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高考数学考前提醒:高中知识点易错点梳理

高考数学考前提醒:高中知识点易错点梳理
一、不等式 1、同向不等式能相减,相除吗? 2、不等式的解集的规范书写格式是什么?(一般要写成集合的表达式) 3、分式不等式

f ?x ? ? a?a ? 0? 的一般解题思路是什么?(移项通分,分子分母分解 g ?x ?

因式,x 的系数变为正值) 4、解指对不等式应该注意什么问题?(指数函数与对数函数的单调性,对数的真数大 于零。 ) 5、含有两个绝对值的不等式如何去绝对值?(一般是根据定义分类讨论)

?a?b? 6、利用重要不等式 a ? b ? 2 ab 以及变式 ab ? ? ? 等求函数的最值时,你是 ? 2 ? ? 否注意到 a,b ? R (或 a ,b 非负) ,且“等号成立”时的条件,积 ab 或和 a+b 其
中之一应是定值?(一正二定三相等)

2

a 2 ? b2 a ? b 2ab 。 ? ? ab ? , (a, b ? R ? ) (当且仅当 a ? b ? c 时,取等号) 2 2 a?b 8、在解含有参数的不等式时,怎样进行讨论?(特别是指数和对数的底 0 ? a ? 1 或 a ? 1 )讨论完之后,要写出:综上所述,原不等式的解集是……。
7、 9、 解含参数的不等式的通法是“定义域为前提, 函数增减性为基础, 分类讨论是关键。 ” 10、对于不等式恒成立问题,常用的处理方式?(转化为最值问题) 二、集合、函数 1. 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序)。 已知集合 A={x,xy,lgxy},集合 B={0,|x|,y},且 A=B,则 x+y=



2. 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。 已知 “ 集合 M={y | y=x2 ,x∈R} , N={y | y=x2+1,x∈R} ,求 M∩N” ;与 “ 集合 M={(x,y)|y=x2 ,x∈R},N={(x,y)|y=x2+1,x∈R},求 M∩N”的区别。 3. 集合 A、B, A ? B ? ? 时,你是否注意到“极端”情况: A ? ? 或 B ? ? ;求集 合的子集 A ? B 时是否忘记 A ? ? 。
2

例如:?a ? 2?x ? 2?a ? 2?x ? 1 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,求 a 的取植范围,你讨

论了 a ? 2 的情况了吗?

, 3] ,使不等式 ax ? (a ? 2) x ? 2 ? 0 ,求 x 的取值范围。 又如:若存在 ..a ?[1
2

4. (CUA)∩( CU B) = CU(A∪B),(CUA)∪( CUB) = CU(A∩B); A ? B ? B ? B ? A, A ? B ? B ? A ? B 。 对于含有 n 个元素的有限集合 M ,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个
n 2 n ? 1, 2 n ? 1, 2 ? 2 。如满足条件 {1} ? M ? {1,2,3,4} 的集合 M 共 数依次为 2 ,
n

有多少个?(特别注意 ? )
1

5. 解集合问题的基本工具是韦恩图。 某文艺小组共有 10 名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中 7 人会唱歌 跳舞 5 人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人,表演一个唱歌和一个跳舞节目, 问有多少种不同的选法? 6. 两集合之间的关系: M ? {x x ? 2k ? 1, k ? Z }, N ? {x x ? 4k ? 1, k ? Z } 7.函数的几个重要性质: ① 如 果 函 数 y ? f ?x ? 对 于 一 切 x ? R , 都 有 f ?a ? x ? ? f ?a ? x ? 或 ②函数 y ? f ?x ? 与函数 y ? f ?? x ?的图象关于直线 x ? 0 对称; 函数 y ? f ?x ? 与函数 y ? ? f ?x ? 的图象关于直线 y ? 0 对称; 函数 y ? f ?x ? 与函数 y ? ? f ?? x ? 的图象关于坐标原点对称。

