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江苏省响水中学高中数学 第二章《函数性质的综合应用》课件 苏教版必修1_图文

第7课时 函数性质 的综合应用 1.归纳函数的单调性、奇偶性的性质和判定方法. 2.运用函数的单调性和奇偶性解决有关综合性问题. 3.结合基本函数的性质、函数的单调性和奇偶性归纳一些 特殊函数的性质. 前面我们学习了函数的单调性、奇偶性和最值等.对于 单调性主要要掌握增函数和减函数的定义及其证明、图 象特征、单调性的综合应用等;对于奇偶性要掌握奇偶 性的定义、判断方法、图象特征等;最值的求法是本部 分的一个重点,要注意通过一些典型的题目掌握一些常 用的方法. 对所学性质的综合应用是本部分考查的重点和热点,这 一讲我们就来探讨性质的综合应用问题. 问题1 函数单调性的证明或判断方法的归纳: 作差 → 变形 →定号; (1)用定义(点差法); (2)直接运用已知函数(如: 一次函数 、 二次函数 、反比例函数等)的单调性; (3)如果f(x)在区间D上是增(减)函数,那么f(x) 在D的任一非空子区间上也是增(减)函数; (4)图象法:根据图象的上升或下降的趋势判断函 数的单调性; (5)奇函数在对称的单调区间内有 相同 的单调 相反 的单调性. 性,偶函数在对称的单调区间内具有 问题2 判断函数奇偶性的步骤: (1)判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称,若定 义域不关于原点对称,那么函数f(x) 既不是奇函数也不是偶函数 ; (2)在定义域关于原点对称的前提下,研究f(x)与 f(-x)或-f(x)间的关系, 若 f(-x)=f(x) ,则函数f(x)是偶函数;若 f(-x)=-f(x) ,则函数f(x)是奇函数. 求函数f(x)的值域或最值的常用方法有 图象法 、 换元法 、单调性判断法等. 问题4 (-∞,0)∪(0,+∞) 奇函数 向右 向上 1 如果偶函数在[-2,-1]上有最大值,那么该函数在[1,2]上有 最 大 值. 【解析】偶函数图象关于 y 轴对称,在[-2,-1]上有最大值,那 么该函数在[1,2]上也有最大值. 2 设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列 结论恒成立的是 ① . ①f(x)+ () 是偶函数; ②f(x)- () 是奇函数; ③ () +g(x)是偶函数; ④ () -g(x)是奇函数. 【解析】由 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,得 () 和 () 都是偶 函数,所以 f(x)+ () 与 f(x)- () 都是偶函数, () +g(x)与 () -g(x)的奇偶性不能确定. 函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且它是减函数,若实数 a,b 满足 f(a)+f(b)>0,则 a+b < 0(填“>”“<”或 “=”). 【解析】f(a)+f(b)>0,∴f(a)>-f(b). 又 f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴f(a)>f(-b),又∵f(x)为减函数, ∴a<-b,∴a+b<0. 4 f(x)是定义在(-∞,-5],[5,+∞)上的奇函数,且 f(x)在 [5,+∞)上单调递减,试判断 f(x)在(-∞,-5]上的单调性, 并用定义给予证明. 【解析】f(x)在(-∞,-5]上单调递减,任取 x1<x2≤-5,则x1>-x2≥5,因 f(x)是奇函数且在[5,+∞)上单调递减,所以 f(x1)<f(-x2)?-f(x1)<-f(x2)?f(x1)>f(x2),即 f(x)在(-∞,-5]上 是单调减函数. 分段函数的单调性问题 2 + 2ax-2a,x ≥ 1,是(-∞,+∞)上的减 若函数 f(x)= + 1, < 1 函数,则实数 a 的取值范围是 [-2,0) . 【解析】当 x≥1 时,f(x)=-x +2ax-2a 是减函数,得 a≤1. 当 x<1 时,函数 f(x)=ax+1 是减函数, 得 a<0, 分段点 1 处的值应满足-12+2a×1-2a≤1×a+1, 解得 a≥-2, ∴-2≤a<0. 2 两种重要函数的单调性与最值 (1)判断函数 f(x)=x+ (x>0)的单调性并求该函数的最小值; (2)求函数 y= +1 (x≥2)的最值. 【解析】(1)设 0<x1<x2,则 3( 1 - 2 ) ( 2 - 1 )( 1 2 -3) f(x2)-f(x1)=(x2-x1)+ = . 1 2 1 2 3 3 当 0<x1<x2≤ 3 时,恒有 x2-x1>0,x1x2-3<0,x1x2>0, 所以 f(x2)-f(x1)<0,所以 f(x)=x+ (x>0)在(0, 3 ]上是减函数. 当 x2>x1> 3 时,恒有 x2-x1>0,x1x2-3>0,x1x2>0, 所以 f(x2)-f(x1)>0,所以 f(x)=x+ (x>0)在( 3 ,+∞)上是增函数. 3 3 所以函数 f(x)的最小值为 f( 3 )= 3 + =2 3 . 3 (2)因为 y= - ≤3 1 1 +1 +1 2 3 = ( +1)-1 +1 1 +1 =1- 1 +1 ,又 x≥2,故 0< +1 1 +1 ≤ ,所以 3 2 3 1 <0, ≤1- <1,故函数 y= 的最小值为 ,无最大值. 单调性和奇偶性的综合应用 设定义在[-2,2]上的奇函数 f(x)在区间[0,2]上单调递 减,若 f(m)+f(m-1)>0,求实数 m 的取值范围. 【解析】由 f(m)+f(m-1)>0, 得 f(m)>-f(m-1),即 f(m)>f(-m+1). 又∵f(x)在[0,2]上为减函数且 f(x)在[-2,2]上为奇函 数,∴f(x)在[-2,2]上为减函数. -2 ≤ - + 1 ≤ 2, ∴ -2 ≤ ≤ 2, - + 1 > , -1 ≤ ≤ 3, 即 -2 ≤ ≤ 2, 得-1≤m< . < , 2 1 2 1 - + 3-3, < 0, 已知函数 f(x)= 满足

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