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2018版高中数学人教版a版必修一学案:第二单元 2.2.1 第1课时 对数 含答案

§ 2.2 2.2.1 对数函数 对数与对数运算 对 数 第 1 课时 学习目标 1.理解对数的概念、掌握对数的性质(重、难点).2.掌握指数式与对 数式的互化,能应用对数的定义和性质解方程(重点). 预习教材 P62-P63,完成下面问题: 知识点 1 1.对数 (1)指数式与对数式的互化及有关概念: 对 数 (2)底数 a 的范围是 a>0,且 a≠1. 2.常用对数与自然对数 【预习评价】 (正确的打“√”,错误的打“×”) ) (1)根据对数的定义,因为(-2)4=16,所以 log(-2)16=4.( (2)对数式 log32 与 log23 的意义一样.( (3)对数的运算实质是求幂指数.( 提示 (1)× ) ) 因为对数的底数 a 应满足 a>0 且 a≠1,所以(1)错; (2)× log32 表示以 3 为底 2 的对数,log23 表示以 2 为底 3 的对数,所以(2) 错; (3)√ 由对数的定义可知(3)正确. 知识点 2 对数的基本性质 (1)负数和零没有对数. (2)loga1=0(a>0,且 a≠1). (3)logaa=1(a>0,且 a≠1). 【预习评价】 2x-3 若 log3 =1,则 x=________;若 log3(2x-1)=0,则 x=________. 3 解析 2x-3 2x-3 若 log3 =1,则 =3,即 2x-3=9,x=6;若 log3(2x-1) 3 3 =0,则 2x-1=1,即 x=1. 答案 6 1 题型一 【例 1】 对数的定义 (1)在对数式 y=log(x-2)(4-x)中,实数 x 的取值范围是________. (2)将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式. ①54=625;②log216=4;③10-2=0.01;④log 5125=6. (1)解析 4-x>0, ? ? 由题意可知?x-2>0, ? ?x-2≠1, 解得 2<x<4 且 x≠3. 答案 (2,3)∪(3,4) (2)解 ①由 54=625,得 log5625=4. ②由 log216=4,得 24=16. ③由 10-2=0.01,得 lg 0.01=-2. ④由 log 规律方法 5125=6,得( 5)6=125. 指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式:将指数式的幂作为真数,指数作为对数,底数不变, 写出对数式. (2)对数式化为指数式:将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变, 写出指数式. 【训练 1】 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: ?1? ? ? (1)43=64;(2)ln a=b;(3)? ?m=n;(4)lg 1000=3. ?2? 解 (1)因为 43=64,所以 log464=3; (2)因为 ln a=b,所以 eb=a; ?1? ? ? (3)因为? ?m=n,所以log1 n=m; ?2? 2 (4)因为 lg 1 000=3,所以 103=1 000. 题型二 【例 2】 利用指数式与对数式的互化求变量的值 (1)求下列各式的值. ①log981=________.②log0.41=________.③ln e2=________. (2)求下列各式中 x 的值. 2 ①log64x=- ;②logx8=6; 3 ③lg 100=x;④-ln e2=x. (1)解析 ①设 log981=x, 所以 9x=81=92, 故 x=2, 即 log981=2; ②设 log0.41 =x,所以 0.4x=1=0.40,故 x=0,即 log0.41=0;③设 ln e2=x,所以 ex=e2, 故 x=2,即 ln e2=2. 答案 ①2 ②0 ③2 2 2 2 3×(- (2)解 ①由 log64x=- 得 x=64-3 =4 3 3 )=4-2= 1 3× ; 16 1 1 ②由 logx8=6,得 x6=8,又 x>0,即 x=86 =2 6 = ③由 lg 100=x,得 10x=100=102,即 x=2; 2; ④由-ln e2=x,得 ln e2=-x,所以 e-x=e2,-x=2,x=-2. 规律方法 对数式中求值的基本思想和方法 (1)基本思想. 在一定条件下求对数的值,或求对数式中参数字母的值,要注意利用方程思 想求解. (2)基本方法. ①将对数式化为指数式,构建方程转化为指数问题. ②利用幂的运算性质和指数的性质计算. 【训练 2】 利用指数式、对数式的互化求下列各式中的 x 值. 1 (1)log2x=- ;(2)logx25=2; 2 (3)log5x2=2. 1 1 解 (1)由 log2x=- ,得 2-2 =x, 2 2 2 ∴x= . (2)由 logx25=2,得 x2=25. ∵x>0,且 x≠1,∴x=5. (3)由 log5x2=2,得 x2=52, ∴x=± 5.∵52=25>0,(-5)2=25>0, ∴x=5 或 x=-5. 题型三 【例 3】 利用对数的性质及对数恒等式求值 (1)71-log75;(2) ? ? ?1 ? ? ? ? lg 9-lg 2?; 100?2 ? ? ? logbc(a,b 为不等于 1 的正数,c>0). (3)alogab· 解 (1)原式=7×7-log75= 1 7 = . 7log75 5 1 100 9 = . ?10lg 2?2 4 1 7 (2)原式=1002 lg 9×100-lg 2=10lg 9× =9× lg 2 (3)原式=(alogab)logbc=b logbc=c. 规律方法 对数恒等式 alogaN=N 的应用 (1)能直接应用对数恒等式的直接应用即可. (2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解. 【训练 3】 (1)设 3log3(2x+1)=27,

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