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2016年3月2016届高三第二次全国大联考(新课标Ⅰ卷)理数卷(正式考试版)


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绝密★启用前

【学科网学易大联考】2016 年第二次全国大联考【新课标 I 卷】 理科数学试卷
考试时间:120 分钟;满分 150 分 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. )
2 1.设集合 A ? x x ? x ? 6 ? 0, x ? R , B ? y y ?| x | ?3, x ? A ,则 A ? B 等于(

8.如图所示,函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,| ? |?

?
2

) 离 y 轴最近的零点与最大值均在抛物线

3 1 y ? ? x 2 ? x ? 1 上,则 f ( x) =( 2 2
A. f ( x) ? sin( x ? C. f ( x) ? sin(



1 6

?
3

)

B. f ( x) ? sin( x ? D. f ( x) ? sin(

1 2

?
3

)

开始

?

学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

?

?

x? ) 2 3

?

?

x? ) 2 6
k=k+1
S?S?

?

S=0,k=1

?

?



1 3k ? 1 ? 3k ? 2

A. x 0 ? x ? 3

?

?

B. x ?1 ? x ? 0

?

?

C. x ? 2 ? x ? 0

?

?

D. x ? 3 ? x ? 3 )
x

?

?



M 否 输出 S

x 2.命题 p : ?x0 ? R ,不等式 cos x0 ? e 0 ?1 ? 0 成立,则 p 的否定为(

A. ?x0 ? R ,不等式 cos x0 ? e 0 ?1 ? 0 成立
x

B. ?x ? R ,不等式 cos x ? e ? 1 ? 0 成立 D. ?x ? R ,不等式 cos x ? e ? 1 ? 0 成立
x

C. ?x ? R ,不等式 cos x ? e ? 1 ? 0 成立
x

结束

3.在复平面内复数 z = ( )

| 2 3 - 2i | +bi ( b > 0) 的模为 26 ,则复数 z - bi 在复平面上对应的点在 1- i
C.第三象限 D.第四象限

第 7 题图 9.某程序框图如图所示,若输出 S ? A. k ? 7 ? B. k ? 6 ?

第 8 题图

第 9 题图

A.第一象限

B.第二象限

4 ,则判断框中 M 为( ) 3 C. k ? 8 ? D. k ? 8 ?
4

4.我国数学史上有一部堪与欧几里得《几何原本》媲美的书,这就是历来被尊为算经之首的《九 章算术》 ,其中卷第五《商功》有一道关于圆柱体的体积试题:今有圆堡,周四丈八尺,高一丈 一尺,问积几何?其意思是:含有圆柱形的土筑小城堡,底面周长是 4 丈 8 尺,高 1 丈 1 尺, 问它的体积是多少?若 ? 取 3,估算小城堡的体积为( A.1998 立方尺 B.2012 立方尺 ) 5. cos 54? ? cos 66? ? cos 6? ? ( A.0 B.
2

10.已知 (a ? bx)5 的展开式中第 4 项的系数与含 x 的系数分别为 ?80 与 80 ,则 (a ? bx)5 展开式 所有项系数之和为( A. ? 1 B.1 ) C.32 D.64

) D.2324 立方尺

11. 如图所示是沿圆锥的两条母线将圆锥削去一部分后所得几何体的 三视图,其体积为

C.2112 立方尺

16? 2 3 ,则圆锥的母线长为( ? 9 3
C.4
2



1 3
2

C.

1 2

D.1

A. 2 2

B. 2 3

D. 2 ? 3

6.已知双曲线

x y - 2 ? 1(a ? b ? 0) 与两条平行直线 l1 : y ? x ? a 与 l2 : y ? x ? a 相交所得 2 a b
2

12.已知关于 x 的方程 x ? 2a ln x ? 2ax ? 0 有唯一解,则实数 a 的 值为( A.1 ) B.

的平行四边形的面积为 6b ,则双曲线的离心率为( A. 2 B.



1 2

C.

1 3

D.

1 4

2 3 C. 3 D.2 3 7.如图,已知在等腰梯形 ABCD 中, AB ? CD , ?BAD ? 45? , E, F , G 分别是 AB, BC , CD ??? ? ??? ? ???? 7 1 AB ? |? ( 的中点,若 EF 在 AG 方向上的投影为 ) 4 ? AD2 ,则 | ??? 10 2 CD
A.1 B.2 C.3 D.4
学易大联考 理科数学 第 1 页 共 4 页

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.已知函数 f ( x) ? (e ?
x

a 3 ) x 为偶函数,则实数 a ? ___________. ex

14.已知 F 是抛物线 y ? 4 x 的焦点,过该抛物线上一点 M 作准线的垂线,垂足为 N ,若
2

学易大联考 理科数学 第 2 页 共 4 页

… …… …○ …… …… 内… …… …○ …… …… 装… …… …○ …… …… 订… …… …○ …… …… 线… …… …○…………

| MF |?

