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第三讲习题课选讲例题


5 –刚体的转动习题课选讲例题 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位

例 一人握有两只哑铃,站在一可无摩擦地转动的 水平平台上,开始时两手平握哑铃,人、哑铃、平台组 成的系统以一角速度旋转,后来此人将哑铃下垂于身 体两侧,在此过程中,系统 (A) 角动量守恒, 机械能不守恒 (B) 角动量守恒, 机械能守恒

(C) 角动量不守恒, 机械能守恒
(D) 角动量不守恒, 机械能不守恒

5 –刚体的转动习题课选讲例题 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位

例 关于力矩有以下几种说法: (1)内力矩不会改变刚体对某个轴的角动量; (2)作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零; (3)质量相等, 形状和大小不同的两个刚体, 在相同 力矩的作用下, 它们的角加速度一定相等; 在上述说法中
(A) 只有(2)是正确的 (B)(1)、(2)是正确的

(C)(2)、(3)是正确的
(D)(1)、(2)、(3)都是正确的

5 –刚体的转动习题课选讲例题 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位

例 如图所示, A、B为 两个相同的定滑轮, A 滑轮 B A 挂一质量为m 的物体, B滑 轮受力F = mg, 设 A、B两 F =mg 滑轮的角加速度分别为?A m 和? B ,不计滑轮的摩擦,这 ? 两个滑轮的角加速度 的大小关系为 FT (C) ? A< ? B (A) ? A= ? B (B) ? A > ? B
A

aA Tr ? J? A ? J r mg ? T ? maA

(D)无法确定

? mg

B

aB Fr ? mgr ? J? B ? J r

5 –刚体的转动习题课选讲例题 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位

例 人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运动, 地球 在椭圆的一个焦点上, 则卫星的: (A) 动量不守恒, 动能守恒 (B) 动量守恒, 动能不守恒 (C) 角动量守恒, 动能不守恒 (D) 角动量不守恒, 动能守恒

5 –刚体的转动习题课选讲例题 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位



b、c 都是常量,求它的角加速度.
解:

3 4 a 一飞轮在时间t 内转过角度 ? ? at ? bt,式中 ? ct

d ? ? (at ? bt 3 ? ct 4 ) ? a ? 3bt 2 ? 4ct 3 dt

d 2 3 2 ? ? (a ? 3bt ? 4ct ) ? 6bt ? 12ct dt

5 –刚体的转动习题课选讲例题 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位

例 一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机,滑轮半径 r = 0.5 m , 如果升降机从静止开始以 a = 0.4 m· s-2 加速度
上升, 求:(1)滑轮角加速度;(2)t = 5 s 时角速度 及转过的圈数;(3) t = 1 s 时轮缘上一点的加速度.

r

已知: r = 0.5 m, a = 0.4 m· s-2 解:(1)

? a

at ? a ? 0.4 m ? s at a ?? ? r r

?2

0 .4 ?2 ?? ? 0.8 ( rad ? s ) 0 .5

5 –刚体的转动习题课选讲例题 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位

求:(2) t = 5 s 时角速度及转过的圈数;

? ? 0.8rad? s

?2

? ? ? t ? 4 rad? s
n?

?1

求(3)t = 1 s 时轮缘上一点的加速度.

1 2 ? ? ? t ? 10 rad 2

?



? 1 .6
?2

? a?
r

? a ? t

r ? 0.5 m

? an ?

at ? a ? 0.4 m ? s ?1 ? ? ?t ? 0.8 rad ? s 2 ?2 an ? r? ? 0.32 m ? s
?

a

2 2 ?2 ? a ? at ? an ? 0.51 m ? s

? ? arctan( an at ) ? 38.7

5 –刚体的转动习题课选讲例题 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位

例 一长为l,重为P 的均匀梯子,靠墙放置,墙光 滑,当梯子与地面成 ? 角时处于平衡状态,求梯子与

地面的摩擦力.

Ff ? FN 2

? ? Fi ? 0

解: 刚体平衡的条件

? ? Mi ? 0 ? 0 P ? FN1 ? 0

以支点O为转动中心,梯子受 的合外力矩:

Ff
Ff ? FN 2

? FN 2 l ? ? FN1 P ? ?
O

l P cos ? ? FN 2l sin ? ? 0 2

P ? cot ? 2

5 –刚体的转动习题课选讲例题 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位

例 一质量为m、长为L的均匀细棒,可在水平桌面上 绕通过其一端的竖直固定轴转动,已知细棒与桌面的摩 擦因数为 ? , 求棒转动时受到的摩擦力矩的大小.

