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必修五《解三角形,不等式》专题典例参考资料


解三角形(理)
知识要点: 一、正弦定理及其变形:
a ? sin A

(R 为三角形外接圆半径) 变形 1: sin A : sin B : sin C ?
正弦定理解决的题型:

变形 2:
?a ? ? ? ?b ? ? ? ?c ? ; (sin A ? ; (sin B ? ; (sin C ? ) ) )

1、 已知两角和任意一边,求其他的两边及角; 2、 已知两角和其中一边的对角,求其他边角.

余弦定理解决的题型: 1、已知三边求三角; 2、已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角; 3、已知两边和任意一角,求其他边角。

二、余弦定理及其推论:
a2 ? b2 ? c2 ?

推论: cos A ? 三、三角形面积公式

cos B ?

cos C ?

S?ABC ?
cos2 A ? sin 2 A ? 1

S ?ABC ?
A? B ?C ??

1 r ? l ( r 是内切圆的半径, l 是三角形的周长) 2

重要习题
1、在△ABC 中,b= 2 2 ,B=45°,则 A=60°a=______; 2、在△ABC 中,已知 a ? b ? c ? bc ,则角 A 为
2 2 2

; 三角形. ;最大角的余弦值为 ;

3、在△ABC 中,已知 a ?
2

2? 3 2 1 2 c ? b ? bc 且 A ? △ABC 是 3 2 2

4、在△ABC 中,a=3,b= 7 ,c=2,那么 B 等于 △ABC 的面积为 ;

5、在△ABC 中, sin A : sin B : sin C ? 2 : 3 : 4 且 b ? c ? 14 则△ABC 的面积为



2 2 2 6、在 ?ABC 中,若其面积 S ? a ? b ? c ,则 ?C =_______; 4 3

7、已知△ABC 中,a=8,b=7,B=60°,求边 c 及 S△ABC‘

《不等式》 (理)
一、一元二次不等式的解法:
2 1、解一元二次不等式的步骤:当 a ? 0 时求解不等式: ax ? bx ? c ? 0 (或 ax (1)将原不等式化为一般式( a ).(2)判断 的符号. (3)求 (4)根据 写解集.

2

? bx ? c ? 0 )

顺口溜:在二次项系数为正的前提下:大于 2、分式不等式求解步骤: 如:
f ( x) ?a? g ( x) f ( x) ?a? g ( x)

,小于 , ,

。 ,



3、一元二次不等式恒成立情况小结: ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )恒成立 ?

ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )恒成立 ?
4、 a ? f ( x),x ? ?m, n?恒成立 ?

a ? f ( x),x ? ?m, n?恒成立 ?
三.线性规划 1、解线性规划问题的一般步骤: 第一步:在平面直角坐标系中作出可行域; 第二步:在可行域内找到最优解所对应的点; 第三步:解方程的最优解,从而求出目标函数的最大值或最小值。 2、常见目标函数:

z (1)、形如 z ? ax ? by的截距型; 表示: b

(2)、形如 z ?

y ? y0 的斜率型,Z表示: x ? x0 (3)、形如z ? ( x ? x0 )2 ? ( y ? y0 )2的距离型 , Z表示:

四、均值不等式 1.均值不等式:如果 a,b 是 2、使用均值不等式的条件:一 数,那么 、二 、三 (当且仅当 ; 取“=” )

3、平均不等式:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b 为正数) ,即

a 2 ?b 2 a ? b 2 (当 ? ? ab ? 1 1 2 2 ? a b

a = b 时取等=)

4、利用基本不等式求最值:
设x, y都是正数, ( 1 )如果积 xy 是定值 P, 那么当x=y时,和x+y有 最小值 (2)如果和x+y是 定值S, 那么当x=y时,积 xy 有最大值
典型习题 1、下列各式中,最小值等于 2 的是( A. )

x y ? y x

B.

x2 ? 5 x ?4
2

C. tan ? ?

1 tan ?

x ?x D. 2 ? 2

2、下列不等式的解集是空集的是( 2 2 A.x -x+1>0 B.-2x +x+1>0 3.不等式

) 2 C.2x-x >5

D.x +x>2

2

1 ? 1 的解集为 1? x
x y

4、 (1)已知 x ? 2 y ? 4 ,则 3 ? 9 的最小值为 (2)若 x>4,函数 y=x+ ,当 x=时,函数有最小值为.

