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2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套练透:第7章 立体几何 第7节1


[课堂练通考点] 1.已知四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的侧棱 AA1 垂直于底面,底面 ABCD 为直角梯形,AD ∥BC,AB⊥BC,AD=AB=AA1=2BC,E 为 DD1 的中点,F 为 A1D 的中点. 则直线 EF 与平面 A1CD 所成角的正弦值为( 1 A. 3 2 C. 3 B. D. 3 3 6 3 ) 解析:选 C ∵AB,AD,AA1 两两垂直,故以 AB 所在直线为 x 轴, AD 所在直线为 y 轴, AA1 所在直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系, 如图所示,设 BC=1, 则 A(0,0,0), A1(0,0,2), C(2,1,0), D(0,2,0), E(0,2,1), F(0,1,1),FE =(0,1,0), A1 D =(0,2,-2), CD =(-2,1,0). 设平面 A1CD 的一个法向量为 n=(1,y,z), ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? ?n· A1 D 2y-2z=0, ? 则? ??? 故 n=(1,2,2), ? ? CD =-2+y=0, ?n· ??? ? ??? ? n· FE ??? ? | 则 sin θ=|cos〈n, FE 〉|=| |n|· | FE | =| 1×0+2×1+2×0 2 |= , 4+4+1× 0+1+0 3 2 故直线 EF 与平面 A1CD 所成的角 θ 的正弦值为 . 3 2.(2013· 江苏高考)如图,在直三棱柱 A1B1C1 ABC 中,AB⊥AC, AB=AC=2,A1A=4,点 D 是 BC 的中点. (1)求异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值; (2)求平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值. 解:(1)以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz, 则 A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,2,0), D(1,1,0), A1(0, 0,4), C1(0,2,4), 所以 A1 B =(2,0,-4), C 1 D =(1,-1,-4). ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? A1 B · C1 D ? ???? ? 因为 cos〈 A1 B , C 1 D 〉= ???? | A1 B || C 1 D | = 18 3 10 = , 10 20× 18 3 10 所以异面直线 A1B 与 C1D 所成角的余弦值为 . 10 (2)设平面 ADC1 的法向量为 n1=(x,y,z),因为 AD =(1,1,0), AC 1 =(0,2,4),所以 ??? ? ???? ? AC 1 =0,即 x+y=0 且 y+2z=0,取 z=1,得 x=2,y=-2,所以,n1 n1· AD =0,n1· =(2,-2,1)是平面 ADC1 的一个法向量.取平面 ABA1 的一个法向量为 n2=(0,1,0),设平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的大小为 θ. n1· n2 ? 由|cos θ|=? ?|n ||n |?= 1 2 ??? ? ???? ? 2 2 5 = ,得 sin θ= . 3 3 9× 1 5 . 3 因此,平面 ADC1 与平面 ABA1 所成二面角的正弦值为 [课下提升考能] 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.如图所示,已知正方体 ABCD A1B1C1D1,E,F 分别是正方形 ) A1B1C1D1 和 ADD1A1 的中心,则 EF 和

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