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1.4.1正弦函数、余弦函数的图象(人教A版必修四)


1.4.1正弦、余弦函数的图象

正弦、余弦函数的图象
三角函数 正弦函数
sin?=MP
cos?=OM tan?=AT
y P ?
-1
T

三角函数线 正弦线MP

余弦函数
正切函数

余弦线OM
正切线AT

O

M

A(1,0)

x

注意:三角 函数线是有 向线段!

y 每一份多少弧度? 问题:如何作出正弦、余弦函数的图象?

途径:利用单位圆中正弦、余弦线来解决
1

描图:用光滑曲线 将这些正弦线的 终点连结起来

. . .o . .A. .o .
1

?/2

. . . ?.

3?/2

2

。 ?

x

-1

终边相同角的三角函数值相等 即: sin(x+2k?)=sinx, k?Z

y=sinx x?[0,2?]
f ( x ? 2k? ) ? f ( x) 利用图象平移

y=sinx x?R

正弦、余弦函数的图象
y 1
? 2
? 2

?

o -1

?

3? 2

2?

x

y=sinx x?[0,2?] y=sinx x?R

y
1

正弦曲 线
? 2?

-4?

-3?

-2?

-?

o
-1

3?

4?

5?

6?

x

正弦、余弦函数的图象
如何作出正弦函数的图象(在精确度要求不太高时)?

y
1
? ? 2
(0,0) o

? ( ,1) 2

五点画图法
( ? ,0) ( 2? ,0)

? 2

?

-1

3? ( ,-1) 2

3? 2

2?

x

五点法—— 简图作法 ? 3? (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) 2 ? x 0 ? 2 2 (2) 0 sinx 描点(定出五个关键点) -1 0 1 0 (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)

正弦、余弦函数的图象
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

正弦函数的图象 y=cosx=sin(x+ ), x?R
2

?

正弦曲 线
形状完全一样 只是位置不同

余弦函数的图象

y
(0,1) 1
3? ( ,0) 2

( 2? ,1) 2? 3? 4?

余弦曲 线
5? 6?

-4?

-3?

-2?

-?

? (o ,0) 2 -1

?

( ? ,-1)

x

正弦、余弦函数的图象
例1 画出函数y=1+sinx,x?[0, 2?]的简图:

x
sinx 1+sinx
y
2

0 0 1

?
2

? 0 1

3? 2

2? 0 1 步骤: 1.列表 2.描点 3.连线

1 2

-1 0

y=1+sinx,x?[0, 2?] 1

? ? 2

o -1

? 2

?

x 3? 2? 2 y=sinx,x?[0, 2?]

正弦、余弦函数的图象
例2 画出函数y= - cosx,x?[0, 2?]的简图:

x
cosx - cosx
y
1
? ? 2

0 1 -1

?
2

? -1 1

3? 2

2? 1 -1

0 0

0 0

y=cosx,x?[0, 2?]

o
-1

? 2

?

3? 2

2?

x

y= - cosx,x?[0, 2?]

探究1.
如何利用y=cos x,x∈[0, 2?]的图 象,通过图形变换(平移、翻转等)来得 到y=2-cosx,x∈[0, 2?]的图象?

小结:

先作y=cosx图象关于x轴对称的图形, 得到y=-cosx的图象,再将y=-cosx的 图象向上平移2个单位,得到 y=2-cosx 的图象.

正弦、余弦函数的图象
练习:在同一坐标系内,用五点法分别画出函数 y= sinx,x?[0, 2?] 和 y= cosx,x?[ ? 2 ,
?
3? 2

]的简图:
3? 22 ?

x
cosx sinx

? 0

?
2

?

0 2

?2 0 -1

?

3? ? 2

0 1 1 0 ? y 向左平移 个单位长度 2 2
1

-1 0

0 1

y=sinx,x?[0, 2?]
? ? 2

o -1

? 2

?
3? ] 2 2

3? 2

2?

x

y= cosx,x?[? ? ,

探究2.
不用作图, 你能判断函数 和y=cosx的图象有何关系吗?请在同一坐 标系中画出它们的简图, 以验证你的猜想.

小结:
3 ? sin[( x ? ? ) ? 2? ] ? sin( x ? ) ? cos x 2 2 ?这两个函数相等,图象重合.

思考题. 分别利用函数的图象和三角函数 线两种方法,求满足下列条件的x的集合: 1 (1) sin x ? ; 2 1 5? (2) cos x ? , (0 ? x ? ). 2 2 思考:

1.作出函数y= 1- cos x的图象.
2

2.作出函数y= sin x 的图象.

练习:

正弦、余弦函数的图象

1. 正弦曲线、余弦曲线 几何画法

五点法


2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系
y 1
? 2

y=cosx,x?[0, 2?]
? 2

?

o -1

?

3? 2

2?

x

y=sinx,x?[0, 2?]


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