4 ,则 ?NMF ? ___________. 3

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点到直线 x ? y ? 3 2 ? 0 的 a 2 b2

?y ?0 y ?1 3 ? ? ) 的取值范围是___________. 15.已知实数 x 、 y 满足 ? x ? y ? 0 ,则 z ? log 2 ( x ?1 2 ?2x ? y ? 2 ? 0 ?
16.如图,已知点 D 在 ?ABC 的 BC 边上,且 ?DAC ? 90? ,

距离为 5,且椭圆的一个长轴端点与一个短轴端点间的距离为 10 . (1)求椭圆 C 的方程; (2) 在 x 轴上是否存在一点 Q , 使得过 Q 的直线与椭圆 C 交于 A 、B 两点, 且满足 为定值?若存在,请求出定值,并求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2ax2 ? bx ? 1(e 为自然对数的底数). (1)若 a ?

1 1 ? 2 QA QB 2

cos C ?

6 D n s i ? B A D ,AB ? 6 ,BD ? 6 , 则A 3

? __________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 12 分)设 S n 是数列 {an } 的前 n 项和, an ? 0 ,且 S n ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

1 an (an ? 3) . 6

1 ,求函数 F ( x) ? f ( x)e x 的单调区间; 2

(2)若 b ? e ? 1 ? 2a ,方程 f ( x) ? e x 在 (0,1) 内有解,求实数 a 的取值范围. 请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则 按所做的第一个题目计分. 22. (本小题满分 10 分)选讲 4-1:几何证明选讲 如图,过圆 O 外一点 P 作圆的切线 PC ,切点为 C ,割线 PAB 、割线 PEF 分别交圆 O 于 A 与

1 1 , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,求证: Tn ? . 6 (an ? 1)( an ? 2)

18. (本小题满分 12 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 (侧棱垂直于底面的棱柱为直棱柱) 中, BC ? CC1 ? 1, AC ? 2 , ?ABC =90? . (1)求证:平面 ABC1 ? 平面 A 1B 1C ; (2)设 D 为 AC 的中点,求平面 ABC1 与平面 C1?D 所成锐角的 余弦值.

B 、 E 与 F .已知 PB 的垂直平分线 DE 与圆 O 相切.
(1)求证: DE ? BF ; (2)若 PC ? 2 3 , DE ? 1 ,求 PB 的长. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程

19. (本题满分 12 分)广场舞是现代城市群众文化、娱乐发展的产物,其兼具文化性和社会性, 是精神文明建设成果的一个重要指标和象征. 2015 年某高校社会实践小组对某小区广场舞的开 展状况进行了年龄的调查, 随机抽取了 40 名广场舞者进 行调查,将他们年龄分成 6 段: [20,30) , [30, 40) , [40,50) , [50,60) , [60,70) ,[70,80] 后得到如图所示的频率分布直图.问: (1) 估计在 40 名广场舞者中年龄分布在 [40,70) 的人数; (2)求 40 名广场舞者年龄的中位数和平均数的值; (3)若从年龄在 [20, 40) 中的广场舞者中任取 2 名,求 这两名广场舞者年龄在 [30, 40) 中的人数 x 的分布列及 其数学期望.

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴的非负半轴重合.若曲线 C 的极坐 标方程为 ? ? 6cos ? ? 2sin ? ,直线 l 的参数方程为 ? (1)求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程;

? ? x ? 1 ? 2t ? ? y ? 2 ? 2t

( t 为参数) .

| QB | 的值. (2)设点 Q(1, 2) ,直线 l 与曲线 C 交于 A, B ,求 | QA |?
24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? a ? 3x ? 2 ? x . (1)若 a ? 2 ,解不等式 f ( x) ? 3 ; (2)若存在实数 a ,使得不等式 f ( x) ? 1 ? a ? 2 | 2 ? x | 成立,求实数 a 的取值范围.

学易大联考 理科数学 第 3 页 共 4 页

学易大联考 理科数学 第 4 页 共 4 页

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※


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