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2014解析几何高考题


6. [2014·福建卷] 已知直线 l 过圆 x2 ? ( y ? 3)2 ? 4 的圆心,且与直线 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则 l 的方程是( ) B. x ? y ? 2 ? 0 C. x ? y ? 3 ? 0 D. x ? y ? 3 ? 0

A. x ? y ? 2 ? 0

20. [2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点 P(2, 2) ,圆 C : x2 ? y 2 ? 8 y ? 0 ,过点 P 的动直线 l 与圆

C 交于 A, B 两点,线段 AB 的中点为 M , O 为坐标原点.
(Ⅰ)求 M 的轨迹方程; (Ⅱ)当 | OP |?| OM | 时,求 l 的方程及 ?POM 的面积.
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 a 2 b2 2 |FF | . D 在椭圆上, DF1 ? F1F2 , 1 2 ? 2 2, ?DF1F2 ,的面积为 2 | DF1 | (Ⅰ)求该椭圆的标准方程. (Ⅱ)是否存在圆心在 y 轴上的圆,使圆在 x 轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个 交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说 明理由.

21.[2014·重庆卷] 如图 1? 5,设椭圆

图 1? 5 图 1? 6 18.[2014·江苏卷] 如图 1? 6 所示,为保护河上古桥 OA ,规划建一座新桥 BC ,同时设 立一个圆形保护区. 规划要求: 新桥 BC 与河岸 AB 垂直;保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆,且古桥两端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m .经测量, 点 A 位 于 点 O 正 北 方 向 60m 处 , 点 C 位 于 点 O 正 东 方 向 170 m 处 ( OC 为 河 岸 ) , 4 tan ?BCO ? . 3 (Ⅰ)求新桥 BC 的长. (Ⅱ)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大? 22. [2014· 全国卷] 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,直线 y ? 4 与 y 轴的交点为 P , 与 C 的交点为 Q ,且 | QF |? (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点,若 AB 的垂直平分线 l ? 与 C 相交于 M , N 两点, 且 A, M , B, N 四点在同一圆上,求 l 的方程. 17.[2014·湖北卷] 已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 1和点 A(?2,0) ,若定点 B(b,0)(b ? ?2) 和常数 ? 满足: 对圆 O 上任意一点 M ,都有 | MB |? ? | MA | ,则
5 | PQ | . 4

(Ⅰ) b ? ________; (Ⅱ) ? ? ________. 20.[2014·辽宁卷] 圆 x 2 ? y 2 ? 4 的切线与 x 轴正半轴, y 轴正半轴围成一个三角形,当该三 角形面积最小时,切点为 P (如图 1? 5 所示). (Ⅰ)求点 P 的坐标; (Ⅱ)焦点在 x 轴上的椭 圆 C 过点 P ,且与直线 l : y ? x ? 3 交于 A, B 两点,若 ?PAB的面积为 2 ,求 C 的标准方程. 5.[2014·浙江卷] 已知圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? a ? 0 截直线 x ? y ? 2 ? 0 所得弦的长度为 4 ,则 实数 a 的值是( A. ? 2 ) B. ? 4 C. ? 6 D. ? 8

6.[2014·安徽卷] 过点 P(? 3,?1) 的直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 有公共点,则直线 l 的倾斜角的 取值范围是( ) ? A. (0, ] 6

? B. (0, ] 3

? C. [ 0, ] 6

? D. [ 0, ] 3

7.[2014·北京卷] 已知圆 C : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 1 和两点 A(?m,0), B(m,0)(m ? 0) .若圆 C 上 存在点 P ,使得 ?APB ? 90 ? ,则 m 的最大值为( A. 7 B. 6 C. 5 D. 4
2 2

)

? x ? y ? 7 ? 0, ? 11. [2014· 福建卷] 已知圆 C : ( x ? a) ? ( y ? b) ? 1 ,平面区域 ? : ? x ? y ? 3 ? 0, 若圆心 C ? ? , ? y ? 0. ?

