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中职数学基础模块下册《等比数列》ppt课件2


等比数列

等比数列的判断方法
an ?1 定义法: a ? q ( q为常数 ),其中 n

an?1 an q ? 0, an ? 0或 ? (n ? 2) an an?1

1 例1.“公差为0的等差数列是等比数列”;“公比为 2

的等

比数

a, b, c
三数成等比数列的充要条

列一定是递减数列”;“ a, b, c 件 b 2 ? ac 是 是 A.1个

2b ? a ?”;“ c

三数成等差数列的充要条件 ) D.4个

”,以上四个命题中,正确的有( B.2个 C.3个

答案:A

解析:四个命题中只有最后一个是真命题。
命题1中未考虑各项都为0的等差数列不是等比数列;
1 an ?1 ? an ? , an ?1 ? an 命题2中可知 未必成立,当首项 2
1 a1 ? 0时, an ? 0, 则 an ? an ,即an ?1 ? an 2

,此时该数列为递增数列;

命题3中,若 ,此时有 b 2 ? ac ,但数 列 a, b, c 是等比数列, 所以应是必要而不充分条件,若将条 a ?b?0 ,c? R
件改为

b ? ac ,则成为不必要也不充分条件。

点评:该题通过一些选择题的形式考察了有关等比数列的一
些重要结论,为此我们要注意一些有关等差数列、等比数列的 重要结论。

及时练习

(1)一个等比数列 ?an ? 共有 2n ? 1 项,奇数项之积为 100,偶数项之积为120,则 an ?1 为____; (2)数列 ?an ? 中, 若bn ? an?1 ? 2an , sn ? 4an?1 ? 1(n ? 2)且a1 ? 1, ?bn ?是等比数列。 求证:数列

2.等比数列的通项:

an ? a1q 或an ? amq
3.等比数列的前和:

n?1

n ?m

.

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? . 当q ? 1时,Sn ? na1;当q ? 1时,Sn ? 1? q 1? q

例2.一个等比数列有三项,如果把第二项加

上4,那么所得的三项就成为等差数列,如果再 把这个等差数列的第三项加上32,那么所得的 三项又成为等比数列,求原来的等比数列。 解析:设所求的等比数列为 a, aq, aq2 ;
则2(aq ? 4) ? a ? aq , 且(aq ? 4) ? a(aq ? 32);
2 2 2

2 解得 a ? 2, q ? 3或a ? , q ? ?5; 故所求的等比数列为 9

2 10 50 2,6,18或 ,? , . 9 9 9

点评:第一种解法利用等比数列的基本量

,先求公 比,后求其它量,这是解等差数列、等比数列的常用方法,其 优点是思路简单、实用,缺点是有时计算较繁。

a1 , q

(1)设等比数列 中 ?和公比 an ? 和 ,求 n

(2)等比数列中,q ? 2, S99 ? 77, 求a3 ? a6 ? ?? a99 ; (3)
k ( C ? ? n ) 的值为__________; n ?1 k ?0 10 n

Sn ? 126

a1.? an ? 66, a2an?1 ? 128 q

,前项

特别提醒:
等比数列前n项和公式有两种形式,为此在求等 比数列前n项和时,首先要判断公比q是否为1,再由q 的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比q是否 为1时,要对q分 和两种情形讨论求解。

4.等比中项:若

a, A, b 等比中项。 提醒:不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项 ? 。如已知两个正数 ab a, b(a的等差中项为 ? b) 且有两个 ,等 A B 的大小关系为 A B 比中项为 ,则 与 ______

成等比数列,那么 A 叫做 a与b 的

提醒:(1)等比数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到5

q n 、an 及 Sn ,其中 a1、称作为基本元素。只要 a1 、q 、 个元素: 已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2; (2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等比, a a 可设为 ?, 2 , , a, aq, aq2 ? (公比为 q );但偶数个数成等比时,
q a a 3 ? , , aq , aq ,?, 因公比不一定为正数,只有公比为正 3 不能设为 q q q

时才可如此设,且公比为 q 2。 如有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个成等比数列, 且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为 12,求此四个数。


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