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【配套K12】2018-2019学年高中数学人教版A版必修一学案:第二单元 2.2.2 第2课时 对

最新 K12 教育

第 2 课时
学习目标 (重、难点).

对数函数及其性质的应用

1.进一步理解对数函数的性质 (重点 ).2.能运用对数函数的性质解决相关问题

题型一 【例 1】

比较对数值的大小 (1)若 a=log23,b=log32,c=log46,则下列结论正确的是( B.a<b<c C.c<b<a )
2 2

)

A.b<a<c

D.b<c<a

(2)下列不等式成立的是(其中 a>0 且 a≠1)( A.loga5.1<loga5.9 C.log1.1(a+1)<log1.1a 解析

B.log1 2.1>log1 2.2 D.log32.9<log0.52.2

(1)因为函数 y=log4x 在(0,+∞)上是增函数,a=log23=log49>log46>1,log32<1,

所以 b<c<a. (2)对于选项 A,因为 a 和 1 大小的关系不确定,无法确定指数函数和对数函数的单调性, 1 故 A 不成立;对于选项 B,因为以 为底的对数函数是减函数,所以成立;对于选项 C,因为 2 以 1.1 为底的对数函数是增函数,所以不成立;对于选项 D,log32.9>0,log0.52.2<0,故不成 立,故选 B. 答案 (1)D (2)B 比较对数值大小时常用的四种方法

规律方法

(1)同底数的利用对数函数的单调性. (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同,找中间量. (4)若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论. 【训练 1】 比较下列各组中两个值的大小: (1)log31.9,log32; (2)log23,log0.32; (3)logaπ,loga3.14(a>0,a≠1). 解 (1)因为 y=log3x 在(0,+∞)上是增函数,

所以 log31.9<log32. 教案试题

最新 K12 教育 (2)因为 log23>log21=0,log0.32<log0.31=0, 所以 log23>log0.32. (3)当 a>1 时,函数 y=logax 在(0,+∞)上是增函数,则有 logaπ>loga3.14; 当 0<a<1 时,函数 y=logax 在(0,+∞)上是减函数, 则有 logaπ<loga3.14. 综上所得,当 a>1 时,logaπ>loga3.14;当 0<a<1 时, logaπ<loga3.14. 题型二 【例 2】 与对数函数有关的值域和最值问题 (1)函数 f(x)=log1 (x2+2x+3)的值域是________.
2

(2) 若函数 f(x)= ax + loga(x + 1)在 [0,1]上的最大值和最小值之和为 a,则 a 的值等于 ________. 1 (3)求 y=(log1 x)2- log1 x+5 在区间[2,4]上的最大值和最小值. 2
2 2

解析

(1)f(x)=log1 (x2+2x+3)=log1 [(x+1)2+2],因为(x+1)2+2≥2,所以log1 [(x
2 2 2

+1)2+2]≤log1 2=-1,所以函数 f(x)的值域是(-∞,-1].
2

(2)当 a>1 时,f(x)在[0,1]上单调递增,则最大值和最小值之和为 f(1)+f(0)=a+loga2+1 1 =a,解得 a= ,不满足 a>1,舍去; 2 当 0<a<1 时,f(x)在[0,1]上单调递减,则最大值和最小值之和为 f(0)+f(1)=1+a+loga2 1 =a 解得 a= ,符合题意. 2 答案 (3)解 1 (1)(-∞,-1] (2) 2 因为 2≤x≤4,所以log1 2≥log1 x≥log1 4,
2 2 2

即-1≥log1 x≥-2.设 t=log1 x,则-2≤t≤-1,
2 2

1 1 所以 y=t2- t+5,其图象的对称轴为直线 t= , 2 4 所以当 t=-2 时,ymax=10;当 t=-1 时,ymin= 13 . 2

教案试题

最新 K12 教育 规律方法 求函数值域或最大(小)值的常用方法 (1)直接法:根据函数解析式的特征,从函数自变量的变化范围出发,通过对函数定义域、 性质的观察,结合解析式,直接得出函数值域. (2)配方法:当所给的函数是可化为二次函数形式的(形如 y=a· [f(logax)]2+bf(logax)+c, 求函数值域问题时,可以用配方法. (3)单调性法:根据在定义域(或定义域的某个子集)上的单调性,求出函数的值域. (4)换元法:求形如 y=logaf(x)型函数值域的步骤:①换元,令 u=f(x),利用函数图象和 性质求出 u 的范围;②利用 y=logau 的单调性、图象求出 y 的取值范围. 【训练 2】 函数 f(x)=log1 (3+2x-x2)的值域为________.
2

解析

设 u=3+2x-x2=-(x-1)2+4≤4,因为 u>0,所以 0<u≤4,又 y=log1 u 在(0,
2

+∞)上为减函数,所以log1 u≥log1 4=-2,所以函数 f(x)的值域为[-2,+∞).
2 2

答案

[-2,+∞) 考查方向 题型三 对数函数性质的综合应用

方向 1 解对数不等式 【例 3-1】 1 ? A.? ?2,+∞? 解析 已知 log0.3(3x)<log0.3(x+1),则 x 的取值范围为( 1? B.? ?-∞,2? 1 1? C.? ?-2,2? ) 1? D.? ?0,2?