且圆 C 与 x 轴相切,则 a 2 ? b 2 的最大值为( A. 5 B. 29 C. 37 D. 49

)

21.[2014·福建卷] 已知曲线 ? 上的点到点 F (0,1) 的距离比它到直线 y ? ?3 的距离小 2 . (Ⅰ)求曲线 ? 的方程. ( Ⅱ ) 曲线 ? 在点 P 处的切线 l 与 x 轴交于点 A , 直线 y ? 3 分别与直线 l 及 y 轴交于点
M , N .以 MN 为直径作圆 C ,过点 A 作圆 C 的切线,切点为 B .试探究:当点 P 在曲线 ? 上运

动(点 P 与原点不重合)时,线段 AB 的长度是否发生变化?证明你的结论. 6.[2014·湖南卷] 若圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 1与圆 C2 : x2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? m ? 0 外切,则 m ? ( A. 21 B. 19 C. 9 D. ? 11

)

9. [2014· 江苏卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 被圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 截 得的弦长为________. 16.[2014·全国卷] 直线 l1 和 l 2 是圆 x2 ? y 2 ? 2 的两条切线.若 l1 与 l 2 的交点为 (1,3) ,则 l1 与
l 2 的夹角的正切值等于________.

12 . [2014 · 新 课 标 全 国 卷 Ⅱ ] 设 点 M ( x0 ,1) , 若 在 圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 上 存 在 点 N , 使 得
?OMN ? 45? ,则 x 0 的取值范围是(

)
[? 2 2 , ] 2 2

A. [ ?1,1]

1 1 B. [? , ] 2 2

C. [? 2 , 2 ]

D.

14.[2014·山东卷] 圆心在直线 x ? 2 y ? 0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切,圆 C 截 x 轴所得 弦的长为 2 3 ,则圆 C 的标准方程为________. 14. [2014· 重庆卷] 已知直线 x ? y ? a ? 0 与圆心为 C 的圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 相交于 A, B 两点,且 AC ? BC ,则实数 a 的值为________. 9 . [2014 · 四 川 卷 ] 设 m ? R , 过 定 点 A 的 动 直 线 x ? m y ? 0 和 过 定 点 B 的 动 直 线 m x ? y ? m ? 3 ? 0 交于点 P ( x, y ) ,则 | PA | ? | PB | 的取值范围是( ) A. [ 5,2 5] B. [ 10,2 5 ] C. [ 10,4 5 ] D. [2 5,4 5 ] 20.[2014·安徽卷] 设函数 f ( x) ? 1 ? (1 ? a) x ? x 2 ? x3 ,其中 a ? 0 . (Ⅰ)讨论 f ( x) 在其定义域上的单调性; (Ⅱ)当 x ?[0,1] 时,求 f ( x) 取得最大值和最小值时的 x 的值. 19.[2014·北京卷] 已知椭圆 C : x 2 ? 2 y 2 ? 4 . (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)设 O 为原点,若点 A 在直线 y ? 2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OA ? OB ,求线段 AB 长 度的最小值. 20. [2014· 广东卷] 已知椭圆 C : (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若动点 P( x0 , y0 ) 为椭圆 C 外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的 轨迹方程. 20.[2014·湖南卷] 如图所示, O 为坐标原点, x2 y 2 双曲线 C1 : 2 ? 2 ? 1(a1 ? 0, b1 ? 0) 和椭圆 a1 b1
2 3 y2 x2 ,1) , C2 : 2 ? 2 ? 1(a2 ? b2 ? 0) 均过点 F ( 3 a2 b2 且以 C1 的两个顶点和 C2 的两个焦点为 顶点的四边形是面积为 2 的正方形. (Ⅰ)求 C1 , C2 的方程. (Ⅱ)是否存在直线 l ,使得 l 与 C1 交
x2 y2 5 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点为 F ( 5,0) ,离心率为 . 2 a b 3

