊,两者的结合将在未来一段时期内,成为商业的一个主要发展方向.某品牌 行车记录仪支架销售公司从 2017 年 1 月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据 几个月运营发现,产品的月销量 x 万件与投入实体店体验安装的费用 t 万元之间满足 x ? 3 ?

2 t ?1

函数关系式,已知网店每月固定的各种费用支出为 3 万元,产品每 1 万件进货价格为 32 万元,若每 件产品的售价定为“进货价的 150% ”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和,则该公 司最大月利润是 万元. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? sin 2 x . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的递增区间; (Ⅱ) ?ABC 的角 A, B, C 所对边分别是 a, b, c ,角 A 的平分线交 BC 于 D , f ( A) ?

3 , 2

AD ? 2BD ? 2 ,求 cos C .
18. (本小题满分 12 分)近年来随着我国在教育科研上的投入不断加大,科学技术得到迅猛发展,国内 企业的国际竞争力得到大幅提升.伴随着国内市场增速放缓,国内有实力企业纷纷进行海外布局, 第二轮企业出海潮到来.如在智能手机行业,国产品牌已在赶超国外巨头,某品牌手机公司一直默默 拓展海外市场,在海外共设 30 多个分支机构,需要国内公司外派大量 70 后、80 后中青年员工.该 企业为了解这两个年龄层员工是否愿意被外派工作的态度,按分层抽样的方式从 70 后和 80 后的员 工中随机调查了 100 位,得到数据如下表: 愿意被外派
70 后 80 后

不愿意被外派

合计

合计

20 40 60

20 20 40

40 60 100

(Ⅰ)根据调查的数据,是否有 90% 以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”,并说明理由; (Ⅱ) 该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动, 拟安排 4 名参与调查的 70 后员工参加.70 后员工中有愿意被外派的 3 人和不愿意被外派的 3 人报名参加,现采用随机抽样方法从报名的员工 中选 4 人,求选到愿意被外派人数不少于不愿意被外派人数的概率. 参考数据:

P( K 2 ? k )
k
(参考公式: K 2 ?

0.15 2.072
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

n(ad ? bc) ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

3

19. (本小题满分 12 分)已知四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60? ,

SA ? SD ? 5, SB ? 7 ,点 E 是棱 AD 的中点,点 F 在棱 SC 上, S
SF ? ? , SA //平面 BEF . 且 SC
F D E A B

(Ⅰ)求实数 ? 的值; (Ⅱ)求三棱锥 F ? EBC 的体积.

C

20. (本小题满分 12 分)如图,椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点为 A(2, 0) ,左、右焦点分别 a 2 b2

A 且斜率为 为F 1 、 F2 ,过点
的射影恰好为点 F1 .

1 的直线与 y 轴交于点 P ,与椭圆交于另一个点 B ,且点 B 在 x 轴上 2
y

M

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)过点 P 的直线与椭圆交于 M , N 两点( M , N 不与 ,若 S?PAM ? 6S?PBN ,求直线 MN 的方程. A, B 重合)
F1
O

F2 P

A

x

B

N

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? e ( x ? 2x ? a) (其中 a ? R , a 为常数, e 为自然对数的底
x 2

数) . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设曲线 y ? f ( x) 在 (a, f (a)) 处的切线为 l ,当 a ? [1,3] 时,求直线 l 在 y 轴上截距的取值范围.

请考生在第(22) 、 (23)两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑,把答案填在答题卡上. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程为 ?

? ?x ? 1? t ( t 为参数) .在以坐标原点 O 为极点, x 轴非负半轴为极 y ? 3 ? 3 t ? ?

轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 4? cos? ? 2 3? sin ? ? 4 ? 0 . (Ⅰ)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 交于 A 、 B 两点,求 | OA | ? | OB | .

23. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 f ( x) ?| 2 x ? 3 | ? | 2 x ? 1| . (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 2 的解集; (Ⅱ)若存在 x ? R ,使得 f ( x) ?| 3a ? 2 | 成立,求实数 a 的取值范围.

4

数学(文科)参考答案
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 题号 答案 1 C 2 A 3 B 4 C 5 A 6 D 7 D 8 D 9 C 10 B 11 A 12 D

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13. 7 14. 1 . 15. 40 16. 37.5 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 17. 【解析】 (Ⅰ) f ( x) ? 3 sin x cos x ? sin 2 x

?
令 2 k? ?