f ? 2a ? x ? ? f ? x ? ,那么函数 y ? f ?x ? 的图象关于直线 x ? a 对称。

③若奇函数 y ? f ?x ? 在区间 ?0,??? 上是递增函数,则 y ? f ?x ? 在区间 ?? ?,0? 上也 是递增函数。 ④若偶函数 y ? f ?x ? 在区间 ?0,??? 上是递增函数,则 y ? f ?x ? 在区间 ?? ?,0? 上是 递减函数。 ⑤函数 y ? f ?x ? a ? (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 x 轴向左平移 a 个 单位得到的; 函数 y ? f ?x ? a ? ( (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 x 轴向右平移 a 个 单位得到的; 函数 y ? f ?x ? +a (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 助图象沿 y 轴向上平移 a 个单 位得到的; 函数 y ? f ?x ? +a (a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 助图象沿 y 轴向下平移 a 个单 位得到的。 ⑥函数 y ? f ? ?x ? a ? 与函数 y ? f ? x ? b ? 的图象关于直线 x ? (2)函数 y ? f ? x ? 1? 与 y ? f ? ? x ? 1? 关于直线

例如: (1)函数 y ? f ?x ? 满足 f ? x ? 1? ? f ? ? x ? 1? 则关于直线

a?b 对称。 2
对称;

对称; ;

(3) 函数 y ? log2 ax ? 1( a ? 0 ) 的图象关于直线 x ? 2 对称, 则a ?

? (4)函数 y ? sin 3x 的图象可由 y ? 1 ? cos3x 的图象按向量 a ?
小)平移得到。 8.求一个函数的解析式,你标注了该函数的定义域了吗? 例如: (1)若 f (sin x ) ? cos 2x ,则 f ? x ? ? 则 f ? x? ? 。
2

? (a 最

; (2)若 f ( x ?

1 1 ) ? x3 ? 3 , x x

9.求函数的定义域的常见类型记住了吗?复合函数的定义域弄清了吗?

x(4 ? x) 的定义域是 ; lg( x ? 3)2 (2)函数 f ( x ) 的定义域是[0,1],求 f (log 0.5 x) 的定义域;
例如: (1)函数 y ? (3)函数 f (2x ) 的定义域是(0,1],求 f (log2 x) 的定义域。 10.你知道求函数值域的常用方法有哪些吗?含参的二次函数的值域、最值要记得讨 论! 是 ; ; (3)函数 y ? x ? 1 ? x 2 的值域

例 如 ( 1 ) 已 知 函 数 y ? f ?x ? 的 值 域 是 [ a , b ] , 则 函 数 y ? f ? x? 1? 的 值 域 (2)函数 y ? x ? 1 ? 2x 的值域是 是 ; (4)函数 y ?

2x ? 1 的值域是 2x ? 1



11.判断一个函数的奇偶性时,你注意到函数的定义域是否关于原点对称 这个必要非 ........... 充分条件了吗? 例如: (1)函数 f ? x ? ? x2 ( x ? 0) 的奇偶性是 式为 。 ;

x (2)函数 y ? f ?x ? 是 R 上的奇函数,且 x ? 0 时, f ? x ? ? 1 ? 2 ,则 f ? x ? 的表达

12.根据定义证明函数的单调性时,规范格式是什么?(取值,作差,判正负) 在求函数的单调区间或求解不等式时,你知道函数的定义域要优先考虑吗? 例如: (1)函数 y ? log 1 ( x ? 2x ? 3) 的单调减区间为
2 2 2



(2)若函数 y ? log 1 ( x ? ax ? 3a) 在区间 ?2, ??? 上是减函数,则实数 a 的取值范
2

围是

( 3 )若定义在 R 上的偶函数 f ? x ? 在区间 ?0, ??? 上是单调增函数,则不等式



f ?1? ? f ? lg x ? 的解集为
。 13 .你知道钩型函数 y ? x ?

? a ,???上单调递增;在 ? ??
函数!

a x

?a ? 0? 的单调区间吗?(该函数在 ?? ?,?

a 和

?

a , 0 和 0, a ? 这可是一个应用广泛的 ? 上单调递减)

? ?

3

例如:函数 y ?

x2 ? 2 x2 ? 1

的值域为

;y?

x2 ? 3 x2 ? 2

的值域为



14、幂函数与指数函数有何区别? 例如: (1)若幂函数 f ? x ? ?