因为函数 y=log0.3x 是(0,+∞)上的减函数,

3x>0, ? ? 1 所以原不等式等价于?x+1>0, 解得 x> . 2 ? ?3x>x+1, 答案 A

方向 2 与对数函数有关的奇偶性问题 【例 3-2】 x+1 已知函数 f(x)=loga (a>0,且 a≠1). x-1

(1)求 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的奇偶性,并求函数的单调区间. 解
? ? ?x+1>0, ?x+1<0, (1)要使此函数有意义,则有? 或? ?x-1>0 ?x-1<0, ? ?

教案试题

最新 K12 教育 解得 x>1 或 x<-1,故此函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞). (2)由(1)可得 f(x)的定义域关于原点对称. -x+1 x-1 x+1 ∵f(-x)=loga =loga =-loga =-f(x),∴f(x)为奇函数. -x-1 x+1 x-1 2 x+1 f(x)=loga =loga?1+x-1?, ? ? x-1 函数 u=1+ 2 在区间(-∞,-1)和区间(1,+∞)上单调递减, x-1

x+1 所以当 a>1 时,f(x)=loga 在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递减;当 0<a<1 时,f(x) x-1 x+1 =loga 在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增. x-1 方向 3 与对数函数有关的复合函数的单调性 【例 3-3】 (1)求函数 y=log0.3(3-2x)的单调区间;
3

(2)函数 f(x)=log1 (3x2-ax+7)在[-1,+∞)上是减函数,求实数 a 的取值范围. 解 3? 3 (1)由 3-2x>0,解得 x< ,设 t=3-2x,x∈? ?-∞,2?,∵函数 y=log0.3t 是减函数, 2

3? 且函数 t=3-2x 是减函数,∴函数 y=log0.3(3-2x)在? ?-∞,2?上是增函数,即函数 y=log0.3(3 3 -∞, ?,没有单减区间. -2x)的单增区间是? 2? ? (2)解 令 t=3x2-ax+7,则 y=log1 t 单调递减,故 t=3x2-ax+7 在[-1,+∞)上单调
3

a 递增且 t>0.因为 t=3x2-ax+7 的对称轴为 x= , 6 a ? ?6≤-1, 所以? 解得-10<a≤-6, ? ?10+a>0, 故 a 的取值范围为(-10,-6]. 规律方法 1.两类对数不等式的解法

(1)形如 logaf(x)<logag(x)的不等式. ①当 0<a<1 时,可转化为 f(x)>g(x)>0; ②当 a>1 时,可转化为 0<f(x)<g(x). (2)形如 logaf(x)<b 的不等式可变形为 logaf(x)<b=logaab. 教案试题

最新 K12 教育 ①当 0<a<1 时,可转化为 f(x)>ab; ②当 a>1 时,可转化为 0<f(x)<ab. 2.形如 y=logaf(x)的函数的单调性 首先要确保 f(x)>0, 当 a>1 时,y=logaf(x)的单调性在 f(x)>0 的前提下与 y=f(x)的单调性一致. 当 0<a<1 时,y=logaf(x)的单调性在 f(x)>0 的前提下与 y=f(x)的单调性相反. 【训练 3】 若函数 f(x)=xln(x+ a+x2)为偶函数,则 a=________. 解析 由于 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x), a+x2)=xln(x+ a+x2), a+x2)=0,

即-xln(-x+ 即 xln(x+

x2+a)+xln(-x+

∴xln a=0,又∵x 不恒为 0,∴ln a=0,a=1. 答案 1

课堂达标 1.不等式log1 (2x+3)< log1 (5x-6)的解集为(
2 2

) 6 ? D.? ?5,3?

A.(-∞,3)

3 ? B.? ?-2,3?

3 6? C.? ?-2,5? 6 解得 <x<3. 5

2x+3>0, ? ? 解析 由题意可得?5x-6>0, ? ?2x+3>5x-6, 答案 D

2.设 a=log54,b=(log53)2,c=log45,则( A.a<c<b 解析 B.b<c<a

) D.b<a<c

C.a<b<c

∵1=log55>log54>log53>log51=0,

∴1>a=log54>log53>b=(log53)2. 又∵c=log45>log44=1.∴c>a>b. 答案 D
2

3.函数 y=log1 (x2-6x+11)的值域为________. 解析 教案试题 ∵x2-6x+11=(x-3)2+2≥2,∴log1 (x2-6x+11)≤log1 2=-1,
2 2

最新 K12 教育 故所求函数的值域为(-∞,-1]. 答案 (-∞,-1]

4.函数 f(x)=log2x2 的单调递增区间是________. 解析 令 t=x2,易知 t=x2 在(0,+∞)单调递增,而 y=log2t 在(0,+∞)上单增,故 f(x)

的单调递增区间是(0,+∞). 答案 (0,+∞)

5.判断函数 f(x)=log2( x2+1+x)的奇偶性. 解 易知 f(x)的定义域为(-∞,+∞),f(-x)+f(x)=log2( x2+1-x)+log2( x2+1+x)

=log2(x2+1-x2)=log21=0,即 f(-x)=-f(x),所以 f(x)是奇函数. 课堂小结 1.比较两个对数值的大小及解对数不等式问题,其依据是对数函数的单调性.若对数的 底数是字母且范围不明确,一般要分 a>1 和 0<a<1 两类分别求解. 2.解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则,同时注意数形结合思想 和分类讨论思想在解决问题中的应用.

教案试题


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