?
O x dx x

解: 取一小段如图所示

M ??

dM ? x( ?dm g) ?mg L 1 x?dmg ? x d x ? ? mgL l ?0 2

? dFf

dFf ? ?dm g

m dm ? dx l

5 –刚体的转动习题课选讲例题 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位

例 电风扇在开启电源后,经 t1时间达到了额定 转速,此时相应的角速度为?0 ,当关闭电源后,经 过 t2 时间风扇停转.已知风扇转子的转动惯量为J, 并假设摩擦阻力矩和电机的电磁力矩均为常量,求 电机的电磁力矩. 解:

M ? M f ? J?1 M f ? J? 2 ω0 ? ?1t1 ? ? 2t2

1 1 M ? Jω0 ( ? ) t1 t 2

5 –刚体的转动习题课选讲例题 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位

例 求一半径 R=50 m的飞轮对过其中心轴的转动惯 量,在飞轮上绕以细绳,绳末端挂一重物,其质量 m1 = 8.0 kg,让其从 h=2.0 m 处静止下落,测得下落时间 t1=16 s ; 若用质量 m2=4.0 kg 的重物时, t2=25 s , 假定摩擦力矩 Mf 是一个常量 ,求飞轮的转动惯量.

解:受力分析,建立坐 标如图所示

R

R

? FT

m1

m2
h

? Mf

? ? FT

? mg

y

h

5 –刚体的转动习题课选讲例题 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位

已知: R=50 m,m1=8.0 kg, h=2.0 m,t1=16 s,m2=4.0 kg, ? t2=25 s, Mf = C,求:J Mf

? FT
? mg

? ? FT

y

m1 g ? FT1 ? m1a1 a1 FT1 R ? M f ? J R 1 2 h ? a1t1 2
2h a1 ? 2 ? 0.015 6 m ? s -2 t1

m2 g ? FT 2 ? m2 a2 a2 FT 2 R ? M f ? J R 1 2 h ? a2t 2 2 2h a2 ? 2 ? 0.006 4 m ? s -2 t2

5 –刚体的转动习题课选讲例题 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位

已知: R=50 m,m1=8.0 kg, h=2.0 m,t1=16 s,m2=4.0 kg, t2=25 s, Mf = C,求:J

? FT
? mg

? Mf

a1 ? 0.015 6 m/s 2 a2 ? 0.006 4 m/s
2

m1 g ? FT1 ? m1a1 m2 g ? FT 2 ? m2 a2

a1 FT1 R ? M f ? J R a2 FT 2 R ? M f ? J R

? ? FT

y

(a1 ? a2 ) J ? ( FT1 ? FT 2 ) R
( FT1 ? FT 2 ) R J? a1 ? a2 3 2 ? 1.06?10 kg ? m
2

2

FT1 ? m1 ( g ? a1 ) ? 78.3 N FT 2 ? m2 ( g ? a2 ) ? 39.2 N

5 –刚体的转动习题课选讲例题 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位

例 证明关于行星运动的开普勒第二定律,行星对 太阳的矢径在相等的时间内扫过相等的面积 .

? L

证明:

mS ? r (t )

? r (t ? dt )

? ?r

?t 时间内矢径扫过的面积为
1 ? ?S ? r ?r sin ? 2
单位时间扫过的面积

m ?

? v

? mS m ? ? F ? ?G 3 r ? ? r

?S 1 ? r sin ? ?t 2 ?t ?S 1 1 lim ? rv sin ? ? L ?t ?0 ?t 2 2m

? ?r

L?C

所以相等的时间内扫过相等的面积 .

5 –刚体的转动习题课选讲例题 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位
2 例 一滑冰者开始转动动能为 Ek0 ? J,然后将手 ? 0 0 2 臂收回,使转动惯量减少为原来的 1/3,求此时的转动

角速度.

注意:刚体定轴转动内力矩的功之和 为零,非刚体不一定. 解: 外力矩为零,角动量守恒

1 J 0? 0 ? J 0? 3
内力做功,转动动能变化

? ? 3? 0

1 1 J0 3 2 2 2 Ek0 ? J 0?0 ? Ek ? 9?0 ? J 0?0 2 2 3 2

5 –刚体的转动习题课选讲例题 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位

例 把单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点,杆与 单摆的摆锤质量均为 m .开始时直杆自然下垂,将单摆摆 锤拉到高度 h0 ,令它自静止状态下摆,于垂直位置和直杆 作弹性碰撞.求:碰后直杆下端达到的高度 h . 解:此问题分为 三个阶段 (1) 单摆自由下摆 (机械能守恒),与杆 碰前速度

l

l

C

m h0

m

l

m
h?

? v0

h

v0 ? 2 gh0

5 –刚体的转动习题课选讲例题 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位

v0 ?
C

2 gh0
mlv0 ? J? ? mlv

(2)摆与杆弹性碰撞(摆,杆)

角动量守恒

l

m
h?