??

??
x

2

? 3? ? 3? x

??

2

? 2? ?3

?是

?0, ??? 上的单调减函数,则



x

(2)若关于 x 的方程 4 ? a ? 2 ? a ? 1 ? 0 有解,则实数 a 的取值范围是 15、 对数的换底公式及它的变形, 你掌握了吗? ( loga b ? 你还记得对数恒等式吗?( a 例如:若集合 A ? ?n ?
loga b

logc b , loga n b n ? loga b ) logc a

? b)
个。

? ? ? ?

? 1 1 ? ? log 1 2 ? ? , n ? N ? ,则 A 的子集有 2 3 ? n ?

16、求解对数函数问题时,注意真数与底数的限制条件! ; ? log2 ( x ? 2) 的解的个数是 (2)不等式 log( a?1) (2x ? 1) ? log( a?1) ( x ? 1) 成立的充要条件是 例如: (1)方程 2
2 2

x?1



17、“实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 有实数解”转化为“ ? ? b ? 4ac ? 0 ”,你 是否注意到必须 a ? 0 ;当 a ? 0 时,“方程有解”不能转化为 ? ? b ? 4ac ? 0 .若 原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式,你是否考虑到二次项系数可能为零 的情形?
2

例如:已知函数 y ? lg ? a ? 1 x ? ? a ? 1? x ? 1? ,
2 2

??

?

?

(1)若函数的定义域为 R,求 a 的取值范围是 的取值范围是 。

; (2)若函数的值域为 R,求 a

三、三角 1 . 三 角 公 式 记 住 了 吗 ? 两 角 和 与 差 的 公 式 ________________ ; 二 倍 角 公 式:_________________解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数,看 特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次 降次, 2. 在解三角问题时, 你注意到正切函数、 余切函数的定义域了吗?正切函数在整个定 义域内是否为单调函数?你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗? 3. 在三角中,你知道 1 等于什么吗?
2 2 ( 1 ? sin x ? cos x ? tan x ? cot x ? tan

?
4

? sin

?
2

? cos 0 ? 1 这些统称为 1 的

代换) 常数“1”的种种代换有着广泛的应用。 4. 诱导公式:奇变偶不变,符号看象限。
4

5. 在 三 角 的 恒 等 变 形 中 , 要 特 别 注 意 角 的 各 种 变 换 .( 如

? ? (? ? ? ) ? ? , ? ? (? ? ? ) ? ? ,

???
2

? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 等) 2? ?2 ? ?

6. 你还记得三角化简题的要求是什么吗?项数最少、 函数种类最少、 分母不含三角函 数、且能求出值的式子,一定要算出值来) 7. 你还记得三角化简的通性通法吗?(切化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊 角,异角化同角,异名化同名,高次化低次) ;你还记得降幂公式吗? 2 2 cos x=(1+cos2x)/2;sin x=(1-cos2x)/2 练习: (1) tan ? ? 解析:

b (a ? 0) 是 a cos 2? ? b sin 2? ? a 的 a

条件。

b sin ? b ? ? ? a sin ? ? b cos ? ? a sin ? ? sin ? ? b cos ? ? sin ? a cos ? a 1 ? cos 2? sin 2? ? a? ? b? ? a cos 2? ? b sin 2? ? a 2 2 b ? 反之,若 a cos 2? ? b sin 2? ? a 成立,则未必有 tan ? ? ,取 a ? 0 ,? ? ? 即可, a 2 tan ? ?
故为充分不必要条件。

3 ? 4 ? , cos ? ? , 则 ? 角的终边在 2 5 2 5 ? 3 ? 4 ? 解析:因为 sin ? , cos ? ? , 故 是第二象限角, 2 5 2 5 2
(2)已知 sin

?



? ? ? 2k ? ( k ? Z ) , 2 2 故 ? ? 4k? ? ? ? 2? ? 4k? (k ? Z ) ,在第三或第四象限。
即 以上的结果是错误的,正确的如下: 由 sin 所以

?

? 2k ? ?

?

?

