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第4讲 利用导数研究函数的极(最)值


一、基础知识概要
1.函数极值点与极值的概念:

2.用导数求函数极(最)值的步骤:
3.用导数求函数f(x)在闭区间[a,b]最值的步骤: ①求f(x)在(a,b)内的极大(小)值;②将极大(小)值与端

点处的函数值进行比较,其中较大一个是最大值,较
小的一个是最小值.

二、基础练习 1.函数f(x)=x3-3x(|x|<1) A. 有极大值,且有极小值 C.无极大值,但有极小值 ( ) B.有极大值,无极小值 D.无极大值,且无极小值
y

2.如图是函数y=f(x)的导函数f/(x) 的图象,则下列判断中正确的是( ) A.在区间(-3,-1)内f(x)是增函数 B.在区间(-1,3)内f(x)是增函数 -3 C.在区间(5,6)内f(x)是增函数 D. 当x=1时f(x)取极小值,当 x=5时,f(x)取极大值

-1 O 1

3

5 6 x

3.设a∈R,若函数y=eax+3x,(x∈R)有大于零的极值点, 则( ) A. a>-3 B. a<-3 C. a>-1/3 D. a<-1/3

4. 函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值和最小值 分别是 ( ) A. 5,-15 B. 5,-4 C. –4,-15 D. 5,-16
? 1 5. 若函数 f ( x) ? m cos x ? sin 2 x在 x ? 处取得极值, 4 2 则m=_______.

6.已知函数f(x)=x3+3mx2+nx+m2在x=-1时有极值0, 则mn=——.

三、例题分析 例1 已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值. (1)讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值; (2)过点A(0,16)作曲线y=f(x)的切线,求此切线方程.

例2 设x1,x2是函数f(x)=(a/3)x3+(b/2)x2-a2x(a>0)的两
个极值点,且|x1|+|x2|=2. (1)求a的取值范围; (2)求b的最大值; (3)若函数h(x)=f/(x)-2a(x-x1),求证:当x1<x<2且x1<0 时,|h(x)|≤4a.

例3 设函数f(x)=x2+bln(x+1),其中b≠0. 1 (1)当b> 时,判断函数f(x)在定义域内的单调性; 2 (2)求函数f(x)的极值点.

方法规律总结: 1.若f(x)在区间(a,b)内有极值,则f(x)在区间(a,b)内绝 不是单调函数 2.对于可导函数y=f(x):f/(x0)=0是x=x0为极值点的必 要充分条件. 3.两个概念:极值点与极值要分清.

作业3

1.已知函数f(x)=lnx-(1/2)ax2-2x(a≠0)存在极值,则a 的取值范围是_________.
2.已知b>-1,c>0,函数f(x)=x+b的图象与g(x)=x2+bx+c 图象相切;

(1)求b与c关系式(用c表示b);
(2)设函数F(x)=f(x)g(x)在(-∞,+∞)内有极值点,求c 的取值范围.

3.已知a是实数,函数 f ( x) ? x ( x ? a)

(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)设g(a)为f(x)在区间[0,2]上的最小值.

①写出g(a)的表达式;
②求a的取值范围,使得 -6≤g (a) ≤-2.

/ f 4.设函数f(x)的导函数为f/(x), f ( x) ? ax 3 ? ax 2 ? [ (1) ? 1]x, 2 a∈R.(1)用a表示f/(1);

(2)若函数f(x)在R上不存在极值,求a的取值范围; (3)在(2)的条件下函数能否是单调函数,若是确定 函数单调性,若不是,请说明理由.

5.f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是R上奇函数,当x=1时,f(x)取 得极值-2.
(1)求f(x)单调区间;

(2)证明对任意x∈(-1,1),不等式|f(x1)-f(x2)|<4恒成立.


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