1 2 1 2 1 2 mv0 ? mv ? J? 机械能守恒 2 2 2 1 3 v h v ? v0 ?? 0 2 2l

(3) 碰后杆上摆,机械能守恒(杆、地球)

1 2 J? ? mgh C 2

3 h ? 2hC ? h0 2

5 –刚体的转动习题课选讲例题 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位

例 质量为 m,半径 R 的均匀圆盘可绕过中心的光滑 竖直轴自由转动.在盘缘站一质量为m0的人,开始人和盘都 静止,当人在盘缘走一圈时,盘对地面转过的角度.

m0
m

R

解:盘和人为系统,角动量守恒. 设:?0、? 分别为人和盘相对地 的角速度,顺时针为正向 .

顺时针方向

2m0 ?? ? 2π 2m0 ? m

1 2 2 mR ? ? m0 R ? 0 ? 0 2 1 2 d? 2 d? 0 mR ? m0 R 2 dt dt ? 1 2 2 2 π ?? ?0 2 mR d? ? m0 R ?0 d? 0

例 一质量为 m' ,半径为 R 的圆盘,可绕一垂直通 过盘心的无摩擦的水平轴转动.圆盘上绕有轻绳,一端 挂质量为m 的物体.问物体在静止下落高度 h 时,其速 度的大小为多少? ? 设绳的质量忽略不计 . 解:拉力 F T ?对圆盘作功,由刚体绕定轴转动的动能 定理,拉力 的力矩所作的功为 FT

5 –刚体的转动习题课选讲例题 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位

??

?

0

FT Rd? ? R? FT d?
1 2 1 2 ? J? ? J? 0 2 2 ?、?0和?、?0分别为
?0

?

? FN

? P'?

O

? FT
m

R

O

m' h

圆盘终了和起始时的角坐 标和角速度 .

? FT

m m

? P

5 –刚体的转动习题课选讲例题 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位

1 1 2 2 F R d ? ? R F d ? ? J ? ? J ? 0 ?? 0 T ?? 0 T 2 2
? ?

? FN

由质点动能定理
?

1 1 2 2 mgh ? R ? FT d? ? mv ? mv0 ?0 2 2
物体由静止开始下落

? ? ? FT ? ?FT

? P'?

O

? FT
m

? FT

v0 ? 0, ?0 ? 0

? P

1 并考虑到圆盘的转动惯量 J ? m?R 2 2
解得

v ? ?R

mgh m v?2 ? 2 gh m? ? 2m (m' 2) ? m

5 –刚体的转动习题课选讲例题 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位

例 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上,和一 质量不计的绳索相连接,绳索跨过一半径为 R、质量为 mC 的圆柱形滑轮 C, 并系在另一质量为 mB 的物体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动,且滑轮与轴承间的摩擦力可略 去不计.问:(1) 两物体的线加速度为多少?水平和竖 直两段绳索的张力各为多少?(2) 物体 B 从静止落 下距离 y 时,其速率 C A mA 是多少?(3)若滑 mC 轮与轴承间的摩擦力 不能忽略,并设它们 间的摩擦力矩为 Mf mB B 再求线加速度及绳的 张力.

5 –刚体的转动习题课选讲例题 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位

A

mA ? FN ? F T1 mA ? O x PA

? FT1

C

mC ? ? FT2 ? ? FT2

mB B
O

解:(1)隔离物体分 别对物体A、B 及滑轮作受 力分析, 取坐标如图所示, 运用牛顿第二定律 、转 动定律列方程 .

FT1 ? mA a
mB g ? FT2 ? mBa
RFT2 ? RFT1 ? J?

? ? FT1
? PC

? FC

? FT2

mB ? PB y

a ? R?

5 –刚体的转动习题课选讲例题 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位

mB g a? mA ? mB ? mC 2 mA mB g FT1 ? mA ? mB ? mC 2
(mA ? mC 2)mB g FT2 ? mA ? mB ? mC 2
如令 mC ? ,可得 0

A mA

? FT1

C

mC ? ? FT2

mB B
mA mB g FT1 ? FT2 ? mA ? mB

(2) B由静止出发作匀加速直线运动,下落的速率

2mB gy v ? 2ay ? mA ? mB ? mC / 2

5 –刚体的转动习题课选讲例题 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位

(3) 考虑滑轮与轴承间的 摩擦力矩 M,由转动定律得 f

? ? FT1
Mf

RFT2 ? RFT1 ? M f ? J?
结合(1)中其他方程

? FT2
? FN

FT1 ? mA a
mB g ? FT2 ? mBa

? ? FT2
mB
? PB

RFT2 ? RFT1 ? M f ? J?

a ? R?

mA ? FT1 ? PA

5 –刚体的转动习题课选讲例题 1 简谐运动 简谐运动的振幅 周期 频率和相位

FT1 ? mA a
mB g ? FT2 ? mBa
RFT2 ? RFT1 ? M f ? J?

A mA

? FT1

C

mC ? ? FT2

a ? R?
mB g ? M f R a? mA ? mB ? mC / 2

mB B

mA (mB g ? M f / R) FT1 ? mA ? mB ? mC / 2

mB ?(mA ? mC 2) g ? M f R? FT2 ? mA ? mB ? mC 2


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