? x ? 2 ? 0, ? 5、已知点 P(x,y)在不等式组 ? y ? 1 ? 0, 表示的平面区域上运动,则 z=x-y 的取值范围是 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?

?x ?1 ? 0 y ? 6、 若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 , 错误! 未找到引用源。 则 错误! 未找到引用源。 的最大值为 x ?x ? y ? 4 ? 0 ?

.

7、解关于 x 的不等式(1-ax) < 1.

2

8、 (1)若 x ? 0 , y ? 0 , x ? y ? 4 ,求证:

1 1 ? ?1. x y

2 2 (2)设 x , y 为实数,若 4 x ? y ? xy ? 1 ,求 2 x ? y 的最大值.

解三角形(理)参考答案
1、 2 3 2、

? 2? ? 7 3 3 3、等腰 4、 , , 5、 3 15 6、 7. c ? 3时,S ? 6 3; c ? 5时,S ? 10 3; 6 3 3 14 ,2

《不等式》 (理)参考答案
1、D 2、C 3、(-∞,0]∪(1,+∞) 4(1) 、18 4(2) 、6 解答: 解:∵x>4,∴x﹣4>0, ∴y=x+ 时取等号, 5 .[-1,2] 6、 【答案】3 =x﹣4+ +4≥2 +4=6,当且仅当 x﹣4= 即 x=5

y 是可行域内一点与 x y 原点连线的斜率,由图知,点 A(1,3)与原点连线的斜率最大,故 的最大值为 3. x
试题分析:作出可行域如图中阴影部分所示,由斜率的意义知, 7、解:由(1-ax) <1 得 a x -2ax+1<1,即 ax(ax-2)<0. ……………2 分 ①当 a=0 时,不等式转化为 0 < 0,故 x 无解.……………4 分 ②当 a<0 时,不等式转化为 x(ax-2)>0,即 x ? x ?
2 2 2

? ?

2? ? <0. ……………6 分 a?



2 ? <0,∴不等式的解集为 ? x 0 ? x ? a ?

2? ? . ……………8 分 a?
2 ? >0,即原不等式的解集为 ? x 0 ? x ? a ?

③当 a>0 时,原不等式转化为 x(ax-2)<0,又 综上所述,当 a=0 时,原不等式解集为?; 当 a<0 时,原不等式解集为 ? x 0 ? x ?

2? ? . ……………10 分 a?

? ?

2? ? 2? ? ;当 a>0 时,原不等式解集为 ? x 0 ? x ? ? . ……………12 分 a? a? ?
x? y y x ? 1∴ ? 0 , ? 0 , x 4 y

8、(1)证明:∵ x ? y ? 4 , x ? 0 , y ? 0



1 1 ?1 1? x? y x? y x? y 1 y x 1 y x ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? 1 当且仅当 x ? y ? 2 时, ? ? x y ?x y? 4 4x 4y 2 4x 4 y 2 4x 4 y
等号成立. (2)解:∵ 4 x ? y ? xy ? 1 ,∴ (2 x ? y) ? 3xy ? 1 ,
2 2 2
2 即 (2 x ? y ) ?

3 3 ? 2x ? y ? ? 2 xy ? 1. ∴ (2 x ? y) 2 ? ? ? ? 1 (当且仅当 2 x ? y 时,等号成立). 2 2? 2 ? 8 2 10 2 10 ? 2x ? y ? 即? 5 5 5

2

∴ (2 x ? y ) ?
2

∴ 2 x ? y 的最大值为

2 10 10 10 (当 x ? 时,等号成立). ,y? 5 10 5


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