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安徽省“皖南八校”2016届高三数学第二次联考(12月)试题 理

皖南八校 2016 届高三第二次联考数学(理)

一、 选择题:本大题共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有

一个选项是符合题目要求的.

1. 已知集合 M={x|x2-2x≤0},N={x|log2(x-1)<1},则 M∪N=( )

A.[0,3)

B. [0,3]

C. [1,2)

D. [1,2]

2.已知 a 为实数,若复数 z=a2-3a-4+(a-4)i 为纯虚数,则复数 a-ai 在复平面内对应的点位于

()

A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上为增函数的是( )

A.y=cos2x B. y=-x2+1

C. y=lg2x+1 D. y=lg|x|

4.某班 k 名学生在一次考试中数学成绩绘制的频率分布直方图如图,若在这 k 名学生中,

数学成绩不低于 90 分的人数为 34,则 k=( )

A. 40

B. 46

C. 48

D.50

5.如图所示的程序框图,运行程序后,输出的结果等于( )

A.2

B.3

C.4

D.5

6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.14 3

B.10 3

C.12

D. 16 3

7.设 a、b 为两条不同的直线, 、 为两个不同的平面.下列命题中,正确的是( )

A.若 a⊥ ,b∥ ,a⊥b,则 ⊥

B. 若 a⊥ ,b∥ ,a∥b,则 ⊥

C. 若 a⊥ , ∥ ,则 ⊥

D. 若 a∥ ,b∥ ,a∥b

8.在△ABC 中,AB=AC= 5,BC=2,点 D 是 AC 的中点,点 E 在 AB 上,且→ BD ·→ CE =-38,则→ DE ·→ BC =

()

3

2

2

5

A.-2

B.3

C.-5

D.2

9. 已知函数 f(x)=asinx-bcosx(a、b 为常数,a≠0,x∈R)在 x= 4 处取得最小值,则函数

y=|f(34 -x)|是( )

A.最大值为 2b 且它的图象关于点( ,0)对称 3
点( 4 ,0)对称

B. 最大值为 2a 且它的图象关于

C. 最大值为 2b 且它的图象关于直线 x= 对称 D. 最大值为 2a 且它的图象关于直线

-1-

x=34 对称

10.

x2 y2 已知双曲线a2-b2

=1

的左,右焦点分别为

F1、F2,过点

F1 作圆

x2+y2=a2 的一条切线分别交双

曲线的左,右两支于点 B、C,与双曲线的渐近线在第二象限内交于点 D,且|CD|=|CF2|,则双曲线 的离心率为( )

A. 6

B. 5

C. 3

D. 2

?x ? y ?1? 0

11.

已知实数 x、y 满足条件: ??2x ?

2x2+y2 y ? 4 ? 0 ,则 xy 的最大值与最小值的和为(



?? y ? 2

20 A. 3

42 B. 5 +2 2

136 C. 15

27 D. 5 +2 2

12.已知曲线 f(x)=exx -axlnx 在点(1,f(1))处的切线方程为 y=-x+1e+b-1,则下列命题是真命题

的个数为( )

○1 ? x∈(0,+∞),f(x)<be; ○2 ? x0∈(0,e),f(x0)=0; ○3 ? x∈(0,+∞),f(x)>4be; ○4

? x0∈(1,e),f(x0)=21e;.

A.1

B.2

C.3

D.4

二、 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13.已知 cos(

+ 4 )=

10 10

,

∈(0, 2 ),则 sin(2

- 3 ) =__________

14. 已知(x+ 1 )x 的展开式中前三项系数成等差数列,则 n=_______ 2x

15.

在锐角三角形中,角

A,B,C

对边分别为

a,b,c,若

ba 27(a+b)=104cosC,

sinC·tanC ,则sinA·sinB=____

16. 若函数 f(x)=2|x|-1,则函数 g(x)=f(f(x))+ex 的零点的个数是_______

三、 解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步

骤.

17.(本小题满分 12 分)在数列{an}中,a1=12,对任意的 n∈N*,都有(n+11)an+1=nnaan+n1成立. (Ⅰ) 求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)求数列{ an }的前 n 项和 Sn;并求满足 Sn<1165时 n 的最大值.

-2-

18.(本小题满分 12 分)某水果商场对新产苹果的总体状况做了一个评估,主要从色泽,重量,

有无班痕,含糖量等几个方面评分,满 10 分为优质苹果,评分 7 分以下的苹果为普通苹果,评分

4 分以下为劣质苹果,不予收购.大部分苹果的评分在 7~10 分之间,该商场技术员对某苹果供应

商的苹果随机抽取了 16 个苹果进行评分,以下表格记录了 16 个苹果的评分情况:

分数段

[0,7)

[7,8)

[8,9)

[9,10]

个数

1

3

8

4

(Ⅰ) 现从 16 个苹果中随机抽取 3 个,求至少有 1 个评分不低于 9 分的概率;

(Ⅱ)以这 16 个苹果所得的样本数据来估计本年度的总体数据,若从本年度新苹果中任意选 3

个记 X 表示抽到评分不低于 9 分的苹果个数,求 X 的分布列及数学期望.

19.(本小题满分 12 分)如图,已知 AB⊥平面 BEC,AB∥CD,AB=BC=4,CD=2,△BEC 为等边三角 形,F,G 分别是 AB,CD 的中点.求证. (Ⅰ) 平面 ABE∥平面 ADE; (Ⅱ)求平面 ADE 与平面 EFG 所成的锐二面角的余弦值.
A
D F
G C B E

20.(本小题满分

12

分)已知椭圆

C:

x2 y2 a2+b2

=1(a>b>0)过点(

3,12),且离心率为 23,O 为坐标

原点.

(Ⅰ) 求椭圆 C 的标准方程;

(Ⅱ)已知斜率存在的动直线 l 与椭圆 C 交于不同两点 A、B,记△OAB 的面积为 1,若 P 为线段

AB 的中点,问:在 x 轴上是否存在两个定点 M,N,使得直线 PM 与直线 PN 的斜率之和为定值,若

存在,求出 M,N 的坐标,若不存在,说明理由.

-3-

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=2lnx-x2,g(x)= x-x-2. (Ⅰ) 若不等式 f(x)≤a g(x)对 x∈[14,1]恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)求函数 h(x)=f(x)+g(x)+12 x 的最大值,并证明当 n∈N*时,f(n)+g(n)≤-3.

请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.把答案填在答题卡上. 22.选修 4-1;几何证明选讲 如图,△ABC 内接于圆 O,分别取 AB、AC 的中点 D、E,连接 DE,直线 DE 交圆 O 在 B 点处的切线 于 G,交圆于 H、F 两点,若 GD=4,DE=2,DF=4.
GB GD (Ⅰ) 求证:EC=BD; (Ⅱ)求 HD 的长.

F

A

E

·O

C

D

H

G

B

23.选修 4-4;坐标系与参数方程

在极坐标系中,已知曲线C:

= 2 2 sin(

-? 4

),P 为曲线 C 上的动点,定点 Q(1, 4 )

.

(Ⅰ) 将曲线 C 的方程化成直角坐标方程,并说明它是什么曲线;

(Ⅱ)求 P、Q 两点的最短距离.

-4-

24.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|2x-1|+|x+1|. (Ⅰ) 求不等式 f(x)≥2 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f(x)<a 的解集为

,求参数 a 的取值范围.

-5-

-6-

-7-

-8-

-9-


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