3? ? 4k? ? ? ? 2? ? 4k? (k ? Z ) ,故在第四象限。 2

3 ? 4 3? ? ? , cos ? ? , 知 ? 2k ? ? ? ? ? 2k ? ( k ? Z ) 2 5 2 5 4 2

8. 你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗?( l ? ? r , S 扇形 ? 9. 辅助角公式: a sin x ? b cos x ?

1 lr ) 2

a 2 ? b 2 sin ?x ? ? ? (其中 ? 角所在的象限由 a,b b 的符号确定, ? 角的值由 tan ? ? 确定)在求最值、化简时起着重要作用。 a
5

10.三角函数(正弦、余弦、正切)图象的草图能迅速画出吗?能写出他们的单调区 间、对称轴,取最值时的 x 值的集合吗?(别忘了 k ? Z) 三角函数性质要记牢,函数 y ? A sin(? ? x ? ?) ? k 的图象及性质: 振幅|A|,周期 T=

2?

?

,若 x=x0 为此函数的对称轴,则 x0 是使 y 取到最值的点,反

之亦然,使 y 取到最值的 x 的集合为 , 当 ? ? 0, A ? 0 时函数的增区间为 ,减区间为 ? ? 0 时要利用诱导公式将 ? 变为大于零后再用上面的结论。 五点作图法:令 ?x ? ? 依次为 0 11.三角函数图像变换: (1)将函数为 y ? f ( x) 的图像向右平移 到函数 y ? cos 2 x 的图像,则 f ( x) ? (2) f ( x) ? 2sin( x ?

;当

?

2

,? ,

3? ,2? 求出 x 与 y,依点 ? x, y ? 作图。 2

? 个单位后,再作关于 x 轴的对称变换,得 4


? ) ? 2 cos x 的图像按向量 m 平移得到 g ( x) 的图像, 若 g ( x) 是 6 ? ? 偶函数,求 | m | 最小的向量 m 。
12.有关斜三角形的几个结论: 在 Rt ?ABC 中, AC ? AD ? AB, BC ? BD ? BA, CD ? AD ? BD
2 2 2

?

A D C B

a?b?c 内切圆半径 r ? (S 为 ?ABC 的面积) 2 在 ?ABC 中, ① sin( A ? B) ? sin C , cos( A ? B) ? ? cos C , tan A ? tan B ? tan C ? tan A ? t an B ? tan C , A? B C A? B C sin ? cos , cos ? sin , 2 2 2 2
②正弦定理 ③余弦定理

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B , 2 2 2 2s ⑤内切圆半径 r ? 。 a?b?c
④面积公式 S ? 13.在 ?ABC 中,判断下列命题的正误 (1) A ? B 的充要条件是 cos 2 A ? cos 2 B ; (2) tan A ? tan B ? tan C ? 0 ,则 ?ABC 是锐角三角形; (3)若 ?ABC 是锐角三角形,则 cos A ? sin B 。
6

四、数列 1.等差数列中的重要性质: (1)若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq ; (2)数列{ a2 n?1 },{ a2 n },{ kan ? b }仍成等差数列; Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n 仍成等差 数列;

am S2 m?1 ; ? bm T2 m?1 (4)等差数列中,求Sn的最大(小)值,其中一个思路是找出最后一正项(负项) ak , 那么 (Sn )max(min) ? Sk 。
(3)若{ a n },{ bn }是等差数列, S n , Tn 分别为它们的前 n 项和,则 练习: ①在等差数列{ a n }中,若 S9 ? 18, Sn ? 240, an?4 ? 30 ,则 n ? ②{ a n } , { bn } 都 是 等 差 数 列 , 前 n 项 和 分 别 为 S n , Tn , 且 。

S n 2n ? 1 ,则 ? Tn 3n ? 2

a9 ? b9
时, n ?