3 1 1 ? 1 sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin(2 x ? ) ? 2 2 2 6 2
? 2 k? ?

…………3 分

?
2

? 2x ?

?
6

?
2

, k ? Z ,解得 k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

,k ?Z ,
…………6 分

所以递增区间是 [k? ? (Ⅱ) f ( A) ? 由0 ? A ?

?

?
2

3 ? ? ? ? ? sin(2 A ? ) ? 1 ,得到 2 A ? ? 2k? ? ? A ? k? ? , k ? Z , 2 6 6 2 3
得到 A ?

, k? ? ]( k ? Z ) ; 6 3

?

?

3

,所以 ?BAD ?

?

6

…………8 分

由正弦定理得

? 3? BD AD 2 ,B ? 或B ? (舍去)……10 分 ? ? sin B ? 4 4 sin ?BAD sin B 2

所以 cos C ? ? cos( A ? B) ? sin

?
3

sin

?
4

? cos

?
3

cos

?
4

?

6? 2 . 4

…………12 分

18. 【解析】 (Ⅰ) K 2 ?

n(ad ? bc)2 100 ? (20 ? 20 ? 40 ? 20) 2 400 ? 400 ?100 ? ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 60 ? 40 ? 60 ? 40 5760000

? 2.778 ? 2.706 所以有 90% 以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”.………5 分
(Ⅱ)设 70 后员工中报名参加活动有愿意被外派的 3 人为 Y1 , Y2, Y3 ,不愿意被外派的 3 人为

N1 , N 2, N 3,现从中选 4 人,如图表所示,用 ? 表示没有被选到,

5

(可以以不同形式列举出 15 种情况)…………9 分 则“愿意被外派人数不少于不愿意被外派人数”即“愿意被外派人数为 2 人或 3 人”…10 分

12 4 ? . …………12 分 15 5 19. 【解析】 (Ⅰ)连接 AC ,设 AC ? BE ? G ,则平面 SAC ? 平面 EFB ? FG ,
共 12 种情况,则其概率 P ?

? SA //平面 EFB ,? SA // FG , ? ?GEA ∽ ?GBC ,?

……2 分

S F

AG AE 1 ? ? , GC BC 2 SF AG 1 1 1 ? ? ? ? SF ? SC ,? ? ? .……6 分 FC GC 2 3 3
(Ⅱ)? SA ? SD ? 5,? SE ? AD, SE ? 2 , 又 ? AB ? AD ? 2, ?BAD ? 60?,? BE ? 3 ,

E A

D G B

C

? SE 2 ? BE 2 ? SB2 ,? SE ? BE ,

……8 分 ……9 分 …………12 分

? SE ? 平面 ABCD ,
所以 VF ? BCE ?

2 1 1 1 4 3 . VS ? EBC ? VS ? ABCD ? ? ? 2 ? 2sin 60?? 2 ? 3 3 3 3 9

20. 【解析】 (Ⅰ)当 k ?

b2 1 B ( ? c , ? ), 时, BF 轴,得到点 ? x 1 2 a

…………2 分

?a ? 2 ?a ? 2 ? 2 ? x2 y 2 b 1 ? ? 1. 所以 ? …………5 分 ? ? ?b ? 3 ,所以椭圆 C 的方程是 ? 4 3 a ( a ? c ) 2 ? ? ?c ? 1 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1 PA ? PM ? sin ?APM ???? ? ??? ? PM S?PAM 2 2 ? PM 6 ? 3 所以 PM ? ?3PN . (Ⅱ)因为 ? ? ? ,? 1 PN S?PBN 1? PN 1 PB ? PN ? sin ?BPN 2 ???? ? ??? ? 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 PM ? ( x1 , y1 ? 1), PN ? ( x2 , y2 ?1) ,有 x1 ? ?3x2 ……6 分
①当 MN 斜率不存在, MN 的方程为 x ? 0 ,

PM 3 ?1 PM 3 ?1 ? ? 2? 3 或 ? ? 2 ? 3 ,(不合条件,舍去) PN PN 3 ?1 3 ?1
②当 MN 斜率存在,由(Ⅰ)可知 P(0, ?1) ,设 MN 方程为 y ? kx ? 1 ,

…………7 分

? y ? kx ? 1 ? 2 2 联立方程 ? x 2 y 2 得: (4k ? 3) x ? 8kx ? 8 ? 0 . ?1 ? ? 3 ?4
6

…………8 分

8k 8k ? ? x1 ? x2 ? 2 ?2 x2 ? 2 ? ? ? ? 4k ? 3 4k ? 3 由韦达定理可得 ? ,将 x1 ? ?3x2 代入可得 ? , ? x ? x ? ?8 ?3x 2 ? 8 ? 1 2 4k 2 ? 3 ? 2 4k 2 ? 3 ? ?
即 3(

?4 k 2 8 3 6 2 ) ? 2 .所以 k ? ? k ? ? . 2 4k ? 3 4k ? 3 2 2

…………11 分

所以直线 l2 的方程为 y ?

6 6 x ? 1或 y ? ? x ?1 . 2 2

…………12 分 …………2 分 …………4 分

21. 【解析】 (Ⅰ) f '( x) ? e x ( x2 ? 2x ? a) ? e x (2x ? 2) ? e x ( x 2 ? a ? 2) , 当 a ? 2 时, f '( x) ? 0 恒成立,函数 f ( x ) 的递增区间是 R ; 当 a ? 2 时, f '( x) ? 0 ? x2 ? 2 ? a ? x ? ? 2 ? a 或 x ?

2?a ,

…………6 分

函数 f ( x ) 的递增区间是 (??, ? 2 ? a ),( 2 ? a , ??) ,递减区间是 (? 2 ? a , 2 ? a ) ; (Ⅱ) f (a) ? e (a ? a) , f '(a) ? e (a ? a ? 2) ,
a 2 a 2

所以直线 l 的方程为: y ? e (a ? a) ? e (a ? a ? 2)( x ? a) ,
a 2 a 2

…………8 分

令 x ? 0 得到:截距 b ? e (?a ? a) ,记 g (a) ? e (?a ? a) ,
a 3 a 3

g '(a) ? ea (?a3 ? 3a2 ? a ? 1) ,记 h(a) ? ?a3 ? 3a2 ? a ? 1 ? h '(a) ? ?3a2 ? 6a ? 1 ? 0(?1 ? a ? 3) ,所以 h(a) 递减

…………9 分

? h(a) ? h(1) ? ?2 ? 0 ,? g '(a) ? 0 ,即 g (a) 在区间 [1,3] 上单调递减,…………11 分
? g (3) ? g (a) ? g (1) ,即截距的取值范围是: [?24e3 ,0] .
22. 【解析】 (Ⅰ)直线 l 的普通方程是 y ? 3 ? 3( x ?1) 即 y ? 3x …………12 分 …………2 分

曲线 C 的直角坐标方程是 x2 ? y2 ? 4x ? 2 3 y ? 4 ? 0 即 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 3 …5 分 (Ⅱ)直线 l 的极坐标方程是 ? ? 所以 | OA | ? | OB |?| ? A ?B |? 4 .

?
3

,代入曲线 C 的极坐标方程得: ? ? 5? ? 4 ? 0 ,
2

…………10 分

3 1 ? ? 3 ?x ? ? ?? ? x ? 23. 【解析】 (Ⅰ)不等式 f ( x) ? 2 等价于 ? 或? 2 2 2 ? ? ??(2 x ? 3) ? (2 x ? 1) ? 2 ?(2 x ? 3) ? (2 x ? 1) ? 2
7

1 ? 3 3 ?x ? 或? ,解得 x ? ? 或 ? ? x ? 0 , 2 2 2 ? ?(2 x ? 3) ? (2 x ? 1) ? 2
所以不等式 f ( x) ? 2 的解集是 (??, 0) ; (Ⅱ)? f ( x) ?| (2 x ? 3) ? (2 x ? 1) |? 4 ,? f ( x)max ? 4 , …………5 分 …………7 分 …………10 分

2 ? | 3a ? 2 |? 4 ,解得实数 a 的取值范围是 (? , 2) . 3

8


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