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3.2一元二次不等式 学案(高中数学必修五北师大版)


§2 第 1 课时 一元二次不等式? 一元二次不等式的解法 知能目标解读 1.理解一元二次不等式与一元二次函数、一元二次方程的关系,能借助二次函数的图像 解一元二次不等式.? 2.熟练掌握将一元二次不等式转化为一元一次不等式组.? 3.对于含参数的一元二次不等式,能进行分类讨论求解. 重点难点点拨 重点:一元二次不等式的解法. 难点: 一元二次不等式与一元二次函数、 一元二次方程的关系及对含参数的一元二次不 等式的分类讨论. 学习方法指导 1.一元二次不等式与相应的二次函数,二次方程的联系? 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0),一元二次不等式 ax2+bx+c>0、 ax2+bx+c<0(a≠0)与二次函 数 y=ax2+bx+c=0(a≠0)有着密切联系,这种关系是用函数观点作指导,以函数图像来沟通的. 它们之间的关系具体如下: Δ =b2-4ac Δ >0 Δ =0 Δ <0 y=ax2+bx+c(a>0)的图像 ax +bx+c=0(a>0)的根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 ax2+bx+c<0(a>0)的解集 2 有两个不相等的 实根 x1,x2 且 x1<x2 {x|x<x1 或 x>x2} {x|x1<x<x2} 有两个相等的实 根 x1,x2 且 x1=x2 {x|x≠- 没有实数根 R b } 2a 2.解一元二次不等式的一般步骤? (1)对不等式变形,使一端为 0 且二次项系数大于 0.? (2)计算相应的判别式.? (3)当Δ ≥0 时,求出相应的一元二次方程的根.? (4)根据对应二次函数的图像,写出不等式的解集.? 注意:? (1)利用数形结合法解一元二次不等式.在熟悉图像的前提下,关键是迅速求解对应的 一元二次方程.求解时优先考虑因式分解法,其次才是公式法.? (2)特别地,若 a<0 时,应先运用不等式的性质将其化成正数,再解不等式.? (3)当判别式Δ =0 时,不等式 ax2+bx+c>0(a>0)与 ax2+bx+c≥0(a>0)的解集不同.? 3.解含参数的一元二次不等式? 含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的, 解 这类不等式可以从分析两个根的大小及二次项系数的正负入手去解答, 必要的时候应根据二 次项系数的正负或两根的大小关系上分类讨论, 对于每一种情况都要注意结合二次函数的图 像写出不等式的解集.? 4.解不等式应注意的问题? (1)解不等式的核心问题是不等式的同解变形,是将复杂的、生疏的不等式问题转化 为简单的、熟悉的最简不等式问题.不等式的性质则是不等式变形的理论依据,方程的根、 函数的性质和图像都与不等式的解法密切相关,要善于把它们有机地联系起来,互相转化. ?(2)一元一次不等式(组)和一元二次不等式(组)的解法是不等式的基础,因为很多 不等式的求解最终都是转化为一元一次不等式(组)和一元二次不等式(组)进行的.? (3)解不等式的过程中,经常要去分母、去绝对值符号等,往往易忽略限制条件和变 量取值范围的改变;对分步或分类求出的结果,何时求交集,何时求并集很容易失误.? (4)解含参数的不等式时,注意参数的取值范围,并在此范围内对参数进行分类讨论. 分类的标准是通过理解题意(例如能根据题意挖掘出题目的隐含条件) 、根据方法(例如利 用单调性解题时,抓住使单调性发生变参数值) 、按照解答的需要(例如进行不等式变形时, 必须具备的变形条件)等方面来决定,一般都应做到不重复、不遗漏. 知能自主梳理 1.一元二次不等式?

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