于 A, B 两点,与 C2 只有一个公共点,且 | OA ? OB |?| AB | ?证明你的结论. 17.[2014·江苏卷] 如图所示,在平面直角坐 x2 y2 标系 xOy 中, F1 , F2 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b B 的左、右焦点,顶点 的坐标为 (0, b) ,连接 BF2 并延长交椭圆于点 A ,过点 A 作 x 轴的垂线交 椭圆于另一点 C ,连接 F1C . 4 1 (Ⅰ)若点 C 的坐标为 ( , ) ,且 BF2 ? 2 ,求椭圆的方程; 3 3 (Ⅱ)若 F1C ? AB ,求椭圆离心率 e 的值.
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F2 作 x 轴的 a 2 b2 垂线与 C 相交于 A, B 两点 , F1B 与 y 轴相交于点 D . 若 AD ? F1B , 则椭圆 C 的离心率等于 ________.

14.[2014·江西卷] 设椭圆 C :

9.[2014·全国卷] 已知椭圆 C :

x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点为 F1 , F2 ,离心率为 , 2 a b 3

过 F2 的直线 l 交 C 于 A, B 两点.若 ?AF1B 的周长为 4 3 ,则 C 的方程为( A.
x2 y2 ? ?1 3 2

)

B.

x2 ? y2 ? 1 3

C.

x2 y2 ? ?1 12 8

D.

x2 y2 ? ?1 12 4

20.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设 F1 , F2 分别是椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, M a 2 b2

是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直.直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N . (Ⅰ)若直线 MN 的斜率为
3 ,求 C 的离心率; 4

(Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 ,且 | MN |? 5 | F1 N | ,求 a , b . 21. [2014· 山东卷] 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C :
4 10 . 5
x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 2 a b 2

直线 y ? x 被椭圆 C 截得的线段长为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程.

(Ⅱ)过原点的直线与椭圆 C 交于 A, B 两点( A, B 不是椭圆 C 的顶点).点 D 在椭圆 C 上, 且 AD ? AB ,直线 BD 与 x 轴、 y 轴分别交于 M , N 两点. (ⅰ)设直线 BD, AM 的斜率分别为 k1 , k 2 ,证明存在常数 ? 使得 k1 ? ?k2 ,并求出 ? 的值;

(ⅱ)求 ?OMN 面积的最大值. 20.[2014·陕西卷] 已知椭圆 分别为 F1 (?c,0), F2 (c,0) . (Ⅰ)求椭圆的方程; 1 (Ⅱ)若直线 l : y ? ? x ? m 与椭圆交于 A, B 两点,与以 F1F2 为直径的圆交于 C , D 两点,且 2 满足
1 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 (0, 3 ) ,离心率为 ,左、右焦点 2 2 a b

| AB | 5 3 ,求直线 l 的方程. ? | CD | 4

x2 y2 6 20.[2014·四川卷] 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F (?2,0) ,离心率为 . a b 3 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)设 O 为坐标原点,T 为直线 x ? ?3 上一点,过 F 作 TF 的垂线交椭圆于 P, Q .当四边 形 OPTQ 是平行四边形时,求四边形 OPTQ 的面积.

18.[2014·天津卷] 设椭圆 上顶点为 B .已知 | AB |?

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,右顶点为 A , a 2 b2

3 | F1 F2 | . 2 (Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)设 P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 PB 为直径的圆经过点 F1 ,经过点 F2 的直

线 l 与该圆相切于点 M , | MF2 |? 2 2 ,求椭圆的方程.
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,双曲线上 a 2 b2 2 2 存在一点 P 使得 (| PF ) 1 | ? | PF 2 |) ? b ? 3ab ,则该双曲线的离心率为(

8.[2014·重庆卷] 设 F1 , F2 分别为双曲线 A. 2 B. 15 C. 4

D. 17

10. [2014· 北京卷] 设双曲线 C 的两个焦点为 F1 (? 2,0), F2 ( 2,0) ,一个顶点是 (1,0) ,则 C 的 方程为________.
x2 y2 x2 y2 ? 1 与曲线 ? ? 1 的( 8.[2014·广东卷] 若实数 k 满足 0 ? k ? 5 ,则曲线 ? 16 5 ? k 16 ? k 5