③若{ a n }的首项为14,前 n 和为 Sn ,点 (an , an ?1 ) 在直线 x ? y ? 2 ? 0 上,那 Sn 最大 。

2.等比数列中的重要性质: (1)若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq ; (2) S k , S 2 k ? S k , S 3k ? S 2 k 成等比数列; (3) 若{ a n }是等差数列, 则{ b n }是等比数列, 若{ a n }是等比数列且 an ? 0 , 则{ logb n }
a

a

是等差数列; (4)类比等差数列而得的有关结论。 练习: ①若{ a n }是等比数列,a4 ? a7 ? ?512, a3 ? a8 ? 124 , 公比 q 为整数, 则 a10 ? ② 已 知 数 列 { xn } 满 足



x xn x1 x , 并 且 ? 2 ? 3 ??? x1 ? 1 x2 ? 3 x3 ? 5 xn ? 2n ? 1 。 x1 ? x2 ? ? ? xn ? 8 ,那么 x1 ? a ? 2a2 ? ? ? nan ? bn ,则{ bn }也是等差数列,类比等比数列 ③等差数列{ a n }满足 1 1? 2 ??? n { An }满足 。 3.等差数列的通项,前 n 项和公式的再认识: n(a1 ? an ) ? n ? a中 ; ① an ? a1 ? (n ? 1)d ? An ? B 是关于 n 的一次函数;② S n ? 2 ③ Sn ? An2 ? Bn 。等比数列呢?
7

练习: 等比数列{ a n }中,前n项和 Sn ? 2 ? 3n?1 ? r ,则 r ? 。

4.你知道 “错位相减” 求和吗?(如:求 {(2n ? 1) ? 3n?1 ? 3} 的前n项和) 你知道 “裂项相消” 求和吗?(如:求 {

1 } 的前n项和) n(n ? 2)

你知道 “分组求和” 、 “倒序相加”求和吗? 5.由递推关系求通项的常见方法: 练习: ①{ a n }中, a1 ? 2, an?1 ? 2an ? 1 ,则 an ? ②{ a n }中, a1 ? 2, an?1 ? 2an ? 2
n?1

; ; (注:关系式中的2换成 ;

,则 an ?

3呢) ③{ a n }满足 a1 ? 3 ,且 an?1 ? an ? n ,则 an ? ④{ a n }满足 a1 ? 1 且 an ?1 ?

n an ,则 an ? ; n?2 1 ⑤{ a n } 满 足 a1 ? 2 且 an ?1 ? ( a1 ? a2 ? ? ? an ) , 则 an ? 2 ; sn ?
五、向量



1.两向量平行的条件,你还记得吗?注意 a ? ? b 是向量平行的充分不必要条件。(定 义及坐标表示) 2.向量可以解决有关夹角、距离、平行和垂直等问题,要记住以下公式:| a |2= a · a,

? ? a ?b cos ? ? ? ? ? | a || b |

x1 x2 ? y1 y2 x12 ? y12 x2 2 ? y2 2



3. 利用向量平行或垂直来解决解析几何中的平行和垂直问题可以不用讨论斜率不存在 的情况,要注意: (1) a ? b ? 0 ?? a, b ?? (

? ?

? ?

?

(2) a ? b ? 0 是向量 a和向量b 夹角为钝角的必要而非充分条件。 4.向量的运算要和实数运算有区别:

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , ? ], a ? b ? 0 ?? a, b ?? , a ? b ? 0 ?? a, b ?? [0, ) 2 2 2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? (2)向量的乘法不满足结合律,即 a(b ? c) ? (a ? b)c , (3)两向量不能相除。
(1)如两边不能约去一个向量,即 a ? b ? a ? c 推不出 b ? c ; 5. 你还记得向量分解定理的几何意义吗?它的实质就是平面内的任何向量都可以用平 面内任意不共线的两个向量线性表示,它的系数的含义与求法你清楚吗?
8

6.几个重要结论:

(1)已知 OA, OB 不共线, OP ? ?OA ? ?OB ,则 A,P,B 三点共线的充要条件是

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? ? ? ? 1;
? ??? ? 1 ??? (OA ? OB ) ; 2 ??? ? ??? ? ??? ? ? (3)向量重心公式:在 ? ABC 中, OA ? OB ? OC ? 0 ? O 是 ? ABC 的重心。
(2)向量中点公式:若 C 是 AB 的中点,则 OC ? 例: 设 F 为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, A, B, C 为该抛物线上三点, 若 FA ? FB ? FC ? 0 , 则 | FA | ? | FB | ? | FC |? __________. 7.向量等式 OC ? ?OA ? ?OB 的常见变形方法: (1)两边同时平方; (2)两边同时乘以一个向量; (3)合并成两个新向量间的线性关 系。 8.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,这是题目中的天然条件,要注意运 用,对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取 模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量。 例:平面四边形 ABCD 中, AB ? 13, AD ? 5, AC ? 5, cos ?DAC ?

