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上海市高中数学竞赛试题及答案(word版)


高中数学竞赛 一、填空题(本题满分 60 分,前 4 小题每小题 7 分,后 4 小 题每小题 8 分) 1.如图,正六边形 A1B1C1D1E1F1 的边长为 1,它的 6 条对角线又围成 一个正六边形 A2 B2C2 D2 E2 F2 , 如此继续下去 ,则所有这些六边形 的面积和是 . 2.已知正整数 a1 , a2 ,?, a10 满足 : 小可能值是 . aj 3 ? ,1 ? i ? j ? 10 , 则 a10 的最 ai 2 3.若 tan ? ? tan ? ? tan ? ? cot ? ? cot ? ? cot ? ? ? 17 , 6 4 , 5 17 ,则 5 cot ? cot ? ? cot ? cot ? ? cot ? cot ? ? ? tan ?? ? ? ? ? ? ? 数 k 的取值范围是 . 4.已知关于 x 的方程 lg ? kx ? ? 2lg ? x ?1? 仅有一个实数解,则实 . 5.如图, ?AEF 是边长为 x 的正方形 ABCD 的内接三角形, 已 知 ?AEF ? 90? , AE ? a, EF ? b, a ? b , 则 x? m . 6 . 方 程 2 ?3 ? 3 n n ?1 ? 2m ? 13 的 非 负 整 数 解 ? m, n? ? . 7.一个口袋里有 5 个大小一样的小球,其中两个是红色的, 两个是白色的,一个是黑色的,依次从中摸出 5 个小球,相 邻两个小球的颜色均不相同的概率是 作答) 8 . 数 列 ( . 用数字 ?an ? 定 义 如 . 下 : 若 a1 ? 1, a2 ? 2, an? 2 ? 2 ? n ? 1? n an ?1 ? an , n ? 1, 2,? n?2 n?2 am ? 2 ? 2011 ,则正整数 m 的最小值为 2012 . 二、解答题 AB ? x , BC ? 1 , 9( .本题满分 14 分) 如图, 在平行四边形 ABCD 中, 对角线 AC 与 BD 的夹角 ?BOC ? 45? ,记直线 AB 与 CD 的距离为 h( x ) . 求 h( x) 的表达式,并写出 x 的取值范围. 10 .( 本 题 满 分 14 分 ) 给 定 实 数 a ? 1 , 求 函 数 f ( x) ? (a ? sin x)(4 ? sin x) 的最小值. 1 ? sin x 11 .( 本 题 满 分 16 分 ) 正 实 数 x, y , z 满 足 9 xyz ? xy ? yz ? zx ? 4 ,求证: 4 (1) xy ? yz ? zx ? 3 ; (2) x? y ? z ? 2. 12 . (本题满分 16 分)给定整数 n(? 3) ,记 f (n) 为集合 ?1, 2,?, 2 最小值: (a) (b ) n ? 1? 的满足如下两个条件的子集 A 的元素个数的 1? A, 2n ? 1? A ; A 中的元素(除 1 外)均为 A 中的另两个(可以相同) 元素的和. (1)求 f (3) 的值; (2)求证: f (100) ? 108 . 2012 年上海市高中数学竞赛答案 1、 9 3 4 2、92 4、 ? ??,0? ??4? a2 3、11 5、 7、 2 5 a 2 ? (a ? b) 2 6、 ?3, 0? , ? 2, 2? 8、 4025 9.解 由平行四边形

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