)

A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 ? ? t s i n? ? 0 的 两 个 不 等 实 根 , 则 过 8 . [2014 · 湖 北 卷 ] 设 a , b 是 关 于 t 的 方 程 t 2 c o s

A(a, a 2 ), B(b, b2 ) 两点的直线与双曲线
A. 0 B. 1 C. 2

x2 y2 ? ? 1 的公共点的个数为( cos2 ? sin 2 ? D. 3

)

17. [2014· 浙江卷] 设直线 x ? 3 y ? m ? 0(m ? 0) 与双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近 a 2 b2

线分别交于点 A, B 若点 P (m,0) 满足 | PA |?| PB | ,则该双曲线的离心率是_______.

x2 y2 9.[2014·江西卷] 过双曲线 C : 2 ? 2 ? 1 的右顶点作 x 轴的垂线,与 C 的一条渐近线相交 a b 于点 A .若以 C 的右焦点为圆心、 半径为 4 的圆经过 A, O 两点( O 为坐标原点), 则双曲线 C 的 方程为( ) x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 A. B. C. D. 4 12 7 9 8 8 12 4

11.[2014·全国卷] 双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2 ,焦点到渐近线的距离为 a 2 b2

3 ,则 C 的焦距等于( )
A. 2 B. 2 2 C. 4 D. 4 2
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的离心率为 2 ,则 a ? ( a2 3

4.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知双曲线
6 2 5 2

)

A. 2

B.

C.

D. 1

x2 y2 15 . [2014 ·山东卷 ] 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的焦距为 2c , 右顶点为 A , 抛物线 a b

x 2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c ,且 | FA |? c ,则双曲
线的渐近线方程为________. x2 11.[2014·四川卷] 双曲线 ? y 2 ? 1 的离心率等于________. 4 x2 y2 6. [2014· 天津卷] 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线平行于直线 l : y ? 2 x ? 10 , a b 双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为( ) x2 y2 x2 y2 3x 2 3 y 2 3x 2 3 y 2 ? ? 1 B. ? ?1 ? ?1 ? ?1 A. C. D. 5 20 20 5 25 100 100 25 10.[2014·四川卷] 已知 F 为抛物线 y 2 ? x 的焦点,点 A, B 在该抛物线上且位于 x 轴的两 侧, OA? OB ? 2 (其中 O 为坐标原点),则 ?ABO 与 ?AFO 面积之和的最小值是( A. 2 B. 3 C.
17 2 8

)

D.

10
)

3.[2014·安徽卷] 抛物线 y ? A. y ? ?1 B. y ? ?2

1 2 x 的准线方程是( 4

C. x ? ?1

D. x ? ?2

11.[2014·广东卷] 曲线 y ? ?5e x ? 3 在点(0,-2)处的切线方程为________. 22.[2014·湖北卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,点 M 到点 F (1,0) 的距离比它到 y 轴的距离 多 1 .记点 M 的轨迹为 C .

(Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设斜率为 k 的直线 l 过定点 P(?2,1) ,求直线 l 与轨迹 C 恰好有一个公共点、两个公共 点、三个公共点时 k 的相应取值范围. 14. [2014· 湖南卷] 平面上一机器人在行进中始终保持与点 F (1,0) 的距离和到直线 x ? ?1 的 距离相等.若机器人接触不到过点 P(?1,0) 且斜率为 k 的直线,则 k 的取值范围是________. 20.[2014·江西卷] 如图所示,已知抛物线 C : x 2 ? 4 y , 过点 M (0,2) 任作一直线与 C 相交于 A, B 两点,过点 B 作 y 轴的平行线与直线 AO 相交于点 D ( O 为坐标原点). (Ⅰ)证明:动点 D 在定直线上. (Ⅱ)作 C 的任意一条切线 l (不含 x 轴), 与直线 y ? 2 相交于点 N1 ,与(Ⅰ)中的定直 线相交于点 N 2 .证明: | MN2 |2 ? | MN1 |2 为定 值,并求此定值. 8. [2014·辽宁卷] 已知点 A(?2,3) 在抛物线 C : y 2 ? 2 px 的准线上,记 C 的焦点为 F ,则直 线 AF 的斜率为( ) 4 3 1 A. ? B. ? 1 C. ? D. ? 3 4 2 10.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设 F 为抛物线 C : y 2 ? 3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30 ? 的直线 交 C 于 A, B 两点,则 | AB |? ( A.
30 3