????

??? ? ??? ? ??? ?

?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

cos ?BAC ?

??? ? ??? ? ??? ? 12 ,设 AC ? xAB ? yAD ,求 x, y 的值。 13
? ? 3? 2?

3 , 5

六、解析几何 1.设直线方程时,一般可设直线的斜率为 k,你是否注意到直线垂直于 x 轴时,斜率 k 不存在的情况?例如:一条直线经过点 ? ? 3,? ? ,且被圆 x 2 ? y 2 ? 25 截得的 弦长为 8,求此弦所在直线的方程。 注意:不要漏掉 x+3=0 这一解。 2 .倾斜角的范围: ;两直线夹角的范围: ;两向量夹角的范 围: 。 (1)若 a ? R ,则直线 x cos ? ? y ? 1 ? 0 的倾斜角的取值范围是 ; 解析: y ? ? x cos ? ? 1 ,设倾斜角为 ? ,则 tan ? ? ? cos ? , 由 cos ? ? 1知 ?1 ? tan ? ? 1 ,故 ? ? ?0,

? ? ? ? 3? ? ? ,? ? 。 ? 4? ? ? ? 4 ?
k ?1 ,1 ? k , k

(2)过点 P(1,1)作直线 l ,设 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为 10,这样的直 线有 条。 解析:设直线方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) ,则在 x, y 轴上的截距分别为

?S ?

1 k ?1 ? 1 ? k ? 10 , k 有 4 解,故有 4 条。 2 k
9

3.直线方程的几种形式:点斜式、斜截式、一般式等,及各种形式的局限性。 (如点 斜式不适用于斜率不存在的直线) 4.对不重合的两条直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,有

? A1 B2 ? A2 B1 ; l1?l2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 。 l1 // l 2 ? ? ? A1C 2 ? A2 C1 5.两直线 Ax ? By ? C1 ? 0 和 Ax ? By ? C2 ? 0 的距离公式 d ?



6.直线的方向向量、法向量还记得吗?直线的方向向量、法向量与直线的斜率有何关 系?当直线 L 的方向向量为 m =(x0,y0)时,直线斜率 k= k 时,直线的方向向量 m = 。 ;当直线斜率为

7.处理直线与圆的位置关系有两种方法: (1)点到直线的距离; (2)直线方程与圆的 方程联立,判别式,一般来说,前者更简捷。 8.圆的切线的判定:圆心到直线的距离等于圆的半径;过圆 x2 ? y 2 ? r 2 上的点(x0, y0)的切线方程为 xx0 ? yy0 ? r 2 。 9.过直线 y ? x 上的一点 P 向圆 C: x2 ? y 2 ? 6x ? 7 ? 0 作切线,则切线长的最小 值为 。 解析:P 点在哪里切线长最小呢? 设 P( x, y) ,切点为 A,则在 Rt ?PAC 中, PC ? AC
2 2

? PA

2

3 5 10 ?3 3? ? ( x ? 3) 2 ? x 2 ? 2 ? 2( x ? ) 2 ? , 为 。 ? 当 P 在点 ? , ? 4 切线长最小, 2 2 2 ?2 2?
10.处理圆与圆的位置关系,可用两圆的圆心距与半径之间的关系。 11.在圆中,注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形并且要更多联想到 圆的几何性质。 12.在用圆锥曲线与直线联立求解时,消元后得到的方程中要注意:二次项的系数是 否为零?判别式 ? ? 0 的限制. (求交点,弦长,中点,斜率,对称,存在性问题 都在 ? ? 0 下进行) 。 13.你知道吗?解析几何中解题关键就是把题目中的几何条件代数化,特别是一些很 不起眼的条件,有时起着关键的作用: 如:点在曲线上、相交、共线、以某线段为直径的圆经过某点、夹角、垂直、平行、 中点、角平分线、中点弦问题(点差法)等。圆和椭圆参数方程不要忘,有时在解 决问题时很方便,数形结合是解决解几问题的重要思想方法,要记得画图分析哟! 14.你注意到了吗?求轨迹与求轨迹方程有区别的,求轨迹方程可别忘了寻求范围呀!
10

(1)F 1 是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点, M 在椭圆上, 若 MF N 是线段 MF1 的 1 ?2, 25 9
x2 ? y 2 ? 1 的焦点,若 P 为椭圆上的点,当 ?PF1 F2 的面 4


中点,则|ON|的长度是(O 是原点) ; 解析:考虑椭圆的定义,利用三角形的中位线,|ON|=4 (2)已知点 F 1 、 F2 为椭圆

积为 1 时, PF 1 ? PF 2 的值为

???? ???? ?

???? ???? ? 解析:猜想 PF 1F 2 的面积为 1,这种考虑抓住了填空题 1 ? PF 2 ? 0 ,然后验证此时 ?PF 的特殊性,若设 P(2cos ? ,sin ? ) ,由点到直线的距离公式求 ?PF 1F 2 的高,同样可以
完成解答。
2 2 (3)已知椭圆 x ? my ? 1的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,那么 m 的值 为 。

解析:将椭圆方程转化为标准形式,注意焦点在 y 轴,故 m ? 七、立体几何: (1) 立体几何中的位置关系,你都搞清楚了吗? 1. 若 l ? m, l ? n, m, n ? ? ,则 l ? ? 。 ( 2. 若 m // n, n ? ? ,则 m // ? 。( ) ) ) 3. 若 m ? n, m ? ? , n ? ? ,则 n // ? 。( 4. 若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n 。(

1 。 4

)

5. 若 m, n 是异面直线, m ? ? , n ? ? , m // ? ,则 n // ? 。( 6. 经过直线 a 有且仅有一个平面垂直于直线 b 。( ) 7. 若 l ? ? , l ? ? , ? , ? 是两个不同平面,则 ? // ? 。( 8.过平面 ? 外两点,有且仅有一个平面与 ? 垂直。 ( 9.若 l 上有两点到 ? 距离相等,则 l // ? 。 ( ) 10.若 m // ? , n // ? , m, n ? ? ,则 ? // ? 。 ( ) 11.若 m ? ? , n // ? , ? // ? ,则 m ? n 。 ( 12.若 m ? n, ? // ? , m // ? ,则 n ? ? 。 ( (2)这些公式,你记住了没有? 1. S直棱柱侧=ch 2. S圆柱侧 ? 2? rl 3. V柱体 ? sh 4. V球 ? ) ) ) )

)

S正棱锥侧 ?

S圆锥侧

1 , ch ( c :底面周长, h :高, h , :斜高) 2 ? ? r l ( r :底面半径, l :母线长)
1 sh 3

V锥体 ?

4 ?r 3 3

S 球 ? 4?r 2

(3)理科同学会用空间向量来求异面直线所成角、线面角、二面角及点到平面的距离 吗?
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八、二项式定理、概率、统计 1.分类加法原理(加法原理) N ? m1 ? m2 ? ? ? mn . 2.分步计数原理(乘法原理) N ? m1 ? m2 ??? mn . 3.排列数公式

Pnm = n(n ? 1)?(n ? m ? 1) =
4.组合数公式
m = Cn

n! .( n , m ∈N*,且 m ? n ).注:规定 0! ? 1 . (n ? m)!

n! Pnm n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) = = ( n ∈N*, m ? N ,且 m ? n )。 m 1? 2 ? ? ? m m! ? (n ? m)! Pm

5.组合数的两个性质
m m n?m m?1 m 0 (1) C n = Cn ;(2) C n + Cn = Cn ?1 。注:规定 C n ? 1 。

6.组合恒等式 (1)