) C. 12 D. 7 3

B. 6

10 . [2014 ·全国新课标卷Ⅰ ] 已知抛物线 C : y 2 ? x 的焦点为 F , A( x0 , y0 ) 是 C 上一点,
| AF |? 5 x0 ,则 x0 ? ( ) 4 A. 1 B. 2

C. 4

D. 8

11.[2014·陕西卷] 抛物线 y 2 ? 4x 的准线方程为________. 22.[2014·浙江卷] 已知 ?ABP 的三个顶点都在抛物线

C : x 2 ? 4 y 上, F 为抛物线 C 的焦点,点 M 为 AB 的中
点, PF ? 3FM . (Ⅰ)若 | PF |? 3 ,求点 M 的坐标; (Ⅱ)求 ?ABP 面积的最大值.
x2 y2 ? 1 点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的焦点的 15.[2014·辽宁卷] 已知椭圆 C : ? 9 4 对称点分别为 A, B 线段 MN 的中点在 C 上,则 | AN | ? | BN |? ________.

2.[2014·安徽蚌埠质检] 设点 A(2,?3), B(?3,?2) .若直线 l 过点 P(1,1) 且与线段 AB 相交,则

直线 l 的斜率 k k 的取值范围是( ) 3 3 A. k ? 或 k ? ?4 B. ? ? k ? 4 4 4

C. ? 4 ? k ?

3 4

D. k ? 4 或 k ? ?

3 4

6.[2014·承德联考] 使三条直线 4 x ? y ? 4, mx? y ? 0,2 x ? 3my ? 4 不能围成三角形的 m 的 值最多有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

14.[2014·黄冈中学期末] 已知圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 0 ,设该圆过点 (3,5) 的最长弦 和最短弦分别为 AC 和 BD ,则四边形 ABCD 的面积为_______. 4.[2014·昆明一中检测] 已知直线 x ? t 与椭圆
x2 y2 ? ? 1 交于 P, Q 两点.若点 F 为该椭 25 9

圆的左焦点,则使 FP ? FQ 取得最小值时, t 的值为( A. ?
100 17

)

B. ?

50 17

C.

50 17

D.

100 17

x2 y2 3 . [2014 · 济 南 期 末 ] 已 知 双 曲 线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 两 条 渐 近 线 均 与 圆 a b

C : x 2 ? y 2 ? 6x ? 5 ? 0 相切,则该双曲线的离心率等于( )
A.
3 2

B.

6 2

C.

3 5 5

D.

5 5

5.[2014·株洲模拟] 已知直线 y ? x ? 2 与圆 C : x 2 ? y 2 ? 4x ? 3 ? 0 及抛物线 y 2 ? 8x 依次交 于 A, B, C, D 四点,则 | AB | ? | CD | 等于( A. 10 B. 12 C. 14 ) D. 16
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 两 个 焦 点 分 别 为 a 2 b2

3 . [2014 · 湖 南 衡 阳 模 拟 ] 已 知 椭 圆 C :

F1 (? 2,0), F2 ( 2,0) .点 M (1,0) 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)已知点 N 的坐标为 (3,2) , 点 P 的坐标为 (m, n)(m ? 3) , 过点 M 任作直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点,设直线 AN , NP, BN 的斜率分别为 k1 , k2 , k3 ,若 k1 ? k3 ? 2k2 ,试求 m, n 满足的 关系式.


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