?C
r ?0

n

r n

1 3 5 0 2 4 = 2 ;(2) Cn ? Cn ? Cn ?? ? Cn ? Cn ? Cn ? ? ? 2n?1 ;
n

r r ?1 (3) Crr ? Crr?1 ? Crr?2 ? ? ? Cn ? Cn ?1 。
m m 7.排列数与组合数的关系: P 。 ! ? Cn n ?m

8.二项式定理
0 n 1 n?1 2 n ?2 2 r n ?r r n n (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b ; r n ?r r 1, 2?,n) 。 二项展开式的通项公式 Tr ?1 ? Cn a b (r ? 0,

9.古典概型 例如:(1)任意取实数x ? [1,100],恰好落在[50,100]之间的概率为 (2)任意取整数x ? [1,100],恰好落在[50,100]之间的概率为

; 。

10.互斥事件 A,B 分别发生的概率的和 P(A+B)=P(A)+P(B). n 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+ P(An)。 11.独立事件 A,B 同时发生的概率 P(A· B)= P(A)· P(B); n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An);
k k n ?k n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率 P 。 n (k ) ? Cn P (1 ? P)

例如:由经验得,在某超市的付款处排队等候付款的人数及其概率如下: 0 1 2 3 4 排队人数 5 人以上 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 概 率 求:(1)至多有 2 个人排队的概率;(2)至少有 2 人排队的概率。
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解析: (1)设没有人排除为事件 A,1 个人排队为事件 B,2 个人排队为事件 C,则 P(A)=0.1, P(B)=0.16, P(C)=0.3,依题意 A、B、C 彼此互斥,所以至多 2 个人排队的概率为: P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56. (2)设至少 2 个人排队为事件 D,则 D 为至多 1 个人排队,即 D =A+B, 因此 P(D)=1-P( D )=1-P(A+B)=1-[P(A)+P(B)]=1-(0.1+0.16)=0.74. 12. 离散型随机变量的分布列的两个性质: (1)P (2)P ); i ? 0(i ? 1, 2,? 1?P 2 ? ? ? 1. 数学期望 E? ? x1P 1 ? x2 P 2 ? ? ? xn P n ?? 方差 D? ? ? x1 ? E? ? ? p1 ? ? x2 ? E? ? ? p2 ? ? ? ? xn ? E? ? ? pn ? ?
2 2 2

例如:袋中装有 3 个白球和 4 个黑球,现从袋中任取 3 个球,设 ξ 为所取出的 3 个球 中白球的个数. (I)求 ξ 的概率分布; (II)求 Eξ. 解: (I)ξ 的可能取值为 0,1,2,3. ∵P(ξ=0)= P(ξ=2)=
3 4 C4 = ; 3 C7 35

P(ξ=1)=

1 2 C3 C4 18 = ; 3 35 C7 3 0 1 C3 C4 = . 3 35 C7

1 12 C32C4 = ; 3 35 C7

P(ξ=3)=

∴ξ 的分布列为: ξ 0 1 2 3

18 12 P 35 35 4 18 12 1 9 (II)Eξ=0× +1× +2× +3× = 。 35 35 35 35 7

4 35

1 35

13.抽样方法主要有简单随机抽样(抽签法、随机数表法)常常用于总体数目较少时, 主要特征是从总体中逐个抽取;系统抽样,常用于总体个数较多时,主要特征是均 衡分成若干部分,每部分只取一个;分层抽样,主要特征是分层按比例抽样,主要 使用于总体中有明显差异。它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等。 14.样本估计总体中:注意频率分布直方图的纵坐标常为频率/组距,小长方形的面积 为其频率。总体特征数的估计:

x?

x1 ? x2 ? ... ? xn ? x1?1 ? x2?2 ? ... ? xn?n ( xi 表示各组的组中值,? i 表示各 n
2 1 2

组的频率)

s2

? x ? x? ? ? x ?

?x

?

2

? ... ? xn ? x

?

?

2

n

s ? s2

友情提醒: ① 矩阵、行列式、算法及文理分叉部分例如极坐标、线性规划等章节讲义上未收录, 请不要忘了复习; ② 此讲义不能替代教材复习,